【期待値マスター講座42】状態が変わる問題。漸化式で解く期待値！

この記事では、第IX部の導入として「期待値を漸化式で求める」アプローチの全体像をまとめます。

指示関数 ${+}$ 線形性では捌けない、状態が時間とともに変わる問題に、漸化式は強い武器になります。

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シリーズ全体の流れを先に見たい方は、まず 期待値マスター講座の導入記事 からどうぞ。全56回の構成と読み進め方をまとめています。

https://note.com/goukalize/n/n9de4e3c6c4fb

線形性で捌けない場面とは

第II部から第VII部まで、 「指示関数で分解 $${+}$$ 線形性で和を取る」 という道具で多くの期待値問題を扱ってきました。これは強力ですが、次のような場面では別のアプローチが要ります。

• 状態が時間とともに変わる （ランダムウォーク、サイコロを置き直す、玉が減っていく）
• 「初めて何かが起こるまでの時間」 （初めて表が出るまで、初めて目標到達まで）
• 無限回の試行を含む （勝負がつくまで続ける、終わりが確率的に決まる）

これらは、「個数を $${0/1}$$ の和に分解する」発想にうまく乗りません。代わりに、 状態ごとに期待値を考えて、状態遷移の関係から方程式を立てる という、別の見方が要ります。

基本パターン

漸化式アプローチの基本形は次の通りです。

「状態 $${s}$$ から目標までの期待回数」を $${e_s}$$ とおく。1回試行して、確率 $${p_{ss'}}$$ で状態 $${s}$$ から $${s'}$$ に遷移するとすると

$$
e_s = 1 + \sum_{s'} p_{ss'} \cdot e_{s'}.
$$

「1回試行する $${+}$$ 遷移先からの期待値」を、確率で重み付けして足す、という形です。境界条件として、目標状態 $${s^}$$ では $${e_{s^} = 0}$$ など、 始まりの状態は問題ごとに決める 必要があります。

これを連立方程式として解けば、各 $${e_s}$$ が出ます。

シンプルな例：1回で決着する場面

まず一番単純なケースを見ます。

公正なコインを表が出るまで投げ続ける。投げた回数を $${X}$$ とする。 $${E(X)}$$ を求めよ。

1回目に表が出る確率は $${\frac{1}{2}}$$（その場合 $${X = 1}$$ ）。1回目が裏の場合（確率 $${\frac{1}{2}}$$）、それ以降は 同じゲームを最初からやり直す のと同じです。

そこで、 $${E(X)}$$ について

$$
E(X) = \frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot (1 + E(X))
$$

という方程式を立てます。整理すると

$$
E(X) = 1 + \frac{1}{2} E(X) \iff E(X) = 2.
$$

答えは $${E(X) = 2}$$。

ここでのポイントは、 「裏が出たら最初からやり直し」を $${E(X)}$$ そのものに置き換える こと。 $${X}$$ の確率分布（幾何分布）を経由せず、 期待値の関係式 を直接立てます。

tail-sum との比較

シリーズ第IV部の記事24で、同じ問題を tail-sum で扱いました。

$$
E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} P(X\ge k) = \sum_{k=1}^{\infty} \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^{k-1} = 2.
$$

これは等比級数の和で計算しました。漸化式ルートは 無限和を直接扱わずに済む ので、計算が一段すっきりします。

「初めて〇〇が起きるまで」型の問題は、漸化式と tail-sum のどちらでも解けますが、漸化式の方が機械的に処理できる場面が多いです。

漸化式が必須になる場面

シリーズで扱う問題のうち、漸化式以外では事実上手が出ないものをいくつか紹介します。

状態が複数ある場合

次回扱うモンモール数 $${D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})}$$ のような、 個数自体の漸化式 。完全順列の数を $${n}$$ の関数として漸化させます。

ランダムウォーク

「位置 $${i}$$ から両端の境界まで到達するまでの期待回数」 $${e_i}$$ について

$$
e_i = 1 + \frac{1}{2} e_{i-1} + \frac{1}{2} e_{i+1}
$$

という、 隣接状態間の関係 を漸化式で書きます。境界条件 $${e_0 = e_n = 0}$$ から、線形差分方程式として解きます。

状態が「直近の結果」で決まる

「表が2回連続するまでの期待回数」のような問題では、 直近1回の結果 で状態を区別して、2状態のマルコフ連鎖として扱います。 $${e_A, e_B}$$ という2つの未知数の連立方程式で答えが出ます。

漸化式と線形性は補完関係

「指示関数 + 線形性」と「漸化式」は、どちらが優れているという話ではなく、 問題のタイプに応じて使い分ける ものです。

• 「個数の期待値」「最大値の期待値」 → 指示関数 + 線形性、tail-sum
• 「状態遷移」「初めて起こるまでの時間」 → 漸化式

判断基準は、 「数えたい量が、対象ごとの $${0/1}$$ 変数の和に書けるか」 。書ければ線形性で押す。書けないなら漸化式を立てる。

第X部「入試問題総合演習」では、両方の道具を組み合わせる問題も登場します。第IX部の5本では、漸化式アプローチを6つの典型題で身につけます。

練習問題

公正なさいころを1の目が出るまで振り続ける。振った回数を $${X}$$ とする。 $${E(X)}$$ を求めよ。

1回目に1が出る確率は $${\frac{1}{6}}$$（その場合 $${X = 1}$$ ）。1以外（確率 $${\frac{5}{6}}$$ ）なら、最初からやり直し。

$$
E(X) = \frac{1}{6}\cdot 1 + \frac{5}{6}\cdot (1 + E(X)).
$$

整理して

$$
E(X) = 1 + \frac{5}{6} E(X) \iff \frac{1}{6} E(X) = 1 \iff E(X) = 6.
$$

答えは $${E(X) = 6}$$。

これは幾何分布 $${X\sim \mathrm{Geo}(p)}$$ の期待値 $${\frac{1}{p}}$$（ $${p = \frac{1}{6}}$$ ）そのものです。「1回で決着する確率 $${\frac{1}{p}}$$」が、「平均試行回数」になる、という一般原理が見えます。

次に読む記事

次回は、 モンモール数の漸化式 $${D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})}$$ を扱います。第IV部・第V部で扱ったヒット問題の「だれも当たらない」ケースを数える、組合せ論の古典です。

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