【解答・解説】2026年麻布大学第Ⅰ期B日程（獣医学科）数学第2問

選択肢	式
⓪	$y^2-ay-b-2$
①	$y^2-ay+b-2$
②	$y^2+ay+b+2$
③	$y^2+ay-b+2$
④	$y^2-ay-b+2$
⑤	$y^2-ay+b+2$
⑥	$y^2+ay+b-2$
⑦	$y^2+ay-b-2$

重要知識と着眼点

タ：まとまりを見つけ、y で表す

かたまりのある式の扱い方

同じかたまりを別の文字で置き換えると、見通しが良くなる。

会話文で $y=2x+\dfrac1{2x}$ とおくように指示されています。まず、 $2ax+\dfrac a{2x}$ は $a\left(2x+\dfrac1{2x}\right)$ なので、 $ay$ とまとめられます。残った $4x^2+\dfrac1{4x^2}$ には、 $y^2$ を展開した式を使います。平方すると真ん中に $2$ が出てくるため、 $y^2-2$ と表すのがポイントです。

チツ・テ：x の二次方程式に直す

2次方程式の解の種類と個数（判別式）

判別式 $D=b^2-4ac$ の符号を考える。

$D>0$ ：異なる2つの実数解。

$D=0$ ：重解。

$D<0$ ：実数解なし。互いに共役な2つの実数でない複素数解。

今度は「どのような $y$ なら、実数の $x$ が見つかるか」を考えます。 $y=2x+\dfrac1{2x}$ の両辺に $2x$ を掛けると、 $4x^2-2yx+1=0$ となります。これを $x$ の二次方程式と見れば、判別式が $0$ 以上になる条件を求めるだけです。この計算では、 $y$ を定数として扱います。

ト：二つの解がどこにあればよいか考える

二次方程式の解の配置問題の解き方

グラフを書いて（y軸は書かない）、3つの条件

判別式：解の個数を判定。頂点のy座標で考えても良い

端点条件：端点のy座標を図から判断

軸条件：軸の範囲を図から判断

をチェック。これらすべてを満たした共通範囲が答え。

チツ・テから、 $y\le-2$ または $y\ge2$ なら、実数の $x$ が得られると分かります。 ①の解をすべて実数にするには、②の二つの解がどちらもこの範囲に入るようにします。考える場合は、次の3通りです。

二つとも $-2$ 以下。
二つとも $2$ 以上。
一方が $-2$ 以下、もう一方が $2$ 以上。

$f(y)=y^2+ay+b-2$ とおき、解を置きたい位置に合わせて放物線を描きます。この問題では変数が $y$ なので、横軸が $y$ 、曲線の高さが $f(y)$ です。重要知識の「端点のy座標」は、ここでは $f(-2)$ や $f(2)$ の値に当たります。縦軸は描かず、範囲の境目と放物線の軸を書き込みます。

（i）二つとも $-2$ 以下

二つの交点が $-2$ の左側にある図を描きます。判別式は、横軸と交わるので $D\ge0$ 。端点条件は、 $-2$ で曲線が横軸以上にあるので $f(-2)\ge0$ 。軸条件は、軸も $-2$ 以下にあるので $-\dfrac a2\le-2$ です。この三つをすべて満たす $a,\ b$ の範囲を求めます。境界も含むので、接する場合や、解がちょうど $-2$ になる場合も含めます。

二つの交点がマイナス2以下にある放物線。縦軸は省略。頂点は横軸以下、マイナス2での高さは0以上、軸はマイナス2以下。

（ii）二つとも $2$ 以上

今度は、二つの交点を $2$ の右側に置きます。同じ順序で図を見ると、 $D\ge0$ 、 $f(2)\ge0$ 、 $-\dfrac a2\ge2$ が読み取れます。

二つの交点が2以上にある放物線。縦軸は省略。頂点は横軸以下、2での高さは0以上、軸は2以上。

（iii）一方が $-2$ 以下、もう一方が $2$ 以上

$-2$ と $2$ が二つの交点の間に入る図を描きます。端点条件は、どちらでも曲線が横軸以下にあるので、 $f(-2)\le0$ と $f(2)\le0$ です。この二つを満たせば交点は二つできるため、判別式の条件も満たされます。軸は二つの交点の真ん中にありますが、 $-2$ と $2$ の間にあるとは限りません。この場合は、軸の条件を追加しなくてよいと判断します。

左の交点がマイナス2以下、右の交点が2以上にある放物線。縦軸は省略。マイナス2と2での高さはともに0以下。軸の位置に追加の制限はない。

最後に、各場合で求めた $a,\ b$ の範囲を合わせ、選択肢の斜線と見比べます。

解答

タ

$y=2x+\dfrac1{2x}$ より、

y^2=4x^2+2+\frac1{4x^2}.

したがって、①を $x^2$ で割った式は

y^2-2+ay+b=0,

すなわち $y^2+ay+b-2=0$ となる。よって、タは ⑥ である。

チツ・テ

$y=2x+\dfrac1{2x}$ の両辺に $2x$ を掛けて整理すると、

4x^2-2yx+1=0.

この二次方程式が実数解をもつ条件は、判別式より

(-2y)^2-4\cdot4\cdot1\ge0.

これを解くと $y^2\ge4$ なので、

y\le-2\quad\text{または}\quad y\ge2.

