【母関数マスター講座 第8回】無限を「分数」に圧縮する〜等比級数の真の力〜

第2部（第5回〜第7回）では、多項式に値を代入することで欲しい情報を抽出するテクニックを学びました。

今回からの第3部では、母関数を「計算する」ための道具を揃えていきます。その第一歩は、第4回で登場した冪級数（べき級数）を、たった1つの分数式に圧縮する魔法です。

母関数マスター講座の全体像、シラバスは以下の記事でご覧ください。

https://note.com/goukalize/n/ne5f45c351ab2

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1. 等比級数の公式を母関数の言葉で読む

高校数学で習う等比級数の公式を、改めて確認しましょう。初項 $${1}$$ 、公比 $${x}$$ の無限等比級数は、 $${|x| < 1}$$ のとき次のように収束します。（母関数として扱う場合は $${x}$$ を形式的不定元として扱うため、収束条件を気にせず「係数の等式」として使います。）

$$
\begin{aligned}
1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1-x} \tag{①}
\end{aligned}
$$

①の左辺は、第4回で「制限なしの変数の選び方」として登場した、あの冪級数そのものです。これが $${\frac{1}{1-x}}$$ という簡潔な分数に圧縮できるわけです。

2. 重複組合せの母関数を圧縮する

第4回で扱った「 $${x + y + z = 5}$$ の負でない整数解」の母関数は $${(1 + t + t^2 + \cdots)^3}$$ でした。①を使えば、

$$
\begin{aligned}
(1 + t + t^2 + \cdots)^3 = \frac{1}{(1-t)^3} \tag{②}
\end{aligned}
$$

②のように、無限に続く掛け算が $${\frac{1}{(1-t)^3}}$$ という1つの分数式に収まります。変数が $${n}$$ 個なら $${\frac{1}{(1-t)^n}}$$ です。こうした分数式を「閉じた形（closed form）」と呼び、母関数を実際に計算する場面では、この形に持ち込むのが基本戦略になります。

3. 有限の等比級数も分数にできる

上限がある場合も、有限等比級数の公式で圧縮できます。

$$
\begin{aligned}
1 + x + x^2 + \cdots + x^m = \frac{1 - x^{m+1}}{1 - x} \tag{③}
\end{aligned}
$$

例えば、第3回の硬貨問題で登場した10円玉（5枚まで）の多項式は、 $${x}$$ を $${x^{10}}$$ に読み替えて、

$$
\begin{aligned}
1 + x^{10} + x^{20} + \cdots + x^{50} = \frac{1 - x^{60}}{1 - x^{10}} \tag{④}
\end{aligned}
$$

④のように、項を列挙する代わりに分数で表現できます。

4. サイコロの母関数を圧縮する

第2回で登場したサイコロ1個の母関数 $${x + x^2 + \cdots + x^6}$$ も、 $${x}$$ をくくり出してから③を適用すると、

$$
\begin{aligned}
x + x^2 + \cdots + x^6 &= x(1 + x + x^2 + \cdots + x^5) \\
&= x \cdot \frac{1 - x^6}{1 - x} \\
&= \frac{x(1 - x^6)}{1 - x} \tag{⑤}
\end{aligned}
$$

⑤を使えば、サイコロ $${n}$$ 個の目の和に関する母関数は次のように書けます。

$$
\begin{aligned}
\left( \frac{x(1 - x^6)}{1 - x} \right)^n = \frac{x^n (1 - x^6)^n}{(1 - x)^n} \tag{⑥}
\end{aligned}
$$

⑥の形まで圧縮してしまえば、分子の $${(1-x^6)^n}$$ は二項定理で展開でき、分母の $${\frac{1}{(1-x)^n}}$$ は次回学ぶ「負の二項定理」で係数を読み取れます。つまり、等比級数による圧縮は、母関数を「解ける形」に持ち込むための最初の一手なのです。

まとめ

等比級数の公式は、冪級数と分数式をつなぐ橋です。母関数の世界では、この圧縮を行ってはじめて式を操作し、係数を読み取ることが現実的になります。

次回、第9回では圧縮された分数式 $${\frac{1}{(1-t)^n}}$$ の係数を一般的に求める「負の二項定理」を学びます。第4回で公式だけ紹介した重複組合せの正体が、ここで明かされます。

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