ベクトルの問題

空間において，点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $1$ の円を $S$，円 $S$ を底面にもち点 $\mathrm{P}$ を頂点とする直円錐を $V$ とする。円 $S$ の周上に $4$ 点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ を $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{AB}\perp \mathrm{CD}$ となるようにとる。直線 $\mathrm{CD}$ を含み，$\mathrm{PA}$ と平行な平面を $\alpha$ とする。$\mathrm{PA}=6$ のとき，次の設問に答えよ。

（1）円 $S$ と平行な平面で，$V$ との共通部分が半径 $r$ の円となるものを ${\beta }_r$ とする。$\alpha$ と ${\beta }_r$ の交線と $V$ の共通部分が長さ $l$ の線分となるとき，$l$ を $r$ を用いて表せ。また，この線分を含む直線と点 $\mathrm{O}$ の距離 $d$ を $r$ を用いて表せ。

（2）線分 $\mathrm{AB}$ を $t:(1-t)$ に内分する点を通り，$\alpha$ と平行な平面を ${\alpha }_t$ とする。$t$ を $0<t<1$ の範囲で変化させたとき，${\alpha }_t$ と $V$ の共通部分の面積の最大値を求めよ。

［ア］～［エ］にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ。

（1）半径 $1$ の円に，$\angle \mathrm{A}$ が鈍角である鈍角三角形 $\mathrm{ABC}$ が内接している。$\mathrm{A}$ を含まない弧 $\mathrm{BC}$ 上に動点 $\mathrm{P}$ をとる。点 $\mathrm{P}$ を含まない弧 $\mathrm{AB}$ と $2$ つの弦 $\mathrm{AP}$，$\mathrm{BP}$ で囲まれる部分の面積を $D$ とする。$\angle \mathrm{C}=\alpha$ のとき，$D$ の最大値を $\alpha$ を用いて表すと［ア］である。

（2）方程式 $x^{11}+17x+5=0$ の解を ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots \cdots ,{\alpha }_{11}$ とする。$11$ 次の多項式 $f(x)$ が次の条件（i），（ii）を満たすとき，$f(x)=$［イ］である。

（i）$x^{11}$ の係数は $1$ である。
（ii）方程式 $f(x)=0$ は，${{\alpha }_1}^2,{{\alpha }_2}^2,{{\alpha }_3}^2,\cdots \cdots ,{{\alpha }_{11}}^2$ を解にもつ。

（3）$1$ 辺の長さが $1$ の正四面体 $\mathrm{ABCD}$ を考える。正の整数 $n$ に対し，$4n+1$ 個の点 ${\mathrm{P}}_0,{\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2,\cdots \cdots ,{\mathrm{P}}_{4n}$ が，次の条件（i），（ii）を満たすとする。

（i）整数 $k$（$k=0,1,2,\cdots \cdots ,n-1$）に対し，${\mathrm{P}}_{4k},{\mathrm{P}}_{4k+1},{\mathrm{P}}_{4k+2},{\mathrm{P}}_{4k+3}$ は，それぞれ辺 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$ 上にある。
（ii）${\mathrm{P}}_0=\mathrm{A},{\mathrm{P}}_{4n}=\mathrm{B}$。

このとき，

のとりうる値の最小値を $n$ を用いて表すと［ウ］である。

（4）$n$ を $3$ 以上の整数とする。点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $3$ の球面上に $n$ 個の頂点をもつ正 $n$ 角形 ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3\cdots {\mathrm{A}}_n$ を考える。点 $\mathrm{O}$ から正 $n$ 角形 ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3\cdots {\mathrm{A}}_n$ を含む平面に下ろした垂線を $\mathrm{OH}$ とする。$\mathrm{OH}=2$ のとき，$1\leqq i<j\leqq n$ である $i,j$ に対する内積 $\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_i}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_j}$ の総和

を $n$ を用いて表すと［エ］である。

空間内に点 $\mathrm{P}$ と平面 $\alpha$ をとる。点 $\mathrm{P}$ と平面 $\alpha$ 上の3点 $\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ に対して，

が成り立つとする。線分 $\mathrm{AB}$ 上の点 $\mathrm{Q}$ を，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ が垂直であるようにとる。

（1）$\cos \angle \mathrm{POB}=\boxed{\text{キ}}$ である。

（2）$t=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AB}}$ とおく。このとき，$t$ の値およびそれを求める過程を解答欄（2）に記述しなさい。

（3）$\mathrm{OQ}=\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）点 $\mathrm{P}$ を通り平面 $\alpha$ に垂直な直線と $\alpha$ の交点を $\mathrm{H}$ とする。このとき，実数 $k$ と $l$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+l\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と表すと，$l=\boxed{\text{ケ}}$ となる。

