【期待値マスター講座21】"指示関数"の定義と「E(I_A)=P(A)と包除原理の関係」を理解する

この記事では、ここまで何度も使ってきた指示関数を、定義から積み上げ直します。

${E(I_A) = P(A)}$ という最も基本的な等式と、集合演算（共通部分・和集合・補集合）との対応を、後の応用で使えるように整理します。

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シリーズ全体の流れを先に見たい方は、まず 期待値マスター講座の導入記事 からどうぞ。全56回の構成と読み進め方をまとめています。

https://note.com/goukalize/n/n9de4e3c6c4fb

指示関数の定義

$${\Omega}$$ を標本空間とし、 $${A\subset\Omega}$$ を事象とします。 $${\Omega}$$ 上の関数

$$
\mathbf{1}_A(\omega) = \begin{cases} 1 & (\omega\in A) \\ 0 & (\omega\notin A) \end{cases}
$$

を、事象 $${A}$$ の 指示関数（特性関数） と呼びます。

これは「 $${A}$$ という事象が起きたかどうか」を $${0/1}$$ で表す確率変数です。 $${I_A}$$ や $${\chi_A}$$ と書く流儀もありますが、本シリーズでは $${\mathbf{1}_A}$$ または単に $${I_A}$$ と書きます。

定義は簡単ですが、確率の計算と相性がよく、特に「数えたい量を $${0/1}$$ の和に分解する」という見方の核になります。

最も基本的な等式 $${E(I_A) = P(A)}$$

指示関数の期待値は、その事象の確率に等しい、というのが第一の事実です。

定理：事象 $${A}$$ の指示関数 $${I_A}$$ について

$$
E(I_A) = P(A).
$$

証明はあっさり終わります。 $${I_A}$$ は $${{0, 1}}$$ をとる確率変数で

$$
P(I_A = 1) = P(A),\quad P(I_A = 0) = 1 - P(A)
$$

なので

$$
E(I_A) = 1\cdot P(A) + 0\cdot (1 - P(A)) = P(A).
$$

つまり 「指示関数の期待値 $${=}$$ その事象が起こる確率」 。この単純な事実が、後の応用すべての出発点になります。線形性で何個も足し合わせたあとは、結局「確率を足したもの」になる、という収まり方をします。

集合演算と噛み合う

指示関数は、集合論の演算ともきれいに対応します。

定理：事象 $${A, B\subset\Omega}$$ について

$$
I_{A\cap B} = I_A\cdot I_B
$$

$$
I_{A\cup B} = I_A + I_B - I_A\cdot I_B
$$

$$
I_{\overline{A}} = 1 - I_A
$$

が成り立ちます。ここで $${\overline{A}}$$ は $${A}$$ の補集合です。

それぞれの式を直観で確かめると次のようになります。

• $${I_{A\cap B} = I_A I_B}$$：「両方とも起きた」は「片方が起きた」と「もう片方が起きた」の積（両方とも1のときだけ積が1）
• $${I_{A\cup B} = I_A + I_B - I_A I_B}$$：「少なくとも片方が起きた」は包除原理そのもの
• $${I_{\overline{A}} = 1 - I_A}$$：「起きなかった」は1から「起きた」を引いたもの

証明は1点 $${\omega}$$ ごとに値が一致することを確かめれば終わりです。 $${\omega\in A\cap B \iff I_A(\omega)=1}$$ かつ $${I_B(\omega)=1}$$ で、それは $${I_A(\omega)I_B(\omega) = 1}$$ と同値。値が0の場合も同じく確認できます。

例題：集合演算から確率を引き出す

公正なさいころを1回振る。「偶数」を $${A = {2, 4, 6}}$$、「3の倍数」を $${B = {3, 6}}$$ とする。指示関数の関係 $${I_{A\cup B} = I_A + I_B - I_A I_B}$$ の両辺の期待値をとって、 $${P(A\cup B)}$$ を計算せよ。

両辺の期待値を取ると

$$
E(I_{A\cup B}) = E(I_A) + E(I_B) - E(I_A I_B).
$$

ここで $${E(I_X) = P(X)}$$ と、 $${I_A I_B = I_{A\cap B}}$$ から $${E(I_A I_B) = P(A\cap B)}$$ なので

$$
P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B).
$$

これは集合の和の確率の 包除原理 そのものです。値を入れると $${P(A) = \frac{1}{2}}$$、 $${P(B) = \frac{1}{3}}$$、 $${P(A\cap B) = P({6}) = \frac{1}{6}}$$ なので

$$
P(A\cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3 + 2 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.
$$

直接 $${A\cup B = {2, 3, 4, 6}}$$ から $${P(A\cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}}$$ と確かめても同じ値です。

ここで示したのは、 包除原理は指示関数の代数操作から自然に出る ということです。 $${n}$$ 個の集合の和に拡張すると、 $${I_{A_1\cup\cdots\cup A_n}}$$ を $${I_{A_1}, \ldots, I_{A_n}}$$ で展開する形になり、それぞれの期待値を取ると一般の包除原理が出ます。

$${I_A^2 = I_A}$$ という性質

指示関数は $${0}$$ か $${1}$$ しかとらないので、二乗しても値は変わりません。

$$
I_A^2 = I_A.
$$

これは $${0^2 = 0}$$、 $${1^2 = 1}$$ から明らかですが、後の応用で「 $${E(I_A^2) = E(I_A) = P(A)}$$」のように、計算を一段省ける場面が出てきます。たとえば指示関数の和の二乗を展開するときに、対角成分（ $${i = j}$$ の項）が綺麗に処理できる、というはたらきをします。

これは第V部のモンモール問題で実際に使います。

練習問題

確率変数 $${I_A, I_B}$$ が事象 $${A, B}$$ の指示関数で、 $${P(A) = 0.4}$$、 $${P(B) = 0.5}$$、 $${P(A\cap B) = 0.2}$$ とする。次を求めよ。
(a) $${E(I_A)}$$、$${E(I_B)}$$、$${E(I_A I_B)}$$
(b) $${E(I_A + I_B - I_A I_B)}$$
(c) $${P(A\cup B)}$$
(d) $${P(A)\cdot P(B)}$$ と $${P(A\cap B)}$$ は一致するか。 $${A, B}$$ は独立か。

(a) $${E(I_A) = P(A) = 0.4}$$、$${E(I_B) = P(B) = 0.5}$$、$${E(I_A I_B) = P(A\cap B) = 0.2}$$。

(b) 線形性から $${E(I_A + I_B - I_A I_B) = 0.4 + 0.5 - 0.2 = 0.7}$$。

(c) (b) で計算したのは $${E(I_{A\cup B}) = P(A\cup B)}$$ そのものなので $${P(A\cup B) = 0.7}$$。

(d) $${P(A)\cdot P(B) = 0.4\cdot 0.5 = 0.2 = P(A\cap B)}$$ で一致するので、 $${A}$$ と $${B}$$ は 独立 です。

(b) で線形性 + $${E(I_X) = P(X)}$$ を使ったところは、まさに指示関数と期待値の組合せが力を発揮した場面です。 集合の包除原理が、指示関数を経由すると線形性そのものに見える という、見方の変化が起こっています。

次に読む記事

次回は、指示関数の使い方の中心的な定理「個数 $${=}$$ 指示関数の和」を整理します。これは第IV部の主役で、シリーズ後半すべての応用の入口になります。

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