【期待値マスター講座11】 秘密兵器"線形性"を手を動かして確かめる （例題付き）

この記事では、期待値の線形性の正確なステートメントと、その証明を見ます。

証明の中で独立性をどこにも使っていないことを確認し、「線形性に独立性は要らない」という事実の根拠を腑に落とします。

公式LINEでテキスト配布中
公式LINE追加→ 期待値テキスト と送信
で120ページ超えのテキストを自動送信！
ㅤ
無料勉強相談も受付中
学習相談も受け付けています。
ゴウカライズは情報の少ない獣医学部や医学部受験にも精通しています。
一般入試はもちろん、総合型選抜や推薦など、なんでもお問い合わせください！

シリーズ全体の流れを先に見たい方は、まず 期待値マスター講座の導入記事 からどうぞ。全56回の構成と読み進め方をまとめています。

https://note.com/goukalize/n/n9de4e3c6c4fb

正確なステートメント

定理（期待値の線形性）：有限個の値をとる確率変数 $${X_1, X_2, \ldots, X_n}$$ と実数 $${a_1, a_2, \ldots, a_n}$$ について

$$
E\Bigl(\sum_{k=1}^{n} a_k X_k\Bigr) = \sum_{k=1}^{n} a_k E(X_k)
$$

が成り立ちます。

前回の記事では、 $${a_k = 1}$$ の場合（単純な和の期待値）を使いました。一般には係数つきでも成り立ち、線形写像としての構造を持ちます。

ステートメント自体はごく自然に見えますが、証明には少し手間がかかります。まず $${n=2}$$ の場合を示し、その後 $${n}$$ について帰納法で一般化する、という二段構成で進めます。

$${n=2}$$ の場合の証明

$${X_1, X_2}$$ をそれぞれ値 $${u_1, \ldots, u_m}$$、 $${v_1, \ldots, v_l}$$ をとる確率変数とします。同時分布を

$$
q_{ij} = P(X_1 = u_i,\ X_2 = v_j)\quad (1\le i\le m,\ 1\le j\le l)
$$

とおきます。

ここで、 $${X_1 = u_i}$$ となる確率は

$$
P(X_1 = u_i) = \sum_{j=1}^{l} q_{ij}
$$

です。これは「 $${X_1 = u_i}$$ である全パターンを、 $${X_2}$$ の値で場合分けして足し上げる」という、当たり前の関係です。同様に $${P(X_2 = v_j) = \sum_i q_{ij}}$$。

$${a_1 X_1 + a_2 X_2}$$ の期待値を定義通りに計算します。

$$
\begin{aligned}
E(a_1 X_1 + a_2 X_2)
&= \sum_{i,j} (a_1 u_i + a_2 v_j) \cdot q_{ij} \\
&= a_1 \sum_{i,j} u_i q_{ij} + a_2 \sum_{i,j} v_j q_{ij} \\
&= a_1 \sum_{i} u_i \Bigl(\sum_j q_{ij}\Bigr) + a_2 \sum_{j} v_j \Bigl(\sum_i q_{ij}\Bigr) \\
&= a_1 \sum_{i} u_i P(X_1 = u_i) + a_2 \sum_{j} v_j P(X_2 = v_j) \\
&= a_1 E(X_1) + a_2 E(X_2).
\end{aligned}
$$

これで $${n=2}$$ の場合が示せました。

どこで独立性を使ったか──使っていない

証明をもう一度たどってください。中で使った道具は次の2つだけです。

• 期待値の定義（値かける確率の総和）
• 周辺分布の関係 $${P(X_1 = u_i) = \sum_j q_{ij}}$$ と $${P(X_2 = v_j) = \sum_i q_{ij}}$$

両方とも、 $${X_1}$$ と $${X_2}$$ の同時分布 $${q_{ij}}$$ がどんな形でも成り立ちます。 独立性の式 $${q_{ij} = P(X_1=u_i)P(X_2=v_j)}$$ はどこにも使っていません 。

つまり、 $${X_1}$$ と $${X_2}$$ が独立であっても、強く従属していても、 $${E(X_1+X_2) = E(X_1)+E(X_2)}$$ は必ず成立します。これが第I部以来くり返し強調している「線形性に独立性は不要」の正体です。

$${n\ge 3}$$ への拡張

$${n=2}$$ の場合が示せたら、 $${n\ge 3}$$ は帰納法ですぐに導けます。 $${Y = \sum_{k=1}^{n-1} a_k X_k}$$ とおくと

