整数の問題

$k$ を自然数とする。方程式

$$\sqrt{m-\sqrt{n}}+\sqrt{m+\sqrt{n}}-\frac{1}{k}\sqrt{mn}=0$$

を満たす自然数の組 $(m,n)$ を自然数解と呼ぶ。以下の問に答えよ。

(1)　自然数解 $(m,n)$ が存在するならば，$2k^2\leqq n<4k^2$ であることを示せ。

(2)　それぞれの $k$ に対して，自然数解が少なくとも1つ存在し，その個数は $\sqrt{2}k$ より小さいことを示せ。

(3)　$k=3$ のとき，自然数解をすべて求めよ。