【期待値マスター講座54】赤白n個ずつの隣接同色ペアの平均がn-1になる理由

この記事では、第XI部の自作演習1題目として「赤白 ${n}$ 個ずつを並べたときの隣接同色ペアの個数」の期待値を扱います。位置に依らず確率が一定になる対称性と、線形性の組合せで、簡潔な答え ${n-1}$ が出ます。

公式LINEでテキスト配布中
公式LINE追加→ 期待値テキスト と送信
で120ページ超えのテキストを自動送信！
ㅤ
無料勉強相談も受付中
学習相談も受け付けています。
ゴウカライズは情報の少ない獣医学部や医学部受験にも精通しています。
一般入試はもちろん、総合型選抜や推薦など、なんでもお問い合わせください！

シリーズ全体の流れを先に見たい方は、まず 期待値マスター講座の導入記事 からどうぞ。全56回の構成と読み進め方をまとめています。

https://note.com/goukalize/n/n9de4e3c6c4fb

問題

$${2n}$$ 個の玉のうち $${n}$$ 個が赤、 $${n}$$ 個が白である。これら $${2n}$$ 個を無作為に1列に並べたとき、隣接する2玉が同色である組の個数を $${X}$$ とする。 $${E(X)}$$ を求めよ。

第I部・第III部で扱った「個別の指示関数で分解」の発展形です。隣接ペアごとに指示関数を立てる、というのが流れ。

指示関数で分解

位置 $${k\in{1, 2, \ldots, 2n-1}}$$ について

$$
I_k = \begin{cases} 1 & (k \text{ 番目と } k+1 \text{ 番目が同色}) \\ 0 & (\text{それ以外}) \end{cases}
$$

と定めると $${X = \sum_{k=1}^{2n-1} I_k}$$。

「 $${k}$$ 番目と $${k+1}$$ 番目」のペアは、 $${2n}$$ 個の玉から特定の2席に2つを置く問題です。

同色になる確率

$${k}$$ 番目と $${k+1}$$ 番目に同色（赤赤または白白）が来る確率を求めます。 $${2n}$$ 個から特定の2席に置く玉の組合せは $${\binom{2n}{2}}$$ 通り（順序を考えると $${2n(2n-1)}$$ 通りですが、ここでは単に「2席にどの2玉が入るか」だけ見れば十分）。

「両方赤」になる組合せは赤 $${n}$$ 個から2個選ぶ $${\binom{n}{2}}$$ 通り。同じく「両方白」も $${\binom{n}{2}}$$ 通り。

$$
P(I_k = 1) = \frac{2\binom{n}{2}}{\binom{2n}{2}} = \frac{2\cdot \frac{n(n-1)}{2}}{\frac{2n(2n-1)}{2}} = \frac{n(n-1)}{n(2n-1)} = \frac{n-1}{2n-1}.
$$

ここで重要なのは、この確率が 位置 $${k}$$ に依らず一定 だということです。どの位置のペアでも、同じ $${\frac{n-1}{2n-1}}$$ の確率で同色になります。

線形性で和を取る

$${2n - 1}$$ 個のペアそれぞれが確率 $${\frac{n-1}{2n-1}}$$ で同色なので

$$
E(X) = (2n - 1)\cdot \frac{n-1}{2n-1} = n - 1.
$$

答えは $${E(X) = n - 1}$$。

きれいに $${2n - 1}$$ が約分されて、 $${n - 1}$$ という単純な形になります。

数値で確認

具体的に小さな $${n}$$ で見ます。

• $${n = 1}$$（赤1白1、計2個）：ペアは1つ、必ず異色なので $${X = 0}$$、 $${E(X) = 0}$$。公式 $${n - 1 = 0}$$ と一致
• $${n = 2}$$（赤2白2、計4個）：ペアは3つ、 $${E(X) = 1}$$。直接計算でも、6通りの並べ方それぞれの同色ペア数を平均すると1になる
• $${n = 3}$$（赤3白3、計6個）：$${E(X) = 2}$$
• $${n = 10}$$（赤10白10、計20個）：$${E(X) = 9}$$

「全長 $${2n}$$ の配列で、約半分が同色ペア」というのが感覚。

なぜ位置に依らず一定か

「 $${k}$$ 番目と $${k+1}$$ 番目が同色」の確率が、 $${k}$$ の値に依らず同じ $${\frac{n-1}{2n-1}}$$ になるのは、 「特定の2席にどの2玉が入るか」が全 $${\binom{2n}{2}}$$ 通りの中で対称 だからです。

どの2席を選んでも、「2玉の組合せ」の分布は同じ。だから「同色である確率」も同じ。 位置の対称性 が効いている、というのがポイントです。

これは、第III部の非復元抽出（記事17）や第IV部のヒット問題（記事23）と同じ構造です。 対称性に頼って、ややこしい場合分けを回避する 、というのが線形性 + 指示関数の中核技法です。

$${I_k}$$ たちは独立ではない

$${I_1, I_2, \ldots, I_{2n-1}}$$ は互いに独立ではありません。隣接するペアは中央の玉を共有しています。それでも線形性は使えるので、答えは出ます。

