三角関数の問題

［ア］～［エ］にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ。

（1）半径 $1$ の円に，$\angle \mathrm{A}$ が鈍角である鈍角三角形 $\mathrm{ABC}$ が内接している。$\mathrm{A}$ を含まない弧 $\mathrm{BC}$ 上に動点 $\mathrm{P}$ をとる。点 $\mathrm{P}$ を含まない弧 $\mathrm{AB}$ と $2$ つの弦 $\mathrm{AP}$，$\mathrm{BP}$ で囲まれる部分の面積を $D$ とする。$\angle \mathrm{C}=\alpha$ のとき，$D$ の最大値を $\alpha$ を用いて表すと［ア］である。

（2）方程式 $x^{11}+17x+5=0$ の解を ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots \cdots ,{\alpha }_{11}$ とする。$11$ 次の多項式 $f(x)$ が次の条件（i），（ii）を満たすとき，$f(x)=$［イ］である。

（i）$x^{11}$ の係数は $1$ である。
（ii）方程式 $f(x)=0$ は，${{\alpha }_1}^2,{{\alpha }_2}^2,{{\alpha }_3}^2,\cdots \cdots ,{{\alpha }_{11}}^2$ を解にもつ。

（3）$1$ 辺の長さが $1$ の正四面体 $\mathrm{ABCD}$ を考える。正の整数 $n$ に対し，$4n+1$ 個の点 ${\mathrm{P}}_0,{\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2,\cdots \cdots ,{\mathrm{P}}_{4n}$ が，次の条件（i），（ii）を満たすとする。

（i）整数 $k$（$k=0,1,2,\cdots \cdots ,n-1$）に対し，${\mathrm{P}}_{4k},{\mathrm{P}}_{4k+1},{\mathrm{P}}_{4k+2},{\mathrm{P}}_{4k+3}$ は，それぞれ辺 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$ 上にある。
（ii）${\mathrm{P}}_0=\mathrm{A},{\mathrm{P}}_{4n}=\mathrm{B}$。

このとき，

のとりうる値の最小値を $n$ を用いて表すと［ウ］である。

（4）$n$ を $3$ 以上の整数とする。点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $3$ の球面上に $n$ 個の頂点をもつ正 $n$ 角形 ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3\cdots {\mathrm{A}}_n$ を考える。点 $\mathrm{O}$ から正 $n$ 角形 ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3\cdots {\mathrm{A}}_n$ を含む平面に下ろした垂線を $\mathrm{OH}$ とする。$\mathrm{OH}=2$ のとき，$1\leqq i<j\leqq n$ である $i,j$ に対する内積 $\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_i}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_j}$ の総和

を $n$ を用いて表すと［エ］である。

（1）$i$ を虚数単位とし，実数 $\theta$ に対して $f(\theta )=\cos \theta +i\sin \theta$ とおく。実数 $a$ に対して，$f({\theta }_1)=\{f(a){\}}^3$ を満たす ${\theta }_1$ の1つを $a$ を用いて表すと ${\theta }_1=\boxed{\text{ナ}}$ であり，

を満たす ${\theta }_2$ の1つを $a$ を用いて表すと ${\theta }_2=\boxed{\text{ニ}}$ である。

（2）$\theta$ の関数 ${\cos }^4\theta$ を適切な有理数 $b$，$c$，$d$ を用いて $b+c\cos 2\theta +d\cos 4\theta$ の形で表すと，${\cos }^4\theta =\boxed{\text{ヌ}}$ となる。

（3）座標平面上で不等式 $0\leqq y\leqq x$ の表す領域において方程式 $(x^2+y^2{)}^3=(x^2-y^2{)}^2$ が定める曲線を $C$ とする。座標平面において，原点を極，$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r,\theta )$ を考えると，$C$ の極方程式は $\boxed{\text{ネ}}$ となる。ただし，$\theta$ の動く範囲は $\boxed{\text{ノ}}$ である。また，曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は $\boxed{\text{ハ}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

