場合の数・確率の問題

（1）$a>0$ とする。$2x^2-(4a+3)x+6a$ を因数分解すると $(\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}})(x-\boxed{\text{ウ}}a)$ となるから，$x$ の不等式 $2x^2-(4a+3)x+6a<0$ をみたす整数 $x$ がちょうど3個となる $a$ の範囲は $\boxed{\text{エ}}<a\leqq \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}$ である。

（2）$\boxed{a}\boxed{a}\boxed{a}\boxed{b}\boxed{b}\boxed{c}\boxed{c}$ の7文字の並べ方は全部で $\boxed{\text{キクケ}}$ 通りある。このうち，両端の文字が一致するような並べ方は $\boxed{\text{コサ}}$ 通りある。

（3）不等式 $6x^2-13x+6\leqq 0$ をみたす $x$ の範囲は $\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}\leqq x\leqq \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}$ である。 $y=5x^2-8x+7$ とすると，$x$ がこの範囲を動くとき，$y$ の最大値は $\frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツ}}}$ である。

（4）$\cos 3\theta$ を $\cos \theta$ を用いて表すと $\cos 3\theta =\boxed{\text{テ}}{\cos }^3\theta -\boxed{\text{ト}}\cos \theta$ となり，$0\leqq \theta <2\pi$ において $\cos 3\theta +\cos \theta =0$ をみたす $\theta$ で最大のものは $\theta =\frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}\pi$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$\frac{3127}{5251}$ を約分したとき，その既約分数は $\frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}$ である。

（2）実数 $x,y,z$ について $\frac{x+y}{5}=\frac{y+z}{2}=\frac{z+x}{3}(\ne 0)$ が成り立つとき，

である。

（3）$x$ の整式 $f(x)$ を $7x-4$ で割った余りが $14$ であるとき，$(6x-3)f(x)$ を $7x-4$ で割ったときの余りは $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$x,y$ に関する連立方程式

$(0\leqq x<2\pi ,0\leqq y<2\pi )$ の解は，$x=\frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\pi ,y=\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\pi$ である。

（5）$x$ の方程式 $({\log }_{2}x{)}^{{\log }_{2}x}=x^3(x\ne 1)$ の解は，$x=\boxed{\text{スセソ}}$ である。

（6）4個のサイコロを同時に投げたとき，出た目が1と6の2種類のみになる確率は $\frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツテ}}}$ である。

（7）$x,y$ は実数とする。$x+y>1$ かつ $x^2+y^2\leqq 1$ は $x>0$ かつ $y>0$ であるための $\boxed{\text{ト}}$。

• ⓪ 必要条件であるが十分条件ではない
• ① 十分条件であるが必要条件ではない
• ② 必要十分条件である
• ③ 必要条件でも十分条件でもない

1から15までの整数が1枚に1つずつ書かれた15枚のカードがある。

（1）15枚の中から2枚のカードを同時に取り出すとき，カードに書かれている2つの数の積が偶数である確率は $\frac{\boxed{\text{ツテ}}}{\boxed{\text{トナ}}}$ であり，2つの数の和が3の倍数である確率は $\frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}$ である。

（2）15枚の中から3枚のカードを続けて取り出し，取り出した順に $a,b,c$ とするとき，$a<b<c$ である確率は $\frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}$，$a,b,c$ を3辺の長さとする直角三角形が存在する確率は $\frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒフヘ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$x,y>0$ とする。関数 $\left(x+\frac{3}{y}\right)\left(y+\frac{3}{x}\right)$ の最小値は $\boxed{\text{アイ}}$ である。

（2）$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$ である $\theta$ について $\sin \theta +\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{3}$ が成り立つとき，$\sin \theta -\cos \theta =\frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

（3）$k$ を定数とする。$x$ の整式 $x^2-2y^2+xy+kx+2y+4$ が，$x,y$ についての2つの1次式の積に因数分解されるとき，$k$ の値は $\boxed{\text{カキ}}$ または $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$\vec{a}=(-5,7),\vec{b}=(6,-4),\vec{c}=(21,19)$ とする。$\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$ を満たす実数 $m,n$ は $m=\boxed{\text{ケ}},n=\boxed{\text{コサ}}$ である。

（5）2直線

がある。直線 ${\ell }_1$ は定数 $k$ の値によらず，定点 $\left(\boxed{\text{シス}},\boxed{\text{セ}}\right)$ を通る。また，2直線 ${\ell }_1,{\ell }_2$ が平行になるときの $k$ の値は，$\boxed{\text{ソタ}}$ または $\frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}$ である。

（6）6冊の同じ種類のノートをA，B，Cの3人に配布する。1冊も配布されない人がいてよいとすると，配り方は全部で $\boxed{\text{テト}}$ 通りある。

以下の問いに答えよ。

（1）A，Z，A，B，Uの5文字を1列に並べる並べ方の総数を $X$ とし，D，A，I，G，A，K，Uの7文字を1列に並べる並べ方の総数を $Y$ とすると $\frac{Y}{X}=\boxed{\text{アイ}}$ である。

