【解答・解説】2026年 早稲田大学 理工学部 数学 第2問

(1)　与えられた方程式

$$\sqrt{m-\sqrt{n}}+\sqrt{m+\sqrt{n}}-\frac{1}{k}\sqrt{mn}=0 \tag{1}$$

において，根号内が非負である条件より $m-\sqrt{n}\geqq0$，すなわち $m^2\geqq n$ が必要である。(1) を変形して

$$\sqrt{m-\sqrt{n}}+\sqrt{m+\sqrt{n}}=\frac{1}{k}\sqrt{mn}$$

両辺はともに非負であるから，2乗しても同値である。

$$(m-\sqrt{n})+(m+\sqrt{n})+2\sqrt{(m-\sqrt{n})(m+\sqrt{n})}=\frac{mn}{k^2}$$ $$2m+2\sqrt{m^2-n}=\frac{mn}{k^2}$$

移項して整理すると

$$2\sqrt{m^2-n}=m\left(\frac{n}{k^2}-2\right) \tag{2}$$

左辺は $2\sqrt{m^2-n}\geqq0$ であり，$m$ は自然数であるから，右辺について

$$\frac{n}{k^2}-2\geqq0\iff n\geqq2k^2 \tag{3}$$

が成り立つ必要がある。さらに (2) の両辺を2乗して

$$4(m^2-n)=m^2\left(\frac{n}{k^2}-2\right)^2$$ $$4m^2-4n=m^2\left(\frac{n^2}{k^4}-\frac{4n}{k^2}+4\right)$$ $$4m^2-4n=\frac{m^2n^2}{k^4}-\frac{4m^2n}{k^2}+4m^2$$

両辺から $4m^2$ を引き，$-n$ $(n\ne0)$ で割ると

$$4=\frac{m^2n}{k^4}+\frac{4m^2}{k^2}$$

よって

$$m^2(4k^2-n)=4k^4 \tag{4}$$

ここで $m^2>0,4k^4>0$ より，$4k^2-n>0$ すなわち $n<4k^2$ でなければならない。これと (3) を合わせて

$$2k^2\leqq n<4k^2$$

が示された。

(2)　(4) 式より

$$m^2=\frac{4k^4}{4k^2-n}$$

$m$ が自然数であるためには，$m^2$ が平方数である必要がある。分子 $4k^4=(2k^2)^2$ は平方数であるから，分母 $4k^2-n$ も平方数でなければならない。そこで，自然数 $d$ を用いて

$$4k^2-n=d^2$$

とおく。これを $n$ について解くと $n=4k^2-d^2$ である。(1) で示した範囲 $2k^2\leqq n<4k^2$ に代入すると

$$2k^2\leqq4k^2-d^2<4k^2$$

各辺から $4k^2$ を引いて

$$-2k^2\leqq-d^2<0$$ $$0<d^2\leqq2k^2$$

$d$ は自然数であるから

$$1\leqq d\leqq\sqrt{2}k \tag{5}$$

このとき $m$ は

$$m=\sqrt{\frac{4k^4}{d^2}}=\frac{2k^2}{d}$$

となる。$m$ が自然数となる条件は，$d$ が $2k^2$ の約数であることである。以上より，自然数解 $(m,n)$ の個数は，条件 (5) を満たす $2k^2$ の約数 $d$ の個数に等しい。

【存在の証明】$k$ は自然数であるから，$d=k$ とすると

$$1\leqq k<\sqrt{2}k$$

より，条件 (5) を満たす。また，$2k^2=k\cdot(2k)$ より，$k$ は $2k^2$ の約数である。したがって，$d=k$ に対応する自然数解 $(m,n)$ が少なくとも1つ存在する。(具体的には $m=\frac{2k^2}{k}=2k,n=4k^2-k^2=3k^2$)

【個数の評価】自然数解の個数を $N$ とすると，$N$ は $1\leqq d\leqq\sqrt{2}k$ を満たす $2k^2$ の約数 $d$ の個数である。この範囲にある約数の個数は，当然ながらこの範囲にある自然数の個数以下である。$1\leqq d\leqq\sqrt{2}k$ を満たす自然数 $d$ の個数は $\lfloor\sqrt{2}k\rfloor$ 個である。ここで $\sqrt{2}$ は無理数であり，$k$ は自然数であるから，$\sqrt{2}k$ が整数になることはない。よって

$$\lfloor\sqrt{2}k\rfloor<\sqrt{2}k$$

したがって

$$N\leqq\lfloor\sqrt{2}k\rfloor<\sqrt{2}k$$

となり，自然数解の個数は $\sqrt{2}k$ より小さいことが示された。

(3)　$k=3$ のとき，条件 (5) は

$$1\leqq d\leqq3\sqrt{2}=\sqrt{18}$$

$4<\sqrt{18}<5$ より，$d$ の候補は $1,2,3,4$ である。また，$d$ は $2k^2=2\cdot3^2=18$ の約数でなければならない。$1,2,3,4$ のうち18の約数であるものは $d\in\{1,2,3\}$ である。それぞれの $d$ について $m=\frac{18}{d},n=36-d^2$ を計算する。

(i)　$d=1$ のとき

$$m=\frac{18}{1}=18,\quad n=36-1^2=35$$

(ii)　$d=2$ のとき

$$m=\frac{18}{2}=9,\quad n=36-2^2=32$$

(iii)　$d=3$ のとき

$$m=\frac{18}{3}=6,\quad n=36-3^2=27$$

以上より，求める自然数解 $(m,n)$ は

$$(m,n)=(18,35),(9,32),(6,27)$$

補足

(2) において，解の個数が $\sqrt{2}k$ より「小さい」ことを示す際，$\sqrt{2}k$ が整数になり得ない（$\sqrt{2}$ が無理数であるため）という事実は重要です。もし $\sqrt{2}k$ が整数であれば，解の個数が $\sqrt{2}k$ と等しくなる可能性（すべての整数が約数である場合など）を排除するために，より詳細な議論が必要になりますが，本問では無理数性により厳密な不等号 $<$ が成立します。