【解答・解説】2026年 早稲田大学 理工学部 数学 第3問

(1)　直線 $\ell$ は2点 $C(0,2,0),D(0,0,2)$ を通る。$\ell$ 上の任意の点 $Q$ は，実数 $u$ を用いて

$$\overrightarrow{OQ}=(1-u)\overrightarrow{OC}+u\overrightarrow{OD}=(1-u)(0,2,0)+u(0,0,2)=(0,2-2u,2u)$$

と表せる。ここで $t=2u$ とおけば，点 $Q$ の座標は $(0,2-t,t)$ と表せる。

また，点 $Q$ は3点 $A(0,0,1),B(1,1,0),P(a,0,0)$ が定める平面上にあるので，実数 $s,k$ を用いて

$$\overrightarrow{AQ}=s\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AP}$$

と表せる。各点の座標より $\overrightarrow{AB}=(1,1,-1),\overrightarrow{AP}=(a,0,-1)$ であるから，

$$\overrightarrow{AQ}=s(1,1,-1)+k(a,0,-1)=(s+ka,s,-s-k)$$

となる。一方で，

$$\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OA}=(0,2-t,t)-(0,0,1)=(0,2-t,t-1)$$

である。成分を比較すると，以下の連立方程式が得られる。

$$\begin{cases} s+ka=0 \qquad\text{(1)}\\ s=2-t \qquad\text{(2)}\\ -s-k=t-1 \qquad\text{(3)} \end{cases}$$

(2)，(3) より $s$ を消去して $t$ と $k$ の関係を求める。(2) を (3) に代入すると，

$$-(2-t)-k=t-1\iff-2+t-k=t-1\iff k=-1$$

これを (1) に代入すると，

$$s+(-1)a=0\iff s=a$$

(2) より，

$$a=2-t\iff t=2-a$$

よって，点 $Q$ の座標は $(0,2-(2-a),2-a)=(0,a,2-a)$ となる。

(2)　線分 $AB$ と線分 $PQ$ が交わるための条件を考える。線分 $AB$ 上の点 $R$ は，実数 $\alpha$ $(0<\alpha<1)$ を用いて

$$\overrightarrow{OR}=(1-\alpha)\overrightarrow{OA}+\alpha\overrightarrow{OB}$$

と表せる。同様に，線分 $PQ$ 上の点 $R'$ は，実数 $\beta$ $(0<\beta<1)$ を用いて

$$\overrightarrow{OR'}=(1-\beta)\overrightarrow{OP}+\beta\overrightarrow{OQ}$$

と表せる。線分 $AB$ と線分 $PQ$ が交わるとは，$\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OR'}$ となる $\alpha,\beta$ がともに $0<\alpha<1,0<\beta<1$ の範囲に存在することである。

成分で表すと，$\overrightarrow{OA}=(0,0,1),\overrightarrow{OB}=(1,1,0)$ より

$$\overrightarrow{OR}=(1-\alpha)(0,0,1)+\alpha(1,1,0)=(\alpha,\alpha,1-\alpha)$$ $$\overrightarrow{OP}=(a,0,0),\quad\overrightarrow{OQ}=(0,a,2-a)$$

より

$$\overrightarrow{OR'}=(1-\beta)(a,0,0)+\beta(0,a,2-a)=(a(1-\beta),a\beta,\beta(2-a))$$

これらが一致するので，

$$\begin{cases} \alpha=a(1-\beta) \qquad\text{(4)}\\ \alpha=a\beta \qquad\text{(5)}\\ 1-\alpha=\beta(2-a) \qquad\text{(6)} \end{cases}$$

(4)，(5) より

$$a(1-\beta)=a\beta$$

ここで，もし $a=0$ ならば $P=O,Q=(0,0,2)$ となり，4点 $A,B,P,Q$ は $A,P,Q$ が $z$ 軸上に並ぶため四角形を成さない。よって $a\ne0$ である。両辺を $a$ で割って

$$1-\beta=\beta\iff2\beta=1\iff\beta=\frac12$$

これを (5) に代入して

$$\alpha=\frac{a}{2}$$

この $\alpha,\beta$ が (6) を満たすか確認する。

$$(左辺)=1-\frac{a}{2},\quad(右辺)=\frac12(2-a)=1-\frac{a}{2}$$

となり，常に成立する。したがって，交点は線分 $PQ$ の中点であり，そのとき $\alpha=\frac{a}{2}$ である。

条件は $0<\alpha<1$ かつ $0<\beta<1$ である。$\beta=\frac12$ は $0<\beta<1$ を満たす。$\alpha=\frac{a}{2}$ については

$$0<\frac{a}{2}<1\iff0<a<2$$

このとき $A,B,P,Q$ は互いに異なり，一直線上にも並ばないため四角形 $APBQ$ を成す。

(3)　(2) より，線分 $AB$ と線分 $PQ$ の交点 $M$ は，線分 $PQ$ の中点である（$\beta=\frac12$ より）。したがって，点 $P$ と点 $Q$ は，直線 $AB$ 上の点 $M$ に関して対称な位置にあるわけではないが，点 $M$ が $PQ$ の中点であることから，点 $P$ の直線 $AB$ からの距離と，点 $Q$ の直線 $AB$ からの距離は等しい。（底辺を $AB$ と見たとき，高さが等しくなる）よって，

$$\triangle PAB=\triangle QAB$$

であり，四角形 $APBQ$ の面積 $S$ は

$$S=\triangle PAB+\triangle QAB=2\triangle PAB$$

となる。

$\triangle PAB$ の面積を求める。$\overrightarrow{AB}=(1,1,-1),\overrightarrow{AP}=(a,0,-1)$ より，

$$|\overrightarrow{AB}|^2=1^2+1^2+(-1)^2=3$$ $$|\overrightarrow{AP}|^2=a^2+0^2+(-1)^2=a^2+1$$ $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}=1\cdot a+1\cdot0+(-1)(-1)=a+1$$

三角形の面積公式より

$$\begin{aligned} \triangle PAB &=\frac12\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2|\overrightarrow{AP}|^2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP})^2}\\ &=\frac12\sqrt{3(a^2+1)-(a+1)^2}\\ &=\frac12\sqrt{3a^2+3-(a^2+2a+1)}\\ &=\frac12\sqrt{2a^2-2a+2} \end{aligned}$$

したがって，求める面積 $S$ は

$$S=2\times\frac12\sqrt{2a^2-2a+2}=\sqrt{2(a^2-a+1)}$$

■解答まとめ　(1) $Q(0,a,2-a)$　(2) $0<a<2$　(3) $\sqrt{2(a^2-a+1)}$

補足

(3) の面積計算において，$\triangle QAB$ の面積を個別に計算しても同様の結果が得られます。$\overrightarrow{AQ}=(0,a,1-a)$ より，$|\overrightarrow{AQ}|^2=a^2+(1-a)^2=2a^2-2a+1,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AQ}=0+a-(1-a)=2a-1$ これらを用いて計算すると，$\triangle QAB=\frac12\sqrt{3(2a^2-2a+1)-(2a-1)^2}=\frac12\sqrt{2a^2-2a+2}$ となり，$\triangle PAB$ と一致します。これは，対角線の交点が $PQ$ の中点であるという幾何学的性質と整合しています。