（1）$a>0$ とする。$2x^2-(4a+3)x+6a$ を因数分解すると $(\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}})(x-\boxed{\text{ウ}}a)$ となるから，$x$ の不等式 $2x^2-(4a+3)x+6a<0$ をみたす整数 $x$ がちょうど3個となる $a$ の範囲は $\boxed{\text{エ}}<a\leqq \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}$ である。

（2）$\boxed{a}\boxed{a}\boxed{a}\boxed{b}\boxed{b}\boxed{c}\boxed{c}$ の7文字の並べ方は全部で $\boxed{\text{キクケ}}$ 通りある。このうち，両端の文字が一致するような並べ方は $\boxed{\text{コサ}}$ 通りある。

（3）不等式 $6x^2-13x+6\leqq 0$ をみたす $x$ の範囲は $\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}\leqq x\leqq \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}$ である。 $y=5x^2-8x+7$ とすると，$x$ がこの範囲を動くとき，$y$ の最大値は $\frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツ}}}$ である。

（4）$\cos 3\theta$ を $\cos \theta$ を用いて表すと $\cos 3\theta =\boxed{\text{テ}}{\cos }^3\theta -\boxed{\text{ト}}\cos \theta$ となり，$0\leqq \theta <2\pi$ において $\cos 3\theta +\cos \theta =0$ をみたす $\theta$ で最大のものは $\theta =\frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}\pi$ である。

四角形 $ABCD$ は円に内接し，辺 $AB$ と辺 $AD$ の長さはそれぞれ $8,5$ であり，対角線 $BD$ の長さは $7$ である。また，辺 $BC$ と辺 $CD$ は長さが等しい。

（1）$\cos \angle BAD=\frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}$ より辺 $BC$ の長さは $\frac{\boxed{\text{ノ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}}$ であり，四角形 $ABCD$ の面積は $\frac{\boxed{\text{ヒフヘ}}}{\boxed{\text{ホマ}}}\sqrt{\boxed{\text{ミ}}}$ である。

（2）$\cos \angle ABD=\frac{\boxed{\text{ムメ}}}{\boxed{\text{モヤ}}}$ である。対角線 $AC$ と対角線 $BD$ の交点を $E$ とすると，線分の長さの比について，$BE:ED=\boxed{\text{ユ}}:\boxed{\text{ヨ}}$ であるから，$AE$ の長さは $\frac{\boxed{\text{ラリ}}}{\boxed{\text{ルレ}}}\sqrt{\boxed{\text{ロ}}}$ であり，対角線 $AC$ の長さは $\frac{\boxed{\text{ワン}}}{\boxed{\text{あ}}}\sqrt{\boxed{\text{い}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）${}_{2025}{C}_1+{}_{2025}{C}_2+\cdots +{}_{2025}{C}_{2025}$ を $8$ で割った余りは $\boxed{\text{ア}}$ である。

（2）$0\leqq \theta \leqq \pi$ とする。$\tan \theta =-3$ のとき $2\cos \theta +\sin \theta =\frac{\boxed{\text{イ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}}$ である。

（3）$i$ を虚数単位とする。$x$ の2次方程式 $x^2+(i-a)x-5+(a-3)i=0$ が実数解をもつような実数 $a$ の値は，$a=\frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}},\boxed{\text{キ}}$ であり，実数解はそれぞれ $x=\frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}},\boxed{\text{コサ}}$ である。

（4）$\vec{a}=(3,7),\vec{b}=(1,-3)$ のとき $|\vec{a}+t\vec{b}|$ を最小にする $t$ の値は $\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}$ であり，最小値は $\frac{\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソタ}}}}{\boxed{\text{チ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$\frac{3127}{5251}$ を約分したとき，その既約分数は $\frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}$ である。

（2）実数 $x,y,z$ について $\frac{x+y}{5}=\frac{y+z}{2}=\frac{z+x}{3}(\ne 0)$ が成り立つとき，

である。

（3）$x$ の整式 $f(x)$ を $7x-4$ で割った余りが $14$ であるとき，$(6x-3)f(x)$ を $7x-4$ で割ったときの余りは $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$x,y$ に関する連立方程式