（2）すべての実数 $x$ に対して $f(\sin x)=\cos 4x$ を満たす関数 $f(x)$ は，$f(x)=\boxed{\text{ウ}}{x}^4-\boxed{\text{エ}}{x}^2+\boxed{\text{オ}}$ である。

（3）ある一定の規則で並べられた数列

において $\frac{8}{29}$ は第 $\boxed{\text{カキク}}$ 項の数である。

（4）$A$ を9で割ると8余る整数とするとき，$A^4$ を9で割った余りは $\boxed{\text{ケ}}$ であり，$A^{2025}$ を9で割った余りは $\boxed{\text{コ}}$ である。

赤いサイコロ3個と青いサイコロ1個を同時に投げるときの出た目について以下の問いに答えよ。

（1）赤いサイコロの目の和から青いサイコロの目を引いた数が0以下となる確率は，$\frac{\boxed{\text{フヘ}}}{\boxed{\text{ホマミム}}}$ である。

（2）赤いサイコロの目の和から青いサイコロの目を引いた数が2になる確率は，$\frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モヤユ}}}$ である。

1から10までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ合計10枚ある。1枚のコインを投げ，コインの表が出た場合はカードを2枚，裏が出た場合は3枚引くとする。次の問いに答えよ。

（1）引いたカードに書かれている数字がすべて偶数である確率は，$\frac{\boxed{\text{ワン}}}{\boxed{\text{あい}}}$ である。

（2）引いたカードに書かれている数字が連続している確率は，$\frac{\boxed{\text{う}}}{\boxed{\text{えお}}}$ である。

（3）引いたカードに書かれている数字の合計が11となる確率は，$\frac{\boxed{\text{かき}}}{\boxed{\text{くけこ}}}$ である。

（1）$x=\frac{8-3\sqrt{6}}{4+\sqrt{6}}$ とする。分母を有理化して表すと $x=\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$ であり，$x^2+\frac{1}{x^2}=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$f(x)=x^2-7x+18$ の最小値は $\frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ である。 また，$f(x)>36$ を満たす $x$ の範囲は $x<\boxed{\text{ケコ}},\boxed{\text{サ}}<x$ である。

（3）$x$ の2次方程式

について，①，②がともに実数解をもつような $a$ の値の範囲は $\boxed{\text{シ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{ス}}$ であり，①，②の少なくとも一方が実数解をもつような $a$ の値の範囲は $a\leqq \boxed{\text{セソ}},\boxed{\text{タ}}\leqq a$ である。

（4）さいころ1個を3回投げる。出た目の積が3の倍数となる確率は $\frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}$ である。 また，出た目の積が4で割り切れない確率は $\frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）（i）$2^{-\frac{5}{7}}\times 6^{\frac{13}{7}}\times 14^{\frac{6}{7}}\times 21^{\frac{1}{7}}=\boxed{\text{アイウ}}$。

（ii）対数方程式 ${\log }_4(x-2)+{\log }_4(x-17)=2$ の解は，$x=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$k$ を定数とする。$x$ の方程式 $x(1-x{)}^2=k$ が相異なる3つの実数解をもつような $k$ の値の範囲は，$\boxed{\text{カ}}<k<\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}$ である。

（3）当たりくじが何本か入った20本のくじがある。この中からくじを2本引くとき，少なくとも1本が当たりくじである確率は $\frac{7}{19}$ であった。この20本のくじの中に当たりくじは $\boxed{\text{コ}}$ 本ある。

（4）初項が $a$，公差が $d$ の等差数列がある。この数列の初項から第9項までの和が0で，初項から第15項までの和が90であるとき $a=\boxed{\text{サシ}},d=\boxed{\text{ス}}$ である。

7個の文字 $a,a,a,b,b,c,d$ について考える。

（1）7文字をすべて並べるとき，並べ方は全部で $\boxed{\text{モヤユ}}$ 通りある。 このうち $b$ が隣り合わない並べ方は $\boxed{\text{ヨラリ}}$ 通りあり，同じ文字どうしが隣り合わない並べ方は $\boxed{\text{ルレ}}$ 通りある。

（2）7個の文字の中から4個の文字を取り出して並べる。このとき，1列に並べる方法は $\boxed{\text{ロワン}}$ 通りあり，円形に並べる方法は $\boxed{\text{あい}}$ 通りある。

ある調査会社が，大学受験を終えた高校3年生にむけて受験校の調査を行い5050人から回答を得た。その結果，A大学を受験した生徒は2680人，B大学を受験した生徒は1725人，C大学を受験した生徒は820人いることがわかった。また，A，B，Cすべての大学を受験した生徒は120人，いずれも受験しなかった生徒は305人であった。

この結果から上記の3大学のうち2つ以上の大学を受験した生徒は $\boxed{\text{ヤユヨ}}$ 人であり，いずれか1大学のみを受験した生徒は $\boxed{\text{ラリルレ}}$ 人であることがわかる。