前回（第3回）は、硬貨の枚数に上限がある場合の支払い方法を多項式に翻訳しました。
今回は、「上限がない（制限なし）」という条件をどのように母関数で処理するのかを、入試の超定番問題である「方程式の整数解」を通して解説します。

1. 「制限なし」の多項式を作る

次の問題を考えてみましょう。

【問題】
$${x + y + z = 5}$$ を満たす、負でない整数 $${(x, y, z)}$$ の組は何通りあるか？

教科書では「重複組合せ（〇と｜を並べる考え方）」として $${{}_3\mathrm{H}_5}$$ の公式を習うところですが、これを母関数で解読してみます。

$${x, y, z}$$ はそれぞれ「0以上の整数」です。今回は硬貨の問題と違って、「最大何枚まで」という上限の指定がありません。
このような場合、それぞれの変数が取り得る値（ $${0, 1, 2, \dots}$$ ）を、そのまま次数の右肩に乗せて冪級数（べき級数）を作ります。
（※変数の文字と母関数の文字が被ると混乱するため、ここから母関数の文字を $${t}$$ とします）

$$
\begin{aligned}
1 + t^1 + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + \cdots \tag{①}
\end{aligned}
$$

①が、 $${x, y, z}$$ それぞれの「運命（選び方）」を表す式です。

2. 掛け合わせてターゲットを抽出する

変数は $${x, y, z}$$ の3つあるので、①の式を3つ掛け合わせます。

$$
\begin{aligned}
f(t) = (1 + t + t^2 + t^3 + \cdots)^3 \tag{②}
\end{aligned}
$$

私たちは $${x + y + z = 5}$$ となる組み合わせを知りたいので、②を展開したときの $${t^5}$$ の係数を探せばよいことになります。
とはいえ、方程式の和が5である以上、各変数が5を超えることはありません。つまり、手作業で展開を考える場合は、次のように5次より上の項を切り取って考えても結果は同じです。

$$
\begin{aligned}
(1 + t + t^2 + t^3 + t^4 + t^5)^3 \tag{③}
\end{aligned}
$$

③を展開して $${t^5}$$ が作られる組み合わせをすべて拾い上げても答えは出ますが、実はこの「冪級数を展開して特定の次数の係数を求める」という操作そのものが、教科書で習う「重複組合せ」の正体なのです。

3. 重複組合せの公式と母関数の関係

一般に、 $${n}$$ 個の変数があり、その和が $${k}$$ になるような0以上の整数の組の数は、次の式の $${t^k}$$ の係数と一致します。

$$
\begin{aligned}
(1 + t + t^2 + \cdots)^n \tag{④}
\end{aligned}
$$

④を展開したときの $${t^k}$$ の係数は、数学的に $${{}_{n+k-1}\mathrm{C}_k}$$ （すなわち $${{}_n\mathrm{H}_k}$$ ）になることが知られています。

今回の問題では $${n = 3, k = 5}$$ ですから、係数は以下のように計算できます。

$$
\begin{aligned}
{}_{3+5-1}\mathrm{C}_5 &= {}_7\mathrm{C}_5 \\
&= {}_7\mathrm{C}_2 \\
&= 21 \tag{⑤}
\end{aligned}
$$

⑤より、答えは21通りとなります。

まとめ

方程式の整数解のような「上限のない数え上げ」は、冪級数の掛け算（母関数）に翻訳できます。そして、その係数を求める計算技術こそが「重複組合せ」という公式の真の姿なのです。

第1部では、様々な条件を母関数に翻訳する方法を学びました。次回、第5回からは第2部へと突入し、作った多項式に数字を「代入」することで、特定の条件だけを抽出する魔法のテクニックを解説します。

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