麻布大学の数学過去問

以下の問いに答えよ。

（1）$\frac{3127}{5251}$ を約分したとき，その既約分数は $\frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}$ である。

（2）実数 $x,y,z$ について $\frac{x+y}{5}=\frac{y+z}{2}=\frac{z+x}{3}(\ne 0)$ が成り立つとき，

である。

（3）$x$ の整式 $f(x)$ を $7x-4$ で割った余りが $14$ であるとき，$(6x-3)f(x)$ を $7x-4$ で割ったときの余りは $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$x,y$ に関する連立方程式

$(0\leqq x<2\pi ,0\leqq y<2\pi )$ の解は，$x=\frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\pi ,y=\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\pi$ である。

（5）$x$ の方程式 $({\log }_{2}x{)}^{{\log }_{2}x}=x^3(x\ne 1)$ の解は，$x=\boxed{\text{スセソ}}$ である。

（6）4個のサイコロを同時に投げたとき，出た目が1と6の2種類のみになる確率は $\frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツテ}}}$ である。

（7）$x,y$ は実数とする。$x+y>1$ かつ $x^2+y^2\leqq 1$ は $x>0$ かつ $y>0$ であるための $\boxed{\text{ト}}$。

• ⓪ 必要条件であるが十分条件ではない
• ① 十分条件であるが必要条件ではない
• ② 必要十分条件である
• ③ 必要条件でも十分条件でもない

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ である二等辺三角形 $\mathrm{ABC}$ において，頂点 $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ へ下ろした垂線と $\mathrm{BC}$ との交点を $\mathrm{H}$ とする。$\mathrm{AH}$ の長さを $2$，$\angle \mathrm{ACH}=\theta$ とするとき以下の問いに答えよ。

（1）二等辺三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積は，$\frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ である。空欄 $\boxed{\text{ニ}}$ については，最も適切な式を以下の解答群から1つ選択せよ。

• ⓪ $\cos \theta$
• ① $\sin \theta$
• ② $\tan \theta$
• ③ ${\cos }^2\theta$
• ④ ${\sin }^2\theta$
• ⑤ ${\tan }^2\theta$

（2）二等辺三角形 $\mathrm{ABC}$ の内接円の半径を $r$，外接円の半径を $R$ とすると，

である。空欄 $\boxed{\text{ノ}},\boxed{\text{ヒ}}$ については，最も適切な式を以下の解答群から1つずつ選択せよ。

• ⓪ $\cos \theta$
• ① $\sin \theta$
• ② $\tan \theta$
• ③ ${\cos }^2\theta$
• ④ ${\sin }^2\theta$
• ⑤ ${\tan }^2\theta$

（3）$\theta$ の関数 $\frac{r}{R}$ は，$\theta =\frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}\pi$ のとき最大値 $\frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}$ をとる。

条件

で定められる数列 $\{a_n\}$ について以下の問いに答えよ。

（1）$b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}(n\geqq 1)$ とおくと，$b_{n+1}+b_n=\boxed{\text{ミ}}$ である。このことから数列 $\{b_n\}$ の一般項は，

となる。したがって，$b_{n+1}{b}_n=\boxed{\text{ユ}}$ である。

（2）$n\geqq 2$ のとき $a_n=a_1\cdot \frac{a_2}{a_1}\cdot \frac{a_3}{a_2}\cdots \frac{a_n}{a_{n-1}}$ であることに注意すると，（1）の結果から

である。

（3）$\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とおくとき，

である。

2つの関数

について以下の問いに答えよ。

（1）曲線 $y=f(x)$ と曲線 $y=g(x)$ の共有点のうち $x$ 座標が正であるものは，$\left(\boxed{\text{お}},\boxed{\text{か}}\right)$ である。また，この点における接線の方程式は $y=\boxed{\text{きく}}x+\boxed{\text{け}}$ である。

