前回（第1回）は、コイントスを例に「カッコから項を1個ずつ選んでかける」という多項式の展開ルールが、場合の数を数え上げるマシーンになることを学びました。
今回は、そのマシーンの選択肢を少し増やして、「サイコロ」を題材に母関数の威力をさらに深掘りしていきます。

1. 1個のサイコロを「数式」に翻訳する

コインの裏表は「0と1」の2パターンでしたが、一般的なサイコロには1から6までの目があります。これを母関数のルール（目の数を $${x}$$ の次数に、場合の数を係数にする）に従って翻訳すると、1個のサイコロの運命は次のような多項式で表されます。

$$
\begin{aligned}
x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 \tag{①}
\end{aligned}
$$

①の式は、どの目が出るのも「1通り」であるという事実を、すべて係数 $${1}$$ として表現しています。

2. 複数のサイコロの「目の和」を自動計算する

では、このサイコロを2個同時に振ったときの「目の和」について考えてみましょう。
例えば、「目の和が5になるのは何通りか？」という問題です。

手作業なら「(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)」と数え上げて4通りと出します。これを母関数に計算させてみましょう。
サイコロを2個振るので、①の式を2つ掛け合わせます。

$$
\begin{aligned}
(x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^2 \tag{②}
\end{aligned}
$$

②を展開したとき、 $${x^5}$$ の項がどのように作られるかを追ってみます。
左のカッコから $${x^a}$$ 、右のカッコから $${x^b}$$ を選んで掛け合わせると指数法則により $${x^{a+b}}$$ になります。
これが「1個目で $${a}$$ の目、2個目で $${b}$$ の目が出て、合計が $${a+b}$$ になる」という現象と完全に一致します。

実際に ②の展開において $${x^5}$$ になる組み合わせを拾い上げると、

$$
\begin{aligned}
x^1 \cdot x^4 &= x^5 \\
x^2 \cdot x^3 &= x^5 \\
x^3 \cdot x^2 &= x^5 \\
x^4 \cdot x^1 &= x^5 \tag{③}
\end{aligned}
$$

③より、これらを足し合わせると $${4x^5}$$ となり、係数の「4」から「目の和が5になるのは4通り」であることが、式の展開ルールによって自動的に導き出されました。

3. 確率への応用（確率母関数への拡張）

母関数の素晴らしいところは、場合の数だけでなく「確率」も同じ数式に乗せることができる点です。

サイコロを1個振って特定の目が出る確率は、すべて $${\frac{1}{6}}$$ です。
これを先ほどの式に組み込み、係数を「場合の数」から「確率」に置き換えた多項式を作ります。

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{6}x^1 + \frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{6}x^4 + \frac{1}{6}x^5 + \frac{1}{6}x^6 \tag{④}
\end{aligned}
$$

④の式を「確率母関数」と呼びます。
もし「サイコロを $${n}$$ 個振って、目の和が $${k}$$ になる確率」を求めたければ、この④の式を $${n}$$ 乗して展開し、 $${x^k}$$ の係数を読み取るだけで済みます。

$$
\begin{aligned}
P(x) = \left( \frac{1}{6}x^1 + \frac{1}{6}x^2 + \cdots + \frac{1}{6}x^6 \right)^n \tag{⑤}
\end{aligned}
$$

⑤を展開したときの $${x^k}$$ の係数が、そのまま求める確率になります。
医学部や難関大の入試において、 $${n}$$ 回の試行の確率を求める問題では、この確率母関数の視点を持っているかどうかが、計算の見通しを劇的に変える分岐点となります。

まとめ

今回は、サイコロの「目の数」を $${x}$$ の次数にすることで、目の和を多項式の掛け算（指数法則）としてシステマチックに処理できることを確認しました。手作業の数え上げでは $${n}$$ 個のサイコロに対応できませんが、母関数なら $${n}$$ 乗するだけで一般化できるのが最大の強みです。

次回、第3回ではこれをさらに応用し、10円玉や50円玉といった「硬貨の支払い方法」を母関数で攻略します。

【無料相談受付中】医学部・獣医学部受験対策はゴウカライズにおまかせを！

「一般入試の勉強だけでも大変なのに、面接や小論文までどう準備すればいいかわからない…」
「医学部や獣医学部のような専門性の高い入試に、本当に今の対策で足りるのか不安…」

そんな悩みをお持ちの受験生・保護者の皆様、医学部・獣医学部専門塾 ゴウカライズにご相談ください！

医学部受験・獣医学部受験は、学科試験だけでなく、面接、小論文、志望理由書など学部特有の対策が必要になる入試です。
ゴウカライズでは、それぞれの志望校や受験方式に合わせて、合格に必要なすべてをトータルサポートします。

【一般入試】完全オーダーメイドの学習計画 ：
医学部・獣医学部の一般入試は、わずかな失点が合否を分けることもあります。
あなたの現状と志望校の出題傾向を分析し、合格ラインに到達するための最短ルートを設計します。
日々の進捗管理で、学習の遅れも見逃さず、適宜ルートを最適に修正します。

【推薦・総合型選抜】面接・小論文もプロが対応 ：
推薦入試や総合型選抜で必須となる「面接・小論文・志望理由書」の対策もお任せください。
医学部・獣医学部特有のテーマに対応できるプロ講師が、合格レベルの答案作成と受け答えを指導します。

プロ講師・優秀学生講師の個別指導 ：
学習管理だけでなく、経験豊富なプロ講師や、高倍率から選抜された優秀な学生講師による完全個別指導も提供。
苦手科目の克服や過去問解説など、あなたのニーズに合わせた1対1の指導が可能です。

【医学部・獣医学部対策】特殊な対策に完全対応 ：
医学部入試、獣医学部入試は、どちらも特殊な対策が必要です。
面接などがある入試形式の場合、学科試験以外の準備も侮れません。
そんな入試に精通したプロがゴウカライズには多数在籍しています。
ゴウカライズ代表の大北も医学部・獣医学部受験の指導経験は15年を超える大ベテランです。

まずは無料相談で、あなたの合格までのロードマップを一緒に描きませんか？
無理な勧誘は一切ありません。
予備校選びに迷っているなどの相談でも、客観的にアドバイスを行います。

公式LINEでいつでも無料相談を受け付けています！

https://goukalize.com/

https://line.me/R/ti/p/@965ezfgt?oat_content=url

#入試数学 #医学部入試 #高校数学