ベクトルの問題

座標空間内に点 $A(0,0,1)$，点 $B(1,1,0)$，および実数 $a$ を用いて表される点 $P(a,0,0)$ をとる。さらに，2点 $(0,2,0)，(0,0,2)$ を通る直線を $\ell$ として，3点 $A，B，P$ が定める平面と直線 $\ell$ との交点を $Q$ とする。

(1)　点 $Q$ の座標を $a$ を用いて表せ。

(2)　4点 $A，B，P，Q$ が四角形 $APBQ$ を成し，線分 $AB$ と線分 $PQ$ が交わるための $a$ の条件を求めよ。

(3)　$a$ が (2) の条件を満たすとき，四角形 $APBQ$ の面積を $a$ を用いて表せ。