$(0\leqq x<2\pi ,0\leqq y<2\pi )$ の解は，$x=\frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\pi ,y=\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\pi$ である。

（5）$x$ の方程式 $({\log }_{2}x{)}^{{\log }_{2}x}=x^3(x\ne 1)$ の解は，$x=\boxed{\text{スセソ}}$ である。

（6）4個のサイコロを同時に投げたとき，出た目が1と6の2種類のみになる確率は $\frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツテ}}}$ である。

（7）$x,y$ は実数とする。$x+y>1$ かつ $x^2+y^2\leqq 1$ は $x>0$ かつ $y>0$ であるための $\boxed{\text{ト}}$。

• ⓪ 必要条件であるが十分条件ではない
• ① 十分条件であるが必要条件ではない
• ② 必要十分条件である
• ③ 必要条件でも十分条件でもない

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ である二等辺三角形 $\mathrm{ABC}$ において，頂点 $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ へ下ろした垂線と $\mathrm{BC}$ との交点を $\mathrm{H}$ とする。$\mathrm{AH}$ の長さを $2$，$\angle \mathrm{ACH}=\theta$ とするとき以下の問いに答えよ。

（1）二等辺三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積は，$\frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ である。空欄 $\boxed{\text{ニ}}$ については，最も適切な式を以下の解答群から1つ選択せよ。

• ⓪ $\cos \theta$
• ① $\sin \theta$
• ② $\tan \theta$
• ③ ${\cos }^2\theta$
• ④ ${\sin }^2\theta$
• ⑤ ${\tan }^2\theta$

（2）二等辺三角形 $\mathrm{ABC}$ の内接円の半径を $r$，外接円の半径を $R$ とすると，

である。空欄 $\boxed{\text{ノ}},\boxed{\text{ヒ}}$ については，最も適切な式を以下の解答群から1つずつ選択せよ。

• ⓪ $\cos \theta$
• ① $\sin \theta$
• ② $\tan \theta$
• ③ ${\cos }^2\theta$
• ④ ${\sin }^2\theta$
• ⑤ ${\tan }^2\theta$

（3）$\theta$ の関数 $\frac{r}{R}$ は，$\theta =\frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}\pi$ のとき最大値 $\frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}$ をとる。

（1）$x,y$ が $x+y=5,x^2+y^2=7$ をみたすとき，$xy=\boxed{\text{ア}},x^5+y^5=\boxed{\text{イウエオ}}$ である。

（2）2次方程式 $x^2-kx+6-k=0$ が実数解をもつとき，$k$ のとり得る範囲は

である。 また，2解がともに正の実数となるとき，$k$ の値で整数となるものは $\boxed{\text{コ}}$ 個ある。

（3）$y=-\cos 2\theta -3\sin \theta -1\left(-\frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}\right)$ について，$y=0$ のとき $\theta =\frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}\pi$ である。 また，$y$ の最大値は $\boxed{\text{セ}}$ である。

（4）方程式 $xy-2x-4y+2=0$ をみたす整数 $x,y$ の組は $\boxed{\text{ソ}}$ 個ある。 また，方程式 $xy-2x-4y=n-8$ をみたす整数 $x,y$ の組が16個となる正の整数 $n$ で最も小さいものは $n=\boxed{\text{タチ}}$ である。

とする。

（1）$x=\frac{\pi }{6}$ のとき $y=\frac{\boxed{\text{ホマ}}-\boxed{\text{ミム}}\sqrt{\boxed{\text{メ}}}}{\boxed{\text{モ}}}$，$x=\frac{\pi }{8}$ のとき $y=\boxed{\text{ヤユ}}-\boxed{\text{ヨラ}}\sqrt{\boxed{\text{リ}}}$ である。

