【期待値マスター講座03】確率変数Xの正体を理解する

この記事では、期待値の主役となる「確率変数」が何者なのかを、身構えずに使えるように整理します。さいころ2回の目の和を題材に、確率変数を「関数」として見る練習までやります。

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シリーズ全体の流れを先に見たい方は、まず 期待値マスター講座の導入記事 からどうぞ。全56回の構成と読み進め方をまとめています。

https://note.com/goukalize/n/n9de4e3c6c4fb

「事象」の話だけでは足りない

前回の記事で、確率は標本空間 $${\Omega}$$ と事象 $${A\subset\Omega}$$ の枠組みで書けることを確認しました。ただ、入試の問題文を読むと、たとえばこんな表現がよく出てきます。

• 「2回振って出た目の和」
• 「コインを10回投げて表が出た回数」
• 「カードを3枚引いたときの最大の番号」

これらは「事象」ではありません。事象 $${A}$$ は「結果の集合」ですが、ここで聞かれているのは結果ごとに変わる 数値 です。「和」「回数」「最大」のような数を、確率の枠組みの中で扱う道具が 確率変数 です。

確率変数の定義

標本空間 $${\Omega}$$ 上で定義された、実数値をとる関数 $${X\colon\Omega\to\mathbb{R}}$$ を 確率変数 と呼びます。 $${X}$$ が値 $${x}$$ をとる確率を $${P(X=x)}$$ と書きます。

「関数」と聞いて身構えてしまう人は多いですが、要するに、

試行の各結果 $${\omega}$$ に対して、ひとつずつ実数 $${X(\omega)}$$ を割り当てたもの

が確率変数です。さいころを1回振った試行を考えるなら、 $${X(\omega)=\omega}$$ つまり「出た目そのもの」も確率変数ですし、 $${X(\omega)=\omega^2}$$ も別の確率変数です。同じ標本空間に対して、いくつでも別の確率変数を考えられます。

慣習として、確率変数は大文字 $${X,Y,Z,\ldots}$$ で、それがとる具体的な値は小文字 $${x,y,z}$$ で書き分けます。 $${P(X=x)}$$ という書き方は「確率変数 $${X}$$ が、具体的な値 $${x}$$ をとる確率」という意味です。

例題：さいころ2回の目の和

具体的に手を動かして確認します。

さいころを2回振る試行を考える。出た目の和を $${X}$$ とするとき、$${X}$$ の値とその確率をすべて書け。

標本空間は

$$
\Omega = \{(i,j) : 1\le i,j\le 6\}
$$

で、要素数36。各要素は等しい確率 $${\frac{1}{36}}$$ で起こります。

$${X}$$ は、各 $${(i,j)\in\Omega}$$ に対して $${X(i,j)=i+j}$$ を割り当てる関数です。 $${X}$$ がとりうる値は2から12まで。たとえば $${X=4}$$ となるのは $${(1,3),(2,2),(3,1)}$$ の3通りなので $${P(X=4)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}}$$ です。

すべて書き出すと次のようになります。

• $${P(X=2)=\frac{1}{36}}$$
• $${P(X=3)=\frac{2}{36}}$$
• $${P(X=4)=\frac{3}{36}}$$
• $${P(X=5)=\frac{4}{36}}$$
• $${P(X=6)=\frac{5}{36}}$$
• $${P(X=7)=\frac{6}{36}}$$
• $${P(X=8)=\frac{5}{36}}$$
• $${P(X=9)=\frac{4}{36}}$$
• $${P(X=10)=\frac{3}{36}}$$
• $${P(X=11)=\frac{2}{36}}$$
• $${P(X=12)=\frac{1}{36}}$$

確率の総和が $${\frac{36}{36}=1}$$ になっていることを必ず確認してください。総和が1にならなければ、どこかで数え漏れか重複があります。

同じ標本空間に別の確率変数を乗せる

同じさいころ2回の試行に対して、別の確率変数を考えることもできます。たとえば

• $${Y(i,j) = \max(i,j)}$$ ：2つの目の最大値
• $${Z(i,j) = |i-j|}$$ ：目の差の絶対値
• $${I(i,j) = \begin{cases}1 & (i=j) \\ 0 & (\text{それ以外})\end{cases}}$$ ：「ゾロ目が出たか」を示す $${0/1}$$ 変数

最後の $${I}$$ のように $${0}$$ か $${1}$$ しかとらない確率変数を 指示関数 と呼びます。これがシリーズ第IV部以降の主役になります。

補足：「確率」と「確率変数」と「確率分布」の整理

混乱しがちな3語を整理しておきます。

• 確率 ： $${P(A)}$$ 。事象 $${A}$$ が起こる比率。 $${0}$$ 以上 $${1}$$ 以下の値。
• 確率変数 ： $${X}$$ 。試行結果に応じて数を割り当てる関数。値そのものではない。
• 確率分布 ： $${X}$$ がそれぞれの値をとる確率の対応表。「 $${X}$$ が何を、どのくらいの確率でとるか」を全部書いたもの。

「 $${X}$$ の確率」とは普通言わず、「 $${X=x}$$ の確率」「 $${X\ge k}$$ の確率」のように、必ず $${X}$$ に対する条件をつけて確率を書きます。 $${X}$$ 自体は変数で、確率を持つのは事象です。

練習問題

コインを3回投げる試行で、表が出た回数を $${X}$$ とする。 $${X}$$ の値とその確率をすべて書け。

標本空間は $${\{表, 裏\}^3}$$ で要素数8、それぞれの結果は確率 $${\frac{1}{8}}$$ で起こります。 $${X}$$ の値は $${0,1,2,3}$$ のいずれか。

• $${X=0}$$ は「3回とも裏」で1通り。 $${P(X=0)=\frac{1}{8}}$$
• $${X=1}$$ は「表が1回」で3通り。 $${P(X=1)=\frac{3}{8}}$$
• $${X=2}$$ は「表が2回」で3通り。 $${P(X=2)=\frac{3}{8}}$$
• $${X=3}$$ は「3回とも表」で1通り。 $${P(X=3)=\frac{1}{8}}$$

総和が1。これは後に出てくる二項分布 $${X\sim B(3,\frac{1}{2})}$$ の一例で、 $${P(X=k)=\binom{3}{k}/8}$$ の形になっています。

次に読む記事

次回は、いま手で書き出した「 $${X}$$ が何を、どのくらいの確率でとるか」の対応表を、 確率分布 として整理します。確率分布が見える形で書ければ、期待値や分散はその表をなぞるだけで出せます。

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