$$
E\Bigl(\sum_{k=1}^{n} a_k X_k\Bigr) = E(Y + a_n X_n) = E(Y) + a_n E(X_n)
$$

と $${n=2}$$ の場合に帰着します。 $${E(Y)}$$ には帰納法の仮定が使えて

$$
E(Y) = \sum_{k=1}^{n-1} a_k E(X_k)
$$

となります。合わせれば

$$
E\Bigl(\sum_{k=1}^{n} a_k X_k\Bigr) = \sum_{k=1}^{n} a_k E(X_k)
$$

を得ます。

例題：定数倍と定数の足し算

確率変数 $${X}$$ の期待値が $${E(X) = 5}$$ であるとき、 $${E(3X + 7)}$$ を求めよ。

定数 $${c}$$ を「確率1で値 $${c}$$ をとる確率変数」と見れば $${E(c) = c}$$。線形性から

$$
E(3X + 7) = 3 E(X) + E(7) = 3\cdot 5 + 7 = 22.
$$

「期待値の式の中の定数や係数は、外に出せる」というのが線形性の使い方の基本動作です。

補足：「定数も確率変数」と見る

上の例題で、定数 $${7}$$ を確率変数として扱いました。これは厳密には「すべての結果 $${\omega}$$ に対して $${X(\omega) = 7}$$ となる定数関数」を考えていて、 $${E(X) = 7\cdot P(\Omega) = 7\cdot 1 = 7}$$ となります。

このような 定数の確率変数 は、線形性の議論で便利な道具です。「定数項を含む式」も普通に処理できます。

定理を書くときには「実数 $${a_1, \ldots, a_n}$$ と確率変数 $${X_1, \ldots, X_n}$$」と分けて書きますが、現場では「 $${X_1 + 7}$$ のような式の期待値」も同じノリで $${E(X_1) + 7}$$ になります。

練習問題

確率変数 $${X, Y}$$ について $${E(X) = 2}$$、 $${E(Y) = -3}$$ が分かっているとき、 $${E(4X - 5Y + 1)}$$ を求めよ。 $${X}$$ と $${Y}$$ が独立かどうかは聞かれていないが、答えは何によらず定まることを確認せよ。

線形性から

$$
E(4X - 5Y + 1) = 4 E(X) - 5 E(Y) + 1 = 4\cdot 2 - 5\cdot (-3) + 1 = 8 + 15 + 1 = 24.
$$

途中で、 $${X}$$ と $${Y}$$ が独立かどうかは一度も使っていません。 独立だろうが従属だろうが、 $${E(X)}$$ と $${E(Y)}$$ の値さえ分かれば、和の期待値は決まる 。これが線形性の手軽さです。

仮に問題文が「 $${X = Y}$$（強い従属関係）」だったとしても答えは同じ24です。 $${Y = X^2}$$ のような特殊な依存関係でも、 $${E(X) = 2}$$ と $${E(Y) = -3}$$ が事実なら、 $${E(4X - 5Y + 1) = 24}$$ は変わりません（ $${Y = X^2 \ge 0}$$ で $${E(Y) = -3}$$ は実際には起こりませんが、論理的にはそう書けます）。

次に読む記事

次回は、線形性が実際に威力を発揮する典型題として、「1から $${n}$$ までのカードを並べたとき、 $${1}$$ と $${n}$$ の間にあるカードの枚数の期待値」を扱います。指示関数を使った分解の最初の手応えのある例です。

【無料相談受付中】学習マネジメントはゴウカライズにおまかせを！

「成績が伸び悩んでいるけどどうやって打破すればいいかわからない…」
「塾・予備校に行ってるけど、全体の成績が思ったように上がらない…」

そんな悩みをお持ちの受験生・保護者の皆様、ゴウカライズにご相談ください！

入試を突破するため、私たちはあなたの志望校や受験方式に必要なすべてをトータルサポートします。

【一般入試】完全オーダーメイドの学習計画 ：
入試は、わずかな失点が合否を分けることもあります。
あなたの現状と志望校の出題傾向を分析し、合格ラインに到達するための最短ルートを設計。
日々の進捗管理で、学習の遅れも見逃しません。

【推薦・総合型選抜】面接・小論文もプロが対応 ：
推薦入試や総合型選抜で必須となる「面接・小論文・志望理由書」の対策もお任せください。
医学部や獣医系特有のテーマ（動物倫理や獣医療時事など）に対応できるプロ講師が、合格レベルの答案作成と受け答えを指導します。

プロ講師・優秀学生講師の個別指導 ：
学習管理だけでなく、経験豊富なプロ講師や、高倍率から選抜された優秀な学生講師による完全個別指導も提供。
苦手科目の克服や過去問解説など、あなたのニーズに合わせた1対1の指導が可能です。

【医学部・獣医学部対策】特殊な対策に完全対応 ：
医学部入試、獣医学部入試は特殊な対策が必要です。
面接などがある入試形式の場合、面接対策も侮れません。
そんな入試に精通したプロがゴウカライズには多数在籍しています。
ゴウカライズ代表の大北も医学部・獣医学部受験の指導経験は15年を超える大ベテランです。

まずは無料相談で、あなたの合格までのロードマップを一緒に描きませんか？
無理な勧誘は一切ありません。
予備校選びに迷っているなどの相談でも、客観的にアドバイスを行います。

公式LINEでいつでも無料相談を受け付けています！

https://goukalize.com/

https://goukalize-official-line-harness.tiny-atlas.workers.dev/r/Expected-Value

#オンライン予備校 #大学受験 #数学 #期待値 #線形性