指数・対数の問題

以下の問いに答えなさい。

(i) Aさんはバスケットボールのシュート練習を4日間行い，練習回数は1日目が100回，2日目が110回，3日目が90回，4日目が100回であった。このとき，1日目から3日目までの3日間の練習回数の分散は $\frac{\boxed{\text{(1)(2)(3)}}}{\boxed{\text{(4)}}}$ である。また，1日目から4日目までの4日間の練習回数の分散は $\boxed{\text{(5)(6)}}$ である。

(ii) 座標平面上の点 $(x,y)$ が連立不等式

の表す領域を動くとき，$x+y$ の最大値は $\boxed{\text{(7)(8)}}$ である。

(iii) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ が

を満たすとき，

であり，

である。

(iv) 空欄 $\boxed{\text{(22)}}$ 〜 $\boxed{\text{(24)}}$ に当てはまる最も適切な文を下の選択肢から選び，その番号を解答用紙A（マークシート）の解答欄 $\boxed{\text{(22)}}$ 〜 $\boxed{\text{(24)}}$ にマークしなさい。

1. 必要条件であるが十分条件でない
   
2. 十分条件であるが必要条件でない
   
3. 必要十分条件である
   
4. 必要条件でも十分条件でもない
   

実数 $x$ に関する3つの条件 $p,q,r$ を次のように定める。

このとき，以下が成り立つ。

• $r$ は $q$ であるための $\boxed{\text{(22)}}$。
  
• $p$ は「$q$ かつ $\overline{r}$」であるための $\boxed{\text{(23)}}$。
  
• $\overline{p}$ は「$\overline{q\text{または}r}$」であるための $\boxed{\text{(24)}}$。
  

(v) $0\leqq \theta <2\pi$ のとき，$\cos 3\theta -6{\cos }^2\theta +5=0$ を満たす $\cos \theta$ の値をすべて求めなさい。（答えのみを解答用紙Bの解答欄の所定の枠内に記入しなさい。）

（問題冊子2ページ「解答するにあたっての注意」より抜粋）
分数形で解答する場合，それ以上約分できない形で解答しなさい。根号を含む形で解答する場合，根号の中に現れる自然数が最小となる形で解答しなさい。それ以外でも，できるだけ簡単な形で解答しなさい。

次の関数 $f(x)$ について，以下の問に答えよ。

（1）$f(x)$ の極大値 $M$ と極小値 $m$ を求めよ。

（2）（1）で求めた $M,m$ に対して，$a\leqq x\leqq b$ における $f(x)$ の最大値が $M$，最小値が $m$ となるような実数の組 $(a,b)$ のうち，$b-a$ が最小となる組を求めよ。

以下の問いに答えよ。

（1）$2\cdot 2^x+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}=2^{x^2-16}$ の解は $x=\boxed{\text{うえ}},\boxed{\text{お}}$ である。

（2）${\log }_2(x-5)-{\log }_2(x+11)+{\log }_2(x+2)=0$ の解は $x=\boxed{\text{か}}$ である。

（3）$3({\log }_{2}x{)}^2+{\log }_2{x}^2+{\log }_{x}4=7$ の解は，小さい順に $x=\frac{\boxed{\text{き}}}{\boxed{\text{く}}},2^{\frac{\boxed{\text{け}}}{\boxed{\text{こ}}}},\boxed{\text{さ}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$\frac{3127}{5251}$ を約分したとき，その既約分数は $\frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}$ である。

（2）実数 $x,y,z$ について $\frac{x+y}{5}=\frac{y+z}{2}=\frac{z+x}{3}(\ne 0)$ が成り立つとき，

である。

（3）$x$ の整式 $f(x)$ を $7x-4$ で割った余りが $14$ であるとき，$(6x-3)f(x)$ を $7x-4$ で割ったときの余りは $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$x,y$ に関する連立方程式

$(0\leqq x<2\pi ,0\leqq y<2\pi )$ の解は，$x=\frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\pi ,y=\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\pi$ である。

（5）$x$ の方程式 $({\log }_{2}x{)}^{{\log }_{2}x}=x^3(x\ne 1)$ の解は，$x=\boxed{\text{スセソ}}$ である。

（6）4個のサイコロを同時に投げたとき，出た目が1と6の2種類のみになる確率は $\frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツテ}}}$ である。

（7）$x,y$ は実数とする。$x+y>1$ かつ $x^2+y^2\leqq 1$ は $x>0$ かつ $y>0$ であるための $\boxed{\text{ト}}$。

• ⓪ 必要条件であるが十分条件ではない
• ① 十分条件であるが必要条件ではない
• ② 必要十分条件である
• ③ 必要条件でも十分条件でもない

${\log }_{10}2=0.30103,{\log }_{10}3=0.47712$ とするとき，次の問いに答えよ。

（1）${\left(\frac{1}{15}\right)}^{51}$ は，小数点以下第 $\boxed{\text{サシ}}$ 位に初めて0でない数字が現れる。

（2）$2025^{2025}$ は $\boxed{\text{スセソタ}}$ 桁の数で，最高位の桁の数字は $\boxed{\text{チ}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）（i）$2^{-\frac{5}{7}}\times 6^{\frac{13}{7}}\times 14^{\frac{6}{7}}\times 21^{\frac{1}{7}}=\boxed{\text{アイウ}}$。

（ii）対数方程式 ${\log }_4(x-2)+{\log }_4(x-17)=2$ の解は，$x=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$k$ を定数とする。$x$ の方程式 $x(1-x{)}^2=k$ が相異なる3つの実数解をもつような $k$ の値の範囲は，$\boxed{\text{カ}}<k<\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}$ である。

（3）当たりくじが何本か入った20本のくじがある。この中からくじを2本引くとき，少なくとも1本が当たりくじである確率は $\frac{7}{19}$ であった。この20本のくじの中に当たりくじは $\boxed{\text{コ}}$ 本ある。

（4）初項が $a$，公差が $d$ の等差数列がある。この数列の初項から第9項までの和が0で，初項から第15項までの和が90であるとき $a=\boxed{\text{サシ}},d=\boxed{\text{ス}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$xy\ne 0$ かつ $4^x=5^y=20^{26}$ を満たす実数 $x,y$ について $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}$ である。

（2）$a=\sin \frac{\pi }{18}$ のとき，$3a-4a^3=\frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

（3）座標空間の2点 $\mathrm{A}(2,1,-2),\mathrm{B}(-1,-5,1)$ を通る直線を $\ell$ とする。 原点 $\mathrm{O}$ を通る直線が $\ell$ と垂直に交わるとき，その交点の座標は $\left(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キク}},\boxed{\text{ケコ}}\right)$ である。

（4）$(x^2+2x-1{)}^9$ の展開式における $x^4$ の項の係数は，$\boxed{\text{サシスセソ}}$ である。