数列の問題

整数 $c$ を初項とする数列 $\{a_n\}$ が以下を満たすとする。

次の設問に答えよ。

（1）数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

（2）数列 $\{a_n\}$ の最大の項が $56$ であるとき，$c$ の値を求めよ。

複素数平面上の異なる3点 $\mathrm{A}(\alpha )$，$\mathrm{B}(\beta )$，$\mathrm{C}(\gamma )$ に対して，等式

が成り立つとする。ただし，$i$ は虚数単位であり，$p$ は正の数である。

（1）線分 $\mathrm{AC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする。$\mathrm{M}$ を表す複素数を解答欄（1）に印刷されている文の下線部に記入しなさい。さらに，$\mathrm{M}$ を表す複素数を用いて，線分 $\mathrm{AC}$ と直線 $\mathrm{BM}$ が垂直に交わることの証明を記述しなさい。

以下，複素数 $z_n(n=1,2,3,\cdots \cdots )$ は，$z_1=\beta$，$z_2=\gamma$ であり，等式

を満たすとする。このとき，3点 $\alpha$，$z_n$，$z_{n+1}$ を頂点とする三角形の面積を $S_n$ とする。

（2）$|\alpha -\gamma |=p$ のとき，$S_1$ と $S_2$ をそれぞれ $p$ の式で表すと，$S_1=\boxed{\text{チ}}$，$S_2=\boxed{\text{ツ}}$ となる。

さらに，$p=\sqrt{3}$，$|\alpha -\gamma |=\sqrt{3}$ とする。

（3）$\frac{S_n}{S_1}$ を $n$ のみを用いた式で表すと，$\frac{S_n}{S_1}=\boxed{\text{テ}}$ となる。

（4）$\alpha$ と $\beta$ が，$\alpha <\beta$ を満たす実数である場合を考える。また，$N$ を $z_{N+1}$ が実数となるような最小の正の整数とする。このとき，$z_1$，$z_2$，$\cdots \cdots$，$z_N$，$z_{N+1}$ を頂点とする多角形の面積は $\boxed{\text{ト}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

$a(1)=2$ とし，$a(2),a(3),a(4),\cdots$ を次の関係で定める。

以下の問に答えよ。

（1）$a(7),a(9)$ を求めよ。

（2）自然数 $n$ に対して，$a(2^n+1)$ は，1または2のいずれかの値をとるような $b_0,b_1,\cdots ,b_n$ を用いて，

と表せる。$b_0,b_1,\cdots ,b_n$ をそれぞれ求めよ。

（3）自然数 $n$ に対して，$\sum _{k=1}^{2^n-1}a(k)$ を求めよ。

A氏が犬を連れて家に帰る途中，家から $L$ メートルの地点に来たときに犬が家に向かって走り出し，家に着くとすぐに引き返して再びA氏のもとへ戻ってきた。 そして，A氏のもとに戻るとまたすぐに家に向かって走り出し，家に着くとすぐに引き返しA氏のところへ戻った。 犬は，この一連の往復運動をA氏が家に着くまで繰り返した。 犬が走る速さはA氏が歩く速さの $4.5$ 倍であるとし，A氏と犬はそれぞれ常に一定の速さで移動すると仮定する。 次の問いに答えよ。

（1）$k$ 回目（$k\geqq 1$）にA氏のもとから家に向かって走り出したとき，その地点から家までの距離を $a_k$（メートル）とする。 犬の移動距離はA氏の歩いた距離の $\frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}$ 倍であることに注意すると，

である。

（2）$k$ 回目にA氏のもとから家に向かって走り出し，再びA氏のもとに戻ってくるまでに犬が移動する距離は，$\frac{\boxed{\text{ワン}}}{\boxed{\text{あい}}}L\cdot {\left(\frac{\boxed{\text{う}}}{\boxed{\text{えお}}}\right)}^{k-1}$ である。

（3）$1$ 回目に家に向かって走り出してから $k+1$ 回目に家に向かって走り出すまでに犬が移動する距離は，$\frac{\boxed{\text{か}}}{\boxed{\text{き}}}L\cdot \left\{1-{\left(\frac{\boxed{\text{く}}}{\boxed{\text{けこ}}}\right)}^k\right\}$ である。

条件

で定められる数列 $\{a_n\}$ について以下の問いに答えよ。

（1）$b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}(n\geqq 1)$ とおくと，$b_{n+1}+b_n=\boxed{\text{ミ}}$ である。このことから数列 $\{b_n\}$ の一般項は，

となる。したがって，$b_{n+1}{b}_n=\boxed{\text{ユ}}$ である。

（2）$n\geqq 2$ のとき $a_n=a_1\cdot \frac{a_2}{a_1}\cdot \frac{a_3}{a_2}\cdots \frac{a_n}{a_{n-1}}$ であることに注意すると，（1）の結果から

である。

（3）$\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とおくとき，

である。

以下の問いに答えよ。

（1）A，Z，A，B，Uの5文字を1列に並べる並べ方の総数を $X$ とし，D，A，I，G，A，K，Uの7文字を1列に並べる並べ方の総数を $Y$ とすると $\frac{Y}{X}=\boxed{\text{アイ}}$ である。

（2）すべての実数 $x$ に対して $f(\sin x)=\cos 4x$ を満たす関数 $f(x)$ は，$f(x)=\boxed{\text{ウ}}{x}^4-\boxed{\text{エ}}{x}^2+\boxed{\text{オ}}$ である。

（3）ある一定の規則で並べられた数列

において $\frac{8}{29}$ は第 $\boxed{\text{カキク}}$ 項の数である。

（4）$A$ を9で割ると8余る整数とするとき，$A^4$ を9で割った余りは $\boxed{\text{ケ}}$ であり，$A^{2025}$ を9で割った余りは $\boxed{\text{コ}}$ である。

有理数からなる数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ を

によって定める。次の問いに答えよ。

（1）$a_{n+1},b_{n+1}$ を $a_n,b_n$ を用いて表すと，

である。また，$a_n^2-5b_n^2={\left(\boxed{\text{ヘホ}}\right)}^n$ である。

（2）$c_n=a_n-b_n\sqrt{5}$ とするとき，数列 $\{c_n\}$ の一般項は

である。

（3）数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ の一般項は

である。

以下の問いに答えよ。

（1）（i）$2^{-\frac{5}{7}}\times 6^{\frac{13}{7}}\times 14^{\frac{6}{7}}\times 21^{\frac{1}{7}}=\boxed{\text{アイウ}}$。

（ii）対数方程式 ${\log }_4(x-2)+{\log }_4(x-17)=2$ の解は，$x=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$k$ を定数とする。$x$ の方程式 $x(1-x{)}^2=k$ が相異なる3つの実数解をもつような $k$ の値の範囲は，$\boxed{\text{カ}}<k<\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}$ である。

（3）当たりくじが何本か入った20本のくじがある。この中からくじを2本引くとき，少なくとも1本が当たりくじである確率は $\frac{7}{19}$ であった。この20本のくじの中に当たりくじは $\boxed{\text{コ}}$ 本ある。

（4）初項が $a$，公差が $d$ の等差数列がある。この数列の初項から第9項までの和が0で，初項から第15項までの和が90であるとき $a=\boxed{\text{サシ}},d=\boxed{\text{ス}}$ である。