【解答・解説】2026年 麻布大学 第Ⅰ期B日程（獣医学科） 数学 第1問

（1）指数の条件から逆数の和を求める

logの基本事項

底は $a>0,\ a\ne1$、真数は正。 $M,N>0$ のとき、

$$\begin{aligned} \log_a(MN)&=\log_a M+\log_a N,\\ \log_a\dfrac MN&=\log_a M-\log_a N,\\ \log_a M^r&=r\log_a M. \end{aligned}$$

対数の底の選び方

底の選び方によって解けなくなることはないので、底を何にするかは気にしなくて良い。 底を1種類にそろえることだけが重要。

求めるのは $x,\ y$ そのものではなく、逆数の和です。 共通の底で対数を取り、$\dfrac1x,\ \dfrac1y$ を表すことを考えます。 底は $2$ や $10$ でも構いませんが、ここでは右辺の $20^{26}$ に合わせて $20$ を選ぶと、$x\log_{20}4=26$ から $\dfrac1x=\dfrac{\log_{20}4}{26}$ と表せます。 $y$ も同様に処理し、$4\cdot5=20$ に着目して対数の和をまとめます。

（2）三倍角の公式を見抜く

三倍角の公式

1. $\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$
2. $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$

$3\theta=2\theta+\theta$ として、加法定理と倍角の公式から導ける。 覚えなくても良いが導けるようにしておく。

$3a-4a^3$ の係数と符号が、$\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ の右辺と一致しています。 $a=\sin\dfrac{\pi}{18}$ を代入すると、角が3倍されて $\dfrac{\pi}{6}$ になります。 $\sin\dfrac{\pi}{18}$ 自体の値を求める必要はありません。

公式の形を連想できないときは、式だけでなく角度に注目します。 $\dfrac{\pi}{18}$ は、そのままでは値を知らない角ですが、3倍すると値の分かる $\dfrac{\pi}{6}$ になります。 そこで $\theta=\dfrac{\pi}{18}$ とおき、$\sin\dfrac{\pi}{6}=\sin(2\theta+\theta)$ を加法定理で展開してみます。 倍角の公式を使い、$\cos^2\theta$ を $1-\sin^2\theta$ に直せば、$\sin\theta$ の式にそろえられます。 整理すると $3\sin\theta-4\sin^3\theta$ が現れ、求める式につながります。

（3）直線上の点を表し、垂直条件を使う

ベクトルの内積

内積は、二つのベクトルから定まる数。 零ベクトルでない $\vec a,\ \vec b$ のなす角を $\theta$ とすると、

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta.$$

成分で計算するときは、対応する成分どうしを掛けて足す。

平面では、$\vec a=(a_1,a_2),\ \vec b=(b_1,b_2)$ に対して、

$$\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2.$$

空間では、$\vec a=(a_1,a_2,a_3),\ \vec b=(b_1,b_2,b_3)$ に対して、

$$\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.$$

ベクトルの垂直条件

零ベクトルでない二つのベクトルが垂直であることと、内積が $0$ であることは同値。

$$\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0.$$

垂直という条件を式にするときは、二つのベクトルの内積を計算し、$0$ とおく。

交点を $\mathrm{H}$ とすると、条件は「$\mathrm{H}$ が直線 $\ell$ 上にある」と「$\mathrm{OH}\perp\ell$」の二つです。 まず $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ とおき、直線上にある条件を満たす形にします。 あとは $\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$ を使えば、$t$ が決まります。

（4）必要な次数を作る項だけを選ぶ

$(a+b)^n$ の扱い方（二項定理）

$n$ が $0$ 以上の整数のとき、展開した式の $a^{n-k}b^k$ の係数は $\,{}_nC_k$（$0\le k\le n$）。

$$\begin{aligned} (a+b)^n &=\sum_{k=0}^{n}{}_nC_k a^{n-k}b^k\\ &=a^n+{}_nC_1a^{n-1}b\\ &\quad+{}_nC_2a^{n-2}b^2+\cdots\\ &\quad+{}_nC_{n-2}a^2b^{n-2}\\ &\quad+{}_nC_{n-1}ab^{n-1}+b^n. \end{aligned}$$

二項定理の係数は、各因子からどちらの項を選ぶかを数えたものです。 同じ考え方で、9個の因子それぞれから $x^2,\ 2x,\ -1$ のいずれかを選びます。 $x^2$ を $r$ 個、$2x$ を $s$ 個選ぶと次数は $2r+s$ なので、$2r+s=4$ を満たす組だけを調べれば十分です。 全体を展開せず、3通りの寄与を足し合わせます。