【期待値マスター講座46】じゃんけんが決着するまでの回数の期待値を求めよ （大学入試数学）

この記事では、2人がじゃんけんを「あいこならやり直し」で続けるとき、決着するまでの回数の期待値を扱います。幾何分布の典型例ですが、漸化式の発想で計算します。

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シリーズ全体の流れを先に見たい方は、まず 期待値マスター講座の導入記事 からどうぞ。全56回の構成と読み進め方をまとめています。

https://note.com/goukalize/n/n9de4e3c6c4fb

問題

2人がじゃんけんをする。各人がグー・チョキ・パーを等確率 $${\frac{1}{3}}$$ で出すとき、あいこになる確率は $${\frac{1}{3}}$$、どちらかが勝つ確率は $${\frac{2}{3}}$$。あいこのときは引き続きじゃんけんをする。決着するまでに行うじゃんけんの回数 $${N}$$ の期待値を求めよ。

「2人じゃんけん」での組合せは $${3\times 3 = 9}$$ 通り。

• どちらかが勝つ：6通り（自分グー対相手チョキ、グー対パー、…と分類）
• あいこ：3通り（両方グー、両方チョキ、両方パー）

それぞれ確率は $${\frac{6}{9} = \frac{2}{3}}$$ と $${\frac{3}{9} = \frac{1}{3}}$$ です。

漸化式で解く

1回でAまたはBが勝つ確率は $${\frac{2}{3}}$$、あいこの確率は $${\frac{1}{3}}$$。あいこになった場合は最初からやり直し。

$${E(N)}$$ について

$$
E(N) = \frac{2}{3}\cdot 1 + \frac{1}{3}\cdot (1 + E(N))
$$

整理して

$$
E(N) = 1 + \frac{1}{3} E(N) \iff \frac{2}{3} E(N) = 1 \iff E(N) = \frac{3}{2}.
$$

答えは $${E(N) = \frac{3}{2}}$$。

平均 $${1.5}$$ 回で決着、というのが結果。3回に2回は1回目で決まり、残りはあいこからやり直し、というのを平均すると $${\frac{3}{2}}$$ になる、という直観どおりの値です。

幾何分布の一般原理

これも幾何分布の典型例です。 「1回で決着する確率が $${p}$$」のゲームでは、平均試行回数 $${E(N) = \frac{1}{p}}$$ 。

ここでは $${p = \frac{2}{3}}$$（1回で決着する確率）なので $${E(N) = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}}$$。式に当てはめれば即出ます。

「初めて表が出るまで」 $${p = \frac{1}{2}}$$ で $${E(X) = 2}$$、「初めて1の目が出るまで」 $${p = \frac{1}{6}}$$ で $${E(X) = 6}$$、と同じ枠組みです。

3人以上のじゃんけん

3人じゃんけんでは、 あいこの確率が大きくなる 。第V部の記事27で扱った「勝者数の期待値」では、3人で1回で勝者が出る確率は

$$
P(\text{1回で誰かが勝つ}) = 1 - P(\text{あいこ}).
$$

3人じゃんけんのあいこ確率は、 $${3^3 = 27}$$ 通りのうち、「全員同じ手」3通り + 「3種類すべて出る」 $${3! = 6}$$ 通り = 9通りで $${\frac{9}{27} = \frac{1}{3}}$$。あれ、2人と同じ $${\frac{1}{3}}$$ ？

注意：「あいこ」の定義は「勝負がつかない」という意味で、 2人とも同じ手 と 3種類すべて出る の両方を含みます。3人で「勝者が出る」のは1人だけが特定の手で残り2人が同じ手の場合などで、複雑な場合分けになります。

ともあれ、3人じゃんけんで「決着まで」を考えると、「勝者が1人」「勝者が2人」「あいこ」のように、 「決着」の意味が複数あり得る ので、問題文の定義を確認する必要があります。

2人のシンプルなケースだと「勝者1人」しかありえないので、 $${p = \frac{2}{3}, E(N) = \frac{3}{2}}$$ ですっきり出ます。

一般化：あいこ確率を変えてみる

あいこになる確率が $${q}$$、勝者が決まる確率が $${1 - q}$$ のゲームを「決着するまで」繰り返す。決着までの平均試行回数を求めよ。

幾何分布で $${p = 1 - q}$$ なので

$$
E(N) = \frac{1}{1 - q}.
$$

$${q}$$ が大きいほど（あいこが多いほど）平均試行回数が長くなり、 $${q\to 1}$$ で $${E(N)\to\infty}$$ という極限も自然です。

「あいこ確率が高いゲームは長引きやすい」というのは、 $${\frac{1}{1 - q}}$$ という調和数的な関係で表されます。

初めての成功までの和

幾何分布の応用として、 クーポンコレクター問題（全 $${n}$$ 種類を集めるまで） の期待回数があります。

$${n}$$ 種類のクーポンを、毎回独立に等確率 $${\frac{1}{n}}$$ で1種類ずつ得るとき、全 $${n}$$ 種類を集めるまでの試行回数の期待値を求めよ。

戦略：すでに $${k}$$ 種類集めたとき、「次の新種が出る」確率は $${\frac{n - k}{n}}$$。 新種が出るまでの平均試行回数 は $${\frac{n}{n - k}}$$（幾何分布）。

すべての段階について和を取ると

$$
E(\text{全種類集める回数}) = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{n}{n - k} = n\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j} = n H_n.
$$

ここで $${H_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}}$$ は 調和数 。 $${n}$$ が大きいときは $${H_n\approx \ln n + 0.577}$$（オイラーの定数）に近づき、 $${n H_n \approx n\ln n}$$ という形になります。

これは、「個別の幾何分布の期待値を、線形性で和を取る」というハイブリッドな計算でした。 漸化式で個別の段階を扱い、線形性で全体を合算する という、複数の道具を組み合わせる例です。

練習問題

確率 $${\frac{1}{4}}$$ で当たりが出るくじを、当たりが出るまで引き続ける（毎回戻す）。引く回数の期待値を求めよ。次に、「初めての当たり」と「2回目の当たり」までの引く回数の期待値の差を求めよ。

最初の当たりまで：$${E(N_1) = \frac{1}{1/4} = 4}$$。

2回目の当たりまで：1回目の当たり後、また同じゲームを繰り返すので、2回目までの期待回数は $${E(N_1) + E(N_1) = 8}$$。差は $${8 - 4 = 4}$$ 回。

「 $${k}$$ 回目の当たりまでの期待回数」は $${\frac{k}{p}}$$ で、初回からの差は $${\frac{1}{p} = 4}$$ ずつ。「次の当たりまでの平均」が常に $${\frac{1}{p}}$$ で一定、という幾何分布の 無記憶性 が、ここに見えます。

次に読む記事

次回は、第IX部の最後として、 期待値の単純な事実から組合せ恒等式を導く 逆向きの応用を扱います。 $${E(X) = 1}$$ から $${\sum_{k=0}^{n} k\binom{n}{k} D_{n-k} = n!}$$ という、モンモール数を含む等式を引き出す話です。

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