（2）$f(x)\leqq g(x)$ を満たす $x$ の範囲は $x\geqq \boxed{\text{こさ}}$ である。また，$t$ を $t>1$ を満たす実数としたとき，$\boxed{\text{こさ}}\leqq x\leqq t$ の範囲で2曲線 $y=f(x),y=g(x)$ が囲む部分の面積と，$y=f(x),y=g(x)$ および直線 $x=t$ が囲む部分の面積の和が $\frac{75}{4}$ となる $t$ の値は，$\boxed{\text{し}}$ である。

（1）$x,y$ が $x+y=5,x^2+y^2=7$ をみたすとき，$xy=\boxed{\text{ア}},x^5+y^5=\boxed{\text{イウエオ}}$ である。

（2）2次方程式 $x^2-kx+6-k=0$ が実数解をもつとき，$k$ のとり得る範囲は

である。 また，2解がともに正の実数となるとき，$k$ の値で整数となるものは $\boxed{\text{コ}}$ 個ある。

（3）$y=-\cos 2\theta -3\sin \theta -1\left(-\frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}\right)$ について，$y=0$ のとき $\theta =\frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}\pi$ である。 また，$y$ の最大値は $\boxed{\text{セ}}$ である。

（4）方程式 $xy-2x-4y+2=0$ をみたす整数 $x,y$ の組は $\boxed{\text{ソ}}$ 個ある。 また，方程式 $xy-2x-4y=n-8$ をみたす整数 $x,y$ の組が16個となる正の整数 $n$ で最も小さいものは $n=\boxed{\text{タチ}}$ である。

1から15までの整数が1枚に1つずつ書かれた15枚のカードがある。

（1）15枚の中から2枚のカードを同時に取り出すとき，カードに書かれている2つの数の積が偶数である確率は $\frac{\boxed{\text{ツテ}}}{\boxed{\text{トナ}}}$ であり，2つの数の和が3の倍数である確率は $\frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}$ である。

（2）15枚の中から3枚のカードを続けて取り出し，取り出した順に $a,b,c$ とするとき，$a<b<c$ である確率は $\frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}$，$a,b,c$ を3辺の長さとする直角三角形が存在する確率は $\frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒフヘ}}}$ である。

とする。

（1）$x=\frac{\pi }{6}$ のとき $y=\frac{\boxed{\text{ホマ}}-\boxed{\text{ミム}}\sqrt{\boxed{\text{メ}}}}{\boxed{\text{モ}}}$，$x=\frac{\pi }{8}$ のとき $y=\boxed{\text{ヤユ}}-\boxed{\text{ヨラ}}\sqrt{\boxed{\text{リ}}}$ である。

（2）$t=\tan x+\frac{1}{\tan x}$ とおく。 ${\tan }^{2}x+\boxed{\text{ル}}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ であり，$y$ を $t$ を用いて表すと，$y=t^2-\boxed{\text{レ}}t+\boxed{\text{ロ}}$ となる。

また，$t$ のとり得る範囲は $t\geqq \boxed{\text{ワ}}$ であるから，$y$ の最小値は $\boxed{\text{ンあい}}$ である。 このとき，$\sin x\cos x=\frac{\boxed{\text{う}}}{\boxed{\text{え}}}$ だから，$x=\frac{1}{\boxed{\text{おか}}}\pi ,\frac{\boxed{\text{き}}}{\boxed{\text{くけ}}}\pi$ である。

$k>0$ とし，$xy$ 平面における $y=k{x}^2+2x-k+3$ のグラフを $C$ とする。

（1）$C$ は $k$ の値によらずつねに2つの定点 $\mathrm{A}\left(\boxed{\text{こさ}},\boxed{\text{し}}\right),\mathrm{B}\left(\boxed{\text{す}},\boxed{\text{せ}}\right)$ を通り，直線ABと $C$ の囲む図形の面積は $\frac{\boxed{\text{そ}}}{\boxed{\text{た}}}k$ である。