よって、チツは $\boxed{-2}$ 、テは $\boxed{2}$ である。

ト

②の二つの解が、どちらも $-2$ 以下または $2$ 以上となる条件を求める。 $f(y)=y^2+ay+b-2$ とおくと、判別式は

D=a^2-4b+8

であり、放物線の軸は $y=-\dfrac a2$ である。また、

f(-2)=b-2a+2,\quad f(2)=b+2a+2.

（i）二つの解がともに $-2$ 以下の場合

次の3条件を満たせばよい。

調べること	条件
実数解をもつ	$a^2-4b+8\ge0$
$-2$ での高さが $0$ 以上	$b-2a+2\ge0$
軸は $-2$ 以下	$-\dfrac a2\le-2$

これらを整理して、

a\ge4,\quad 2a-2\le b\le\frac{a^2}{4}+2.

（ii）二つの解がともに $2$ 以上の場合

（i）と同様に、

D\ge0,\quad f(2)\ge0,\quad -\frac a2\ge2

より、

a\le-4,\quad -2a-2\le b\le\frac{a^2}{4}+2.

（iii）一方の解が $-2$ 以下、もう一方が $2$ 以上の場合

$y=-2$ と $y=2$ で放物線が横軸以下にあればよいので、

f(-2)\le0,\quad f(2)\le0.

したがって、

b\le2a-2,\quad b\le-2a-2.

（i）（ii）は、それぞれ左右上方の直線と放物線の間の領域を表す。（iii）は、二つの直線の両方より下側の領域を表す。これらを合わせると、境界を含めて選択肢②の斜線部分になる。よって、トは ② である。

左右上方は放物線と直線の間、下方は二つの直線の両方より下側。いずれも境界を含む。 — 右上が（i）、左上が（ii）、下方が（iii）の領域。

補足なぜ軸の位置も調べるのか

$f(-2)\ge0$ だけでは、二つの交点が $-2$ の左側にあるか、右側にあるかを区別できません。放物線は、二つの交点の間で横軸より下に、それ以外では横軸より上にあるからです。そこで軸の位置も調べ、二つの交点が左側にある場合を選びます。

（ii）も同じ考え方です。「判別式・軸・端点」を丸暗記するだけでなく、簡単な放物線を描いて確かめましょう。

補足左右に一つずつある場合の考え方

上に開く放物線は、二つの交点の間で横軸以下になります。 $f(-2)\le0$ と $f(2)\le0$ は、 $-2$ と $2$ がどちらもその間にある、という条件です。そのため、左の交点は $-2$ 以下、右の交点は $2$ 以上になります。この場合は二つの交点があることも分かるので、判別式を別に調べる必要はありません。

空欄	解答
タ	⑥
チツ	$-2$
テ	$2$
ト	②

問題データ

主分野: 方程式・不等式
関連分野: 図形と方程式
難易度の目安: B（標準）
目標時間: 20分

講評

前半は会話文に沿った計算、後半は二次関数のグラフを使って考える問題です。麻布大学獣医学科を目指す受験生としては、まずタ・チツ・テを確実に取りたいところです。最後のトは、解の位置を調べる問題に慣れているかどうかで差がつきそうです。全体の目標時間は、見直しを含めて20分程度とします。

タは、指示された $y$ を平方してみれば進められます。相反方程式という名前を知らなくても解けるので、四次方程式という見た目に身構える必要はありません。チツ・テも、 $x$ の二次方程式に直せば、いつもの判別式の問題です。「今はどの文字についての方程式を考えているか」を確認しながら進めましょう。

トで手が止まったら、まず数直線に $-2$ と $2$ を書き、二つの解を置いてみてください。二つとも左、二つとも右、左右に一つずつ、という3通りが見えてきます。条件式をいきなり並べようとするより、放物線を描いてから軸や交点の位置を確かめる方が、符号の間違いを防げます。また、重解も実数解なので、等号を除かないように注意しましょう。

本番では、選択肢を使って絞り込む方法もあります。元の方程式で $x$ を $-x$ に変えると、 $a$ の符号を逆にした式になります。 $a$ の符号が逆でも解がすべて実数となるかどうかは変わらないので、領域は $b$ 軸対称です。これで候補は②と⑤に絞れます。さらに $a=b=0$ では $4x^4+\dfrac14=0$ となり、実数解はありません。原点を斜線に含む⑤を除けば、②が残ります。時間が足りないときはこのような絞り込みも活用し、復習では3通りの条件をグラフから説明できるようにしておきましょう。

以下の問いに答えよ。

（1） $xy\ne0$ かつ $4^x=5^y=20^{26}$ を満たす実数 $x,\ y$ について $\dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}$ である。

（2） $a=\sin\dfrac{\pi}{18}$ のとき， $3a-4a^3=\dfrac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

（3）座標空間の2点 $\mathrm{A}(2,\ 1,\ -2),\ \mathrm{B}(-1,\ -5,\ 1)$ を通る直線を $\ell$ とする。原点 $\mathrm{O}$ を通る直線が $\ell$ と垂直に交わるとき，その交点の座標は $\left(\boxed{\text{カ}},\ \boxed{\text{キク}},\ \boxed{\text{ケコ}}\right)$ である。

（4） $(x^2+2x-1)^9$ の展開式における $x^4$ の項の係数は， $\boxed{\text{サシスセソ}}$ である。

【解答・解説】2026年麻布大学第Ⅰ期B日程（獣医学科）数学第2問

タの解答群

トの解答群