【母関数マスター講座 第6回】「-1」の魔法〜偶数と奇数を完璧に分離する〜

前回（第5回）は、母関数に $${x = 1}$$ を代入するだけで「すべての係数の和（場合の数の総数）」が求まることを学びました。

今回は代入する値を $${1}$$ から $${-1}$$ に変えます。たったこれだけの変更で、多項式の中から「偶数次の係数」と「奇数次の係数」を完璧に分離できるようになります。難関大の入試でこの操作が使えると、数行で片が付く問題が少なくありません。

母関数マスター講座の全体像、シラバスは以下の記事でご覧ください。

https://note.com/goukalize/n/ne5f45c351ab2

LINE追加でまとめPDF配布中！
ㅤ
公式LINEを追加して「母関数マスター講座」と送信していただいた方に、講座全体をまとめたPDF（全63ページ）を無料でお配りしています。
ㅤ
自動送信のため、送信文は 「母関数マスター講座」 と正確にお送りください。
ㅤ
https://line.me/R/ti/p/@965ezfgt?oat_content=url

1. -1を代入すると何が起きるか

母関数 $${f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots + a_n x^n}$$ に $${x = -1}$$ を代入します。 $${(-1)}$$ の偶数乗は $${+1}$$ 、奇数乗は $${-1}$$ ですから、

$$
\begin{aligned}
f(-1) = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \cdots \tag{①}
\end{aligned}
$$

①を見ると、偶数次の係数（ $${a_0, a_2, a_4, \dots}$$ ）はプラスのまま、奇数次の係数（ $${a_1, a_3, a_5, \dots}$$ ）はマイナスに符号が反転して足し合わされています。この「符号が交互に入れ替わる和」を交代和と呼びます。

2. 偶数次と奇数次を完全分離する

前回の結果 $${f(1) = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots}$$ と今回の $${f(-1)}$$ を並べてみましょう。

$$
\begin{aligned}
f(1) &= (a_0 + a_2 + a_4 + \cdots) + (a_1 + a_3 + a_5 + \cdots) \tag{②}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
f(-1) &= (a_0 + a_2 + a_4 + \cdots) - (a_1 + a_3 + a_5 + \cdots) \tag{③}
\end{aligned}
$$

偶数次の係数の和を $${S_{\text{偶}}}$$ 、奇数次の係数の和を $${S_{\text{奇}}}$$ と書くと、②③は連立方程式になっています。足し引きすれば即座に解けます。

$$
\begin{aligned}
S_{\text{偶}} = \frac{f(1) + f(-1)}{2} \tag{④}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
S_{\text{奇}} = \frac{f(1) - f(-1)}{2} \tag{⑤}
\end{aligned}
$$

④⑤が偶奇分離の公式です。多項式を展開する必要は一切なく、 $${f(1)}$$ と $${f(-1)}$$ の2つの数値を計算するだけで偶数次の和と奇数次の和が確定します。

3. 二項係数で確認する

$${f(x) = (1+x)^n}$$ で試してみましょう。 $${f(1) = 2^n}$$ は前回の結果です。一方、

$$
\begin{aligned}
f(-1) = (1 + (-1))^n = 0^n = 0 \quad (n \geq 1) \tag{⑥}
\end{aligned}
$$

⑥を④⑤に代入します。

$$
\begin{aligned}
S_{\text{偶}} &= \frac{2^n + 0}{2} = 2^{n-1} \tag{⑦}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
S_{\text{奇}} &= \frac{2^n - 0}{2} = 2^{n-1} \tag{⑧}
\end{aligned}
$$

⑦⑧より、 $${n}$$ 個の中から偶数個を選ぶ組み合わせの総数と、奇数個を選ぶ組み合わせの総数はどちらもぴったり $${2^{n-1}}$$ です。展開も場合分けも一切なし。代入だけでこの結果が出るところに、母関数の威力が凝縮されています。

まとめ

$${x = 1}$$ で総和、 $${x = -1}$$ で交代和。この2つを足し引きするだけで「偶数次の和」と「奇数次の和」が完全に分離できます。この偶奇分離は、第17回で登場する「複素数の代入」を使った「3の倍数番目の分離」への入り口でもあります。

次回、第7回では「 $${x + y \leq n}$$ 」のような不等式条件を母関数で処理するための「ダミー変数の導入」を解説します。

【無料相談受付中】医学部・獣医学部受験対策はゴウカライズにおまかせを！

「一般入試の勉強だけでも大変なのに、面接や小論文までどう準備すればいいかわからない…」
「医学部や獣医学部のような専門性の高い入試に、本当に今の対策で足りるのか不安…」

そんな悩みをお持ちの受験生・保護者の皆様、医学部・獣医学部専門塾 ゴウカライズにご相談ください！

医学部受験・獣医学部受験は、学科試験だけでなく、面接、小論文、志望理由書など学部特有の対策が必要になる入試です。
ゴウカライズでは、それぞれの志望校や受験方式に合わせて、合格に必要なすべてをトータルサポートします。

【一般入試】完全オーダーメイドの学習計画 ：
医学部・獣医学部の一般入試は、わずかな失点が合否を分けることもあります。
あなたの現状と志望校の出題傾向を分析し、合格ラインに到達するための最短ルートを設計します。
日々の進捗管理で、学習の遅れも見逃さず、適宜ルートを最適に修正します。

【推薦・総合型選抜】面接・小論文もプロが対応 ：
推薦入試や総合型選抜で必須となる「面接・小論文・志望理由書」の対策もお任せください。
医学部・獣医学部特有のテーマに対応できるプロ講師が、合格レベルの答案作成と受け答えを指導します。

プロ講師・優秀学生講師の個別指導 ：
学習管理だけでなく、経験豊富なプロ講師や、高倍率から選抜された優秀な学生講師による完全個別指導も提供。
苦手科目の克服や過去問解説など、あなたのニーズに合わせた1対1の指導が可能です。

【医学部・獣医学部対策】特殊な対策に完全対応 ：
医学部入試、獣医学部入試は、どちらも特殊な対策が必要です。
面接などがある入試形式の場合、学科試験以外の準備も侮れません。
そんな入試に精通したプロがゴウカライズには多数在籍しています。
ゴウカライズ代表の大北も医学部・獣医学部受験の指導経験は15年を超える大ベテランです。

まずは無料相談で、あなたの合格までのロードマップを一緒に描きませんか？
無理な勧誘は一切ありません。
予備校選びに迷っているなどの相談でも、客観的にアドバイスを行います。

公式LINEでいつでも無料相談を受け付けています！

https://goukalize.com/

https://line.me/R/ti/p/@965ezfgt?oat_content=url

#医学部専門予備校 #入試数学 #大学受験 #オンライン塾