ベクトルの問題

以下の問いに答えよ。

（1）${}_{2025}{C}_1+{}_{2025}{C}_2+\cdots +{}_{2025}{C}_{2025}$ を $8$ で割った余りは $\boxed{\text{ア}}$ である。

（2）$0\leqq \theta \leqq \pi$ とする。$\tan \theta =-3$ のとき $2\cos \theta +\sin \theta =\frac{\boxed{\text{イ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}}$ である。

（3）$i$ を虚数単位とする。$x$ の2次方程式 $x^2+(i-a)x-5+(a-3)i=0$ が実数解をもつような実数 $a$ の値は，$a=\frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}},\boxed{\text{キ}}$ であり，実数解はそれぞれ $x=\frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}},\boxed{\text{コサ}}$ である。

（4）$\vec{a}=(3,7),\vec{b}=(1,-3)$ のとき $|\vec{a}+t\vec{b}|$ を最小にする $t$ の値は $\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}$ であり，最小値は $\frac{\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソタ}}}}{\boxed{\text{チ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$x,y>0$ とする。関数 $\left(x+\frac{3}{y}\right)\left(y+\frac{3}{x}\right)$ の最小値は $\boxed{\text{アイ}}$ である。

（2）$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$ である $\theta$ について $\sin \theta +\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{3}$ が成り立つとき，$\sin \theta -\cos \theta =\frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

（3）$k$ を定数とする。$x$ の整式 $x^2-2y^2+xy+kx+2y+4$ が，$x,y$ についての2つの1次式の積に因数分解されるとき，$k$ の値は $\boxed{\text{カキ}}$ または $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$\vec{a}=(-5,7),\vec{b}=(6,-4),\vec{c}=(21,19)$ とする。$\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$ を満たす実数 $m,n$ は $m=\boxed{\text{ケ}},n=\boxed{\text{コサ}}$ である。

（5）2直線

がある。直線 ${\ell }_1$ は定数 $k$ の値によらず，定点 $\left(\boxed{\text{シス}},\boxed{\text{セ}}\right)$ を通る。また，2直線 ${\ell }_1,{\ell }_2$ が平行になるときの $k$ の値は，$\boxed{\text{ソタ}}$ または $\frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}$ である。

（6）6冊の同じ種類のノートをA，B，Cの3人に配布する。1冊も配布されない人がいてよいとすると，配り方は全部で $\boxed{\text{テト}}$ 通りある。

$△\mathrm{ABC}$ において辺 $\mathrm{BC}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{D}$ とし，辺 $\mathrm{AC}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{E}$ とする。

（1）$\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ を用いて表すと，

である。

（2）$△\mathrm{ADE}$ の面積は，$△\mathrm{ABC}$ の面積の $\frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}$ 倍である。

以下の問いに答えよ。

（1）$xy\ne 0$ かつ $4^x=5^y=20^{26}$ を満たす実数 $x,y$ について $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}$ である。

（2）$a=\sin \frac{\pi }{18}$ のとき，$3a-4a^3=\frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

（3）座標空間の2点 $\mathrm{A}(2,1,-2),\mathrm{B}(-1,-5,1)$ を通る直線を $\ell$ とする。 原点 $\mathrm{O}$ を通る直線が $\ell$ と垂直に交わるとき，その交点の座標は $\left(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キク}},\boxed{\text{ケコ}}\right)$ である。

（4）$(x^2+2x-1{)}^9$ の展開式における $x^4$ の項の係数は，$\boxed{\text{サシスセソ}}$ である。