（2）$t=\tan x+\frac{1}{\tan x}$ とおく。 ${\tan }^{2}x+\boxed{\text{ル}}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ であり，$y$ を $t$ を用いて表すと，$y=t^2-\boxed{\text{レ}}t+\boxed{\text{ロ}}$ となる。

また，$t$ のとり得る範囲は $t\geqq \boxed{\text{ワ}}$ であるから，$y$ の最小値は $\boxed{\text{ンあい}}$ である。 このとき，$\sin x\cos x=\frac{\boxed{\text{う}}}{\boxed{\text{え}}}$ だから，$x=\frac{1}{\boxed{\text{おか}}}\pi ,\frac{\boxed{\text{き}}}{\boxed{\text{くけ}}}\pi$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$x,y>0$ とする。関数 $\left(x+\frac{3}{y}\right)\left(y+\frac{3}{x}\right)$ の最小値は $\boxed{\text{アイ}}$ である。

（2）$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$ である $\theta$ について $\sin \theta +\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{3}$ が成り立つとき，$\sin \theta -\cos \theta =\frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

（3）$k$ を定数とする。$x$ の整式 $x^2-2y^2+xy+kx+2y+4$ が，$x,y$ についての2つの1次式の積に因数分解されるとき，$k$ の値は $\boxed{\text{カキ}}$ または $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$\vec{a}=(-5,7),\vec{b}=(6,-4),\vec{c}=(21,19)$ とする。$\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$ を満たす実数 $m,n$ は $m=\boxed{\text{ケ}},n=\boxed{\text{コサ}}$ である。

（5）2直線

がある。直線 ${\ell }_1$ は定数 $k$ の値によらず，定点 $\left(\boxed{\text{シス}},\boxed{\text{セ}}\right)$ を通る。また，2直線 ${\ell }_1,{\ell }_2$ が平行になるときの $k$ の値は，$\boxed{\text{ソタ}}$ または $\frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}$ である。

（6）6冊の同じ種類のノートをA，B，Cの3人に配布する。1冊も配布されない人がいてよいとすると，配り方は全部で $\boxed{\text{テト}}$ 通りある。

半径 $\sqrt{14}$ の円 $C$ において，長さ $\sqrt{42}$ の弦ABをとる。さらに，ABを底辺の一つとする，$\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ の台形ABCDを考える。ただし，台形ABCDは円 $C$ に内接し，$C$ の中心Oをその内部に含むとする。もう一つの底辺DCの長さが $\sqrt{14}$ であるとき，次の問いに答えよ。

（1）$\angle \mathrm{ADB}=\boxed{\text{ナニ}}{}^{\circ },\angle \mathrm{CAB}=\boxed{\text{ヌネ}}{}^{\circ }$ である。

（2）$\mathrm{DA}=\boxed{\text{ノ}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}},\mathrm{BD}=\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}+\sqrt{\boxed{\text{フヘ}}}$ である。

（3）等脚台形ABCDの面積は，$\boxed{\text{ホ}}\left(\boxed{\text{マ}}+\sqrt{\boxed{\text{ミ}}}\right)$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）A，Z，A，B，Uの5文字を1列に並べる並べ方の総数を $X$ とし，D，A，I，G，A，K，Uの7文字を1列に並べる並べ方の総数を $Y$ とすると $\frac{Y}{X}=\boxed{\text{アイ}}$ である。

（2）すべての実数 $x$ に対して $f(\sin x)=\cos 4x$ を満たす関数 $f(x)$ は，$f(x)=\boxed{\text{ウ}}{x}^4-\boxed{\text{エ}}{x}^2+\boxed{\text{オ}}$ である。

（3）ある一定の規則で並べられた数列

において $\frac{8}{29}$ は第 $\boxed{\text{カキク}}$ 項の数である。

（4）$A$ を9で割ると8余る整数とするとき，$A^4$ を9で割った余りは $\boxed{\text{ケ}}$ であり，$A^{2025}$ を9で割った余りは $\boxed{\text{コ}}$ である。