（2）（1）のA，Bにおける $C$ の接線をそれぞれ $l,m$ とおく。 $l,m$ の交点は $\left(\boxed{\text{ち}},\boxed{\text{つて}}k+\boxed{\text{と}}\right)$ であり，$l,m,C$ の囲む図形の面積は $\frac{\boxed{\text{な}}}{\boxed{\text{に}}}k$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$x,y>0$ とする。関数 $\left(x+\frac{3}{y}\right)\left(y+\frac{3}{x}\right)$ の最小値は $\boxed{\text{アイ}}$ である。

（2）$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$ である $\theta$ について $\sin \theta +\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{3}$ が成り立つとき，$\sin \theta -\cos \theta =\frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

（3）$k$ を定数とする。$x$ の整式 $x^2-2y^2+xy+kx+2y+4$ が，$x,y$ についての2つの1次式の積に因数分解されるとき，$k$ の値は $\boxed{\text{カキ}}$ または $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$\vec{a}=(-5,7),\vec{b}=(6,-4),\vec{c}=(21,19)$ とする。$\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$ を満たす実数 $m,n$ は $m=\boxed{\text{ケ}},n=\boxed{\text{コサ}}$ である。

（5）2直線

がある。直線 ${\ell }_1$ は定数 $k$ の値によらず，定点 $\left(\boxed{\text{シス}},\boxed{\text{セ}}\right)$ を通る。また，2直線 ${\ell }_1,{\ell }_2$ が平行になるときの $k$ の値は，$\boxed{\text{ソタ}}$ または $\frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}$ である。

（6）6冊の同じ種類のノートをA，B，Cの3人に配布する。1冊も配布されない人がいてよいとすると，配り方は全部で $\boxed{\text{テト}}$ 通りある。

半径 $\sqrt{14}$ の円 $C$ において，長さ $\sqrt{42}$ の弦ABをとる。さらに，ABを底辺の一つとする，$\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ の台形ABCDを考える。ただし，台形ABCDは円 $C$ に内接し，$C$ の中心Oをその内部に含むとする。もう一つの底辺DCの長さが $\sqrt{14}$ であるとき，次の問いに答えよ。

（1）$\angle \mathrm{ADB}=\boxed{\text{ナニ}}{}^{\circ },\angle \mathrm{CAB}=\boxed{\text{ヌネ}}{}^{\circ }$ である。

（2）$\mathrm{DA}=\boxed{\text{ノ}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}},\mathrm{BD}=\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}+\sqrt{\boxed{\text{フヘ}}}$ である。

（3）等脚台形ABCDの面積は，$\boxed{\text{ホ}}\left(\boxed{\text{マ}}+\sqrt{\boxed{\text{ミ}}}\right)$ である。

1から9までの相異なる整数 $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ を下図のように配置した。横に並ぶ3つの数の和 $a+b+c,d+e+f,g+h+i$ がすべて一定値 $A$ であり，縦に並ぶ3つの数の和 $a+d+g,b+e+h,c+f+i$ および対角線上にある数の和 $a+e+i,c+e+g$ もすべて $A$ であるとき，次の問いに答えよ。

（1）$A=\boxed{\text{ムメ}},e=\boxed{\text{モ}}$ である。

（2）$a>c,b=1$ のとき，

である。

（3）$c<g,f+h=4$ のとき，

である。

$p$ を実数とする。2つの関数

について以下の問いに答えよ。

（1）$p=2$ のとき，曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ は点 $\left(\boxed{\text{か}},\boxed{\text{き}}\right)$ に関して点対称である。

（2）2つの曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が相異なる2点で交わるような $p$ の値の範囲は，$\boxed{\text{く}}-\sqrt{\boxed{\text{け}}}<p<\boxed{\text{こ}}+\sqrt{\boxed{\text{さ}}}$ である。

（3）2つの曲線が囲む部分の面積は，$p=\boxed{\text{し}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{す}}\sqrt{\boxed{\text{せ}}}$ をとる。