（5）点 $\mathrm{P}$ が平面 $\alpha$ 上にあるのは，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$ の値が $\boxed{\text{コ}}$ または $\boxed{\text{サ}}$ のときである。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

座標空間内に点 $\mathrm{A}(0,0,1)$，点 $\mathrm{B}(1,1,0)$，および実数 $a$ を用いて表される点 $\mathrm{P}(a,0,0)$ をとる。さらに，2点 $(0,2,0)$，$(0,0,2)$ を通る直線を $\ell$ として，3点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P}$ が定める平面と直線 $\ell$ との交点を $\mathrm{Q}$ とする。

（1）点 $\mathrm{Q}$ の座標を $a$ を用いて表せ。

（2）4点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P},\mathrm{Q}$ が四角形 $\mathrm{APBQ}$ を成し，線分 $\mathrm{AB}$ と線分 $\mathrm{PQ}$ が交わるための $a$ の条件を求めよ。

（3）$a$ が（2）の条件を満たすとき，四角形 $\mathrm{APBQ}$ の面積を $a$ を用いて表せ。

以下の問いに答えよ。

（1）${}_{2025}{C}_1+{}_{2025}{C}_2+\cdots +{}_{2025}{C}_{2025}$ を $8$ で割った余りは $\boxed{\text{ア}}$ である。

（2）$0\leqq \theta \leqq \pi$ とする。$\tan \theta =-3$ のとき $2\cos \theta +\sin \theta =\frac{\boxed{\text{イ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}}$ である。

（3）$i$ を虚数単位とする。$x$ の2次方程式 $x^2+(i-a)x-5+(a-3)i=0$ が実数解をもつような実数 $a$ の値は，$a=\frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}},\boxed{\text{キ}}$ であり，実数解はそれぞれ $x=\frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}},\boxed{\text{コサ}}$ である。

（4）$\vec{a}=(3,7),\vec{b}=(1,-3)$ のとき $|\vec{a}+t\vec{b}|$ を最小にする $t$ の値は $\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}$ であり，最小値は $\frac{\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソタ}}}}{\boxed{\text{チ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$x,y>0$ とする。関数 $\left(x+\frac{3}{y}\right)\left(y+\frac{3}{x}\right)$ の最小値は $\boxed{\text{アイ}}$ である。

（2）$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$ である $\theta$ について $\sin \theta +\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{3}$ が成り立つとき，$\sin \theta -\cos \theta =\frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

（3）$k$ を定数とする。$x$ の整式 $x^2-2y^2+xy+kx+2y+4$ が，$x,y$ についての2つの1次式の積に因数分解されるとき，$k$ の値は $\boxed{\text{カキ}}$ または $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$\vec{a}=(-5,7),\vec{b}=(6,-4),\vec{c}=(21,19)$ とする。$\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$ を満たす実数 $m,n$ は $m=\boxed{\text{ケ}},n=\boxed{\text{コサ}}$ である。

（5）2直線

がある。直線 ${\ell }_1$ は定数 $k$ の値によらず，定点 $\left(\boxed{\text{シス}},\boxed{\text{セ}}\right)$ を通る。また，2直線 ${\ell }_1,{\ell }_2$ が平行になるときの $k$ の値は，$\boxed{\text{ソタ}}$ または $\frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}$ である。

（6）6冊の同じ種類のノートをA，B，Cの3人に配布する。1冊も配布されない人がいてよいとすると，配り方は全部で $\boxed{\text{テト}}$ 通りある。

$△\mathrm{ABC}$ において辺 $\mathrm{BC}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{D}$ とし，辺 $\mathrm{AC}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{E}$ とする。

（1）$\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ を用いて表すと，

である。

（2）$△\mathrm{ADE}$ の面積は，$△\mathrm{ABC}$ の面積の $\frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}$ 倍である。

以下の問いに答えよ。

（1）$xy\ne 0$ かつ $4^x=5^y=20^{26}$ を満たす実数 $x,y$ について $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}$ である。

（2）$a=\sin \frac{\pi }{18}$ のとき，$3a-4a^3=\frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

（3）座標空間の2点 $\mathrm{A}(2,1,-2),\mathrm{B}(-1,-5,1)$ を通る直線を $\ell$ とする。 原点 $\mathrm{O}$ を通る直線が $\ell$ と垂直に交わるとき，その交点の座標は $\left(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キク}},\boxed{\text{ケコ}}\right)$ である。

（4）$(x^2+2x-1{)}^9$ の展開式における $x^4$ の項の係数は，$\boxed{\text{サシスセソ}}$ である。