【母関数マスター講座 第11回】もう一度微分する〜「分散」すらもシステマチックに求める〜

前回（第10回）は、確率母関数を1回微分して $${x = 1}$$ を代入するだけで期待値が出ることを学びました。

今回は、もう1回微分します。2回微分の結果と期待値を組み合わせると、確率のもう1つの重要指標である「分散」が、やはり母関数の操作だけで求まります。

母関数マスター講座の全体像、シラバスは以下の記事でご覧ください。

https://note.com/goukalize/n/ne5f45c351ab2

LINE追加でまとめPDF配布中！
ㅤ
公式LINEを追加して「母関数マスター講座」と送信していただいた方に、講座全体をまとめたPDF（全63ページ）を無料でお配りしています。
ㅤ
自動送信のため、送信文は 「母関数マスター講座」 と正確にお送りください。
ㅤ
https://line.me/R/ti/p/@965ezfgt?oat_content=url

1. 2回微分すると何が降りてくるか

確率母関数 $${f(x) = \displaystyle \sum_k a_k x^k}$$ を2回微分して $${x = 1}$$ を代入してみましょう。

$$
\begin{aligned}
f''(x) = \sum_k k(k-1) a_k \, x^{k-2} \tag{①}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
f''(1) = \sum_k k(k-1) a_k = E[X(X-1)] \tag{②}
\end{aligned}
$$

②より、2回微分で得られるのは $${E[X(X-1)]}$$ 、つまり「階乗モーメント」です。 $${E[X^2]}$$ そのものではありませんが、ここから簡単に $${E[X^2]}$$ が求まります。

$$
\begin{aligned}
E[X^2] = E[X(X-1)] + E[X] = f''(1) + f'(1) \tag{③}
\end{aligned}
$$

2. 分散の公式に組み込む

分散 $${V(X)}$$ の定義は $${E[X^2] - (E[X])^2}$$ です。③と前回の結果 $${E[X] = f'(1)}$$ を代入すると、

$$
\begin{aligned}
V(X) &= E[X^2] - (E[X])^2 \\
&= f''(1) + f'(1) - (f'(1))^2 \tag{④}
\end{aligned}
$$

④が、母関数から分散を求める公式です。 $${f'(1)}$$ と $${f''(1)}$$ の2つの値があれば、分散まで確定します。

3. コイントスの分散を計算する

$${n}$$ 枚のコインで表が出る枚数 $${X}$$ の分散を求めてみましょう。確率母関数は $${f(x) = \left( \frac{1+x}{2} \right)^n}$$ でした。

前回の結果より $${f'(1) = \frac{n}{2}}$$ です。2回微分を計算します。

$$
\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{n}{2} \left( \frac{1+x}{2} \right)^{n-1} \tag{⑤}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
f''(x) &= \frac{n(n-1)}{4} \left( \frac{1+x}{2} \right)^{n-2} \tag{⑥}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
f''(1) &= \frac{n(n-1)}{4} \cdot 1 = \frac{n(n-1)}{4} \tag{⑦}
\end{aligned}
$$

⑦を④に代入します。

$$
\begin{aligned}
V(X) &= \frac{n(n-1)}{4} + \frac{n}{2} - \left(\frac{n}{2}\right)^2 \\
&= \frac{n^2 - n}{4} + \frac{2n}{4} - \frac{n^2}{4} \\
&= \frac{n}{4} \tag{⑧}
\end{aligned}
$$

⑧より、 $${V(X) = \frac{n}{4}}$$ です。これは二項分布 $${B\left(n, \frac{1}{2}\right)}$$ の分散 $${np(1-p) = n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{4}}$$ と一致します。

4. 一般の二項分布への拡張

コインの表が出る確率が $${\frac{1}{2}}$$ ではなく一般の $${p}$$ の場合、確率母関数は $${f(x) = (1 - p + px)^n}$$ です。同じ手順で微分すると、

$$
\begin{aligned}
f'(1) &= np \tag{⑨}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
f''(1) &= n(n-1)p^2 \tag{⑩}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
V(X) &= n(n-1)p^2 + np - (np)^2 \\
&= np(1-p) \tag{⑪}
\end{aligned}
$$

⑨⑪は教科書に載っている二項分布の期待値・分散の公式そのものです。母関数の微分は、これらの公式を覚える必要すらなくしてしまいます。問題に応じて母関数を書き、微分し、代入する。それだけで期待値も分散も出るのですから。

まとめ

確率母関数を1回微分すれば期待値、2回微分すれば分散に必要な $${E[X(X-1)]}$$ が得られます。暗記すべき公式が減り、手順がシステマチックになる。これが第3部で学んだ「計算ショートカット」の真骨頂です。

次回、第12回からは第4部に突入し、漸化式を母関数で解くテクニックを学びます。フィボナッチ数列の一般項を、母関数の力で導出してみましょう。

【無料相談受付中】学習マネジメントはゴウカライズにおまかせを！

「成績が伸び悩んでいるけどどうやって打破すればいいかわからない…」
「塾・予備校に行ってるけど、全体の成績が思ったように上がらない…」

そんな悩みをお持ちの受験生・保護者の皆様、ゴウカライズにご相談ください！

入試を突破するため、私たちはあなたの志望校や受験方式に必要なすべてをトータルサポートします。

【一般入試】完全オーダーメイドの学習計画 ：
入試は、わずかな失点が合否を分けることもあります。あなたの現状と志望校の出題傾向を分析し、合格ラインに到達するための最短ルートを設計。日々の進捗管理で、学習の遅れも見逃しません。

【推薦・総合型選抜】面接・小論文もプロが対応 ：
推薦入試や総合型選抜で必須となる「面接・小論文・志望理由書」の対策もお任せください。医学部や獣医系特有のテーマ（動物倫理や獣医療時事など）に対応できるプロ講師が、合格レベルの答案作成と受け答えを指導します。

プロ講師・優秀学生講師の個別指導 ：
学習管理だけでなく、経験豊富なプロ講師や、高倍率から選抜された優秀な学生講師による完全個別指導も提供。
苦手科目の克服や過去問解説など、あなたのニーズに合わせた1対1の指導が可能です。

【医学部・獣医学部対策】特殊な対策に完全対応 :
医学部入試、獣医学部入試は特殊な対策が必要です。
面接などがある入試形式の場合、面接対策も侮れません。
そんな入試に精通したプロがゴウカライズには多数在籍しています。
ゴウカライズ代表の大北も医学部・獣医学部受験の指導経験は15年を超える大ベテランです。

まずは無料相談で、あなたの合格までのロードマップを一緒に描きませんか？
無理な勧誘は一切ありません。
予備校選びに迷っているなどの相談でも、客観的にアドバイスを行います。

公式LINEでいつでも無料相談を受け付けています！

https://goukalize.com/

https://line.me/R/ti/p/@965ezfgt?oat_content=url

#医学部専門予備校 #入試数学 #大学受験 #オンライン塾