「分散」など独立性が必要な量を扱うときは、共分散項を考慮する必要があります（第VII部）。ただ、期待値だけなら問題なし、というのは何度も確認してきた通りです。

一般化：$${r}$$ 色のとき

色を $${r}$$ 種類に増やし、それぞれ $${n_1, n_2, \ldots, n_r}$$ 個ずつ（合計 $${N = \sum n_i}$$ 個）あるとき、隣接同色ペアの個数の期待値は

$$
E(X) = (N - 1)\cdot \frac{\sum_i n_i(n_i - 1)}{N(N - 1)} = \frac{\sum_i n_i(n_i - 1)}{N}.
$$

$${r = 2}$$、 $${n_1 = n_2 = n}$$ で $${N = 2n}$$ なら

$$
E(X) = \frac{2\cdot n(n - 1)}{2n} = n - 1
$$

で本問の結果と一致します。

3色以上にしても、 「個別の同色ペアの確率を足す」だけで一気に出る 、という構造は同じです。

練習問題

赤玉 $${n}$$ 個と白玉 $${m}$$ 個（ $${n + m\ge 2}$$ ）を無作為に1列に並べたとき、隣接同色ペアの個数の期待値 $${E(X)}$$ を求めよ。

総数 $${N = n + m}$$。1ペアが同色になる確率は

$$
\frac{\binom{n}{2} + \binom{m}{2}}{\binom{N}{2}} = \frac{n(n-1) + m(m-1)}{N(N-1)}.
$$

線形性で

$$
E(X) = (N - 1)\cdot \frac{n(n-1) + m(m-1)}{N(N-1)} = \frac{n(n-1) + m(m-1)}{N}.
$$

$${n = m}$$ なら $${\frac{2n(n-1)}{2n} = n - 1}$$ で本問と一致。 $${n = N, m = 0}$$（全部同色）なら $${\frac{N(N-1)}{N} = N - 1}$$ で「全ペア同色」になる、と整合します。

次に読む記事

次回は、自作演習2題目として「3個のうち最大と中央値の差」の期待値を扱います。順序統計量の公式 $${E(X_{(r)}) = \frac{r(n+1)}{k+1}}$$ を、 $${k = 3}$$ の場合で具体的に使い、線形性で2つの順序統計量の差を出します。

【無料相談受付中】医学部・獣医学部受験対策はゴウカライズにおまかせを！

「一般入試の勉強だけでも大変なのに、面接や小論文までどう準備すればいいかわからない…」
「医学部や獣医学部のような専門性の高い入試に、本当に今の対策で足りるのか不安…」

そんな悩みをお持ちの受験生・保護者の皆様、医学部・獣医学部専門塾 ゴウカライズにご相談ください！

医学部受験・獣医学部受験は、学科試験だけでなく、面接、小論文、志望理由書など学部特有の対策が必要になる入試です。
ゴウカライズでは、それぞれの志望校や受験方式に合わせて、合格に必要なすべてをトータルサポートします。

【一般入試】完全オーダーメイドの学習計画 ：
医学部・獣医学部の一般入試は、わずかな失点が合否を分けることもあります。
あなたの現状と志望校の出題傾向を分析し、合格ラインに到達するための最短ルートを設計します。
日々の進捗管理で、学習の遅れも見逃さず、適宜ルートを最適に修正します。

【推薦・総合型選抜】面接・小論文もプロが対応 ：
推薦入試や総合型選抜で必須となる「面接・小論文・志望理由書」の対策もお任せください。
医学部・獣医学部特有のテーマに対応できるプロ講師が、合格レベルの答案作成と受け答えを指導します。

プロ講師・優秀学生講師の個別指導 ：
学習管理だけでなく、経験豊富なプロ講師や、高倍率から選抜された優秀な学生講師による完全個別指導も提供。
苦手科目の克服や過去問解説など、あなたのニーズに合わせた1対1の指導が可能です。

【医学部・獣医学部対策】特殊な対策に完全対応 ：
医学部入試、獣医学部入試は、どちらも特殊な対策が必要です。
面接などがある入試形式の場合、学科試験以外の準備も侮れません。
そんな入試に精通したプロがゴウカライズには多数在籍しています。
ゴウカライズ代表の大北も医学部・獣医学部受験の指導経験は15年を超える大ベテランです。

まずは無料相談で、あなたの合格までのロードマップを一緒に描きませんか？
無理な勧誘は一切ありません。
予備校選びに迷っているなどの相談でも、客観的にアドバイスを行います。

公式LINEでいつでも無料相談を受け付けています！

https://goukalize.com/

https://goukalize-official-line-harness.tiny-atlas.workers.dev/r/Expected-Value

#オンライン予備校 #大学受験 #数学 #指示関数 #期待値