【母関数マスター講座 第16回】2進法と母関数〜(1+x)(1+x^2)(1+x^4)...の秘密〜

前回（第15回）は、整数の分割を無限積の母関数で捉え、オイラーの五角数定理に触れました。

今回は、2進法（2進数）と母関数の美しいつながりを紹介します。一見関係なさそうな2つの話題が、1つの恒等式で結ばれています。

母関数マスター講座の全体像、シラバスは以下の記事でご覧ください。

https://note.com/goukalize/n/ne5f45c351ab2

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1. 不思議な無限積

次の無限積を考えてみましょう。

$$
\begin{aligned}
(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8) \cdots = \prod_{k=0}^{\infty} (1 + x^{2^k}) \tag{①}
\end{aligned}
$$

①の各カッコは「 $${2^k}$$ を使う（ $${x^{2^k}}$$ ）か使わない（ $${1}$$ ）か」の2択を表しています。これは母関数の基本原理「各カッコから1つ選んで掛ける」そのものです。

①を展開すると、 $${x^n}$$ は「 $${2^0, 2^1, 2^2, \dots}$$ の中からいくつかを選んで足して $${n}$$ を作る方法」の数だけ現れます。

2. 2進法との対応

正の整数 $${n}$$ の2進表現とは、 $${n}$$ を $${2}$$ のべき乗の和で表すことです。例えば $${13 = 8 + 4 + 1 = 2^3 + 2^2 + 2^0}$$ です。

2進表現の本質は「各 $${2^k}$$ を使うか使わないか」という選択の列です。そして、この表現は一意的（同じ $${n}$$ に対してただ1通り）であることが知られています。

つまり、①を展開したときの $${x^n}$$ の係数は、すべての正の整数 $${n}$$ に対して $${1}$$ です。ということは、

$$
\begin{aligned}
\prod_{k=0}^{\infty} (1 + x^{2^k}) = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1-x} \tag{②}
\end{aligned}
$$

②が今回の主役となる恒等式です。2のべき乗を「使うか使わないか」の無限積が、等比級数の和 $${\frac{1}{1-x}}$$ に等しいという驚きの結果です。

3. テレスコープで証明する

②は「2進表現の一意性」から理解できますが、代数的にも直接証明できます。各カッコに対して次の等式を使います。

$$
\begin{aligned}
1 + x^{2^k} = \frac{1 - x^{2^{k+1}}}{1 - x^{2^k}} \tag{③}
\end{aligned}
$$

③は $${(1 - x^{2^k})(1 + x^{2^k}) = 1 - x^{2^{k+1}}}$$ （和と差の積）から来ています。

③を $${k = 0, 1, 2, \dots, N}$$ まで掛け合わせると、

$$
\begin{aligned}
\prod_{k=0}^{N} (1 + x^{2^k}) &= \frac{1 - x^{2}}{1 - x} \cdot \frac{1 - x^{4}}{1 - x^{2}} \cdot \frac{1 - x^{8}}{1 - x^{4}} \cdots \frac{1 - x^{2^{N+1}}}{1 - x^{2^N}} \tag{④}
\end{aligned}
$$

④の右辺は隣り合う分子と分母が次々に消えていく「テレスコープ（望遠鏡）積」です。最終的に残るのは、

$$
\begin{aligned}
\prod_{k=0}^{N} (1 + x^{2^k}) = \frac{1 - x^{2^{N+1}}}{1 - x} \tag{⑤}
\end{aligned}
$$

$${|x| < 1}$$ のもとで $${N \to \infty}$$ とすれば $${x^{2^{N+1}} \to 0}$$ なので、

$$
\begin{aligned}
\prod_{k=0}^{\infty} (1 + x^{2^k}) = \frac{1}{1-x} \tag{⑥}
\end{aligned}
$$

⑥は②と一致し、証明が完了しました。

4. 分割との対比

第15回の分割数の母関数 $${\prod \frac{1}{1-x^k}}$$ は「各部品を何個でも使ってよい」でした。一方、今回の $${\prod (1+x^{2^k})}$$ は「各 $${2^k}$$ を使うか使わないかの2択」です。

同じ「無限積」という形式でも、カッコの中身が有限（2択）か無限（何個でも）かで、生まれる数列がまったく変わります。この対比が見えると、母関数の積構造に対する理解がぐっと深まります。

まとめ

$${(1+x)(1+x^2)(1+x^4) \cdots = \frac{1}{1-x}}$$ という恒等式は、2進表現の一意性を母関数の言葉で表現したものです。テレスコープ積による証明は、和と差の積という中学数学の公式だけで完結するのも美しい点です。

次回、第17回からは第5部に突入します。複素数平面の「1の3乗根」を母関数に代入して、第6回の偶奇分離を「3の剰余によるフィルタリング」へと拡張します。

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