【期待値マスター講座44】幾何分布の期待値1/pを漸化式で導く

この記事では、「公正なコインを表が出るまで投げ続ける」ときの試行回数の期待値を、漸化式で扱います。

幾何分布の期待値 ${E(X) = \frac{1}{p}}$ という古典的な結果を、無限和を直接計算せずに出します。

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シリーズ全体の流れを先に見たい方は、まず 期待値マスター講座の導入記事 からどうぞ。全56回の構成と読み進め方をまとめています。

https://note.com/goukalize/n/n9de4e3c6c4fb

問題

公正なコインを表が出るまで投げ続ける。投げる回数を $${X}$$ とする。 $${E(X)}$$ を求めよ。

「初めて表が出るまで」というのは、 $${X = 1, 2, 3, \ldots}$$ という可算無限個の値をとる確率変数です。定義通り

$$
E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k\cdot P(X = k) = \sum_{k=1}^{\infty} k\cdot \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^k
$$

を計算しても出ますが、無限和の計算になります。漸化式アプローチを使うと、無限和を直接扱わずに済みます。

漸化式で解く

1回目に表が出る確率は $${\frac{1}{2}}$$（その場合 $${X = 1}$$ ）。1回目が裏の場合（確率 $${\frac{1}{2}}$$）、 それ以降は同じゲームを最初からやり直す のと同じです。

期待値で書くと

$$
E(X) = \frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot (1 + E(X)).
$$

「1回目で表が出る場合は $${X = 1}$$」「1回目が裏なら、すでに1回投げたうえで、残りの平均は同じ $${E(X)}$$」というのを式にしただけです。

整理します。

$$
\begin{aligned}
E(X)
&= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} E(X) \\
&= 1 + \frac{1}{2} E(X).
\end{aligned}
$$

$${E(X) - \frac{1}{2} E(X) = 1}$$ より $${\frac{1}{2} E(X) = 1}$$、すなわち $${E(X) = 2}$$。

答えは $${E(X) = 2}$$。

「初期状態に戻る」型の問題

ここで使ったテクニックは、 「未決着なら初期状態に戻る」 → 期待値そのものについて方程式を立てる というものです。

この発想は、 同じゲームを繰り返す タイプの問題で広く使えます。たとえば

• さいころを1の目が出るまで振る → $${E(X) = 6}$$（前回の練習問題）
• 一度ボタンを押せば確率 $${p}$$ で当たる装置を、当たるまで押す → $${E(X) = \frac{1}{p}}$$

これらは 幾何分布の期待値 $${E = \frac{1}{p}}$$ という一般式に集約されます。

一般化：幾何分布の期待値

定理：「1回の試行で確率 $${p}$$ で成功する」を独立に繰り返して、初めて成功するまでの試行回数を $${X}$$ とする。 $${E(X) = \frac{1}{p}}$$。

漸化式で

$$
E(X) = p\cdot 1 + (1 - p)\cdot (1 + E(X))
$$

を整理して

$$
E(X) = 1 + (1 - p) E(X) \iff p\cdot E(X) = 1 \iff E(X) = \frac{1}{p}.
$$

「成功確率の逆数」が平均試行回数、というのが幾何分布の中心的な事実です。直観的にも、 $${p}$$ が小さいほど成功までに時間がかかる、というのと整合します。

定義通り計算した場合との比較

参考までに、定義通り無限和で計算するとどうなるか見ておきます。

$${P(X = k) = (1 - p)^{k-1} p}$$ なので

$$
E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k (1-p)^{k-1} p.
$$

これは等差等比型の無限和で、 $${\sum_{k=1}^{\infty} k r^{k-1} = \frac{1}{(1-r)^2}}$$（ $${|r| < 1}$$ ）から

$$
E(X) = p\cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}.
$$

漸化式と同じ値です。 漸化式の方が無限和の計算を回避できる ぶん、答案で書きやすいです。

例題：成功するまでの試行回数

当たりが出る確率が $${\frac{1}{4}}$$ のくじを、当たりが出るまで引き続ける（引いたら戻す）。引く回数の期待値を求めよ。

幾何分布で $${p = \frac{1}{4}}$$ なので $${E(X) = \frac{1}{p} = 4}$$。

平均4回引けば当たりが出る、という結果。これは式を当てはめるだけで一瞬で出ます。

漸化式の方が「自然」な場合

漸化式と tail-sum のどちらでも出る問題ですが、 次のような場面では漸化式の方が自然 です。

• 「停止条件」が複雑なゲーム（ある状態に達したら終了など）
• 「複数の状態」を区別する必要がある場合
• 「途中でルールが変わる」ような設定

具体例は次回以降のランダムウォーク、2人じゃんけんで扱います。

練習問題

1から $${n}$$ までの番号が書かれたカード $${n}$$ 枚から1枚を引いて番号を確認し、戻す試行を独立に繰り返す。「1の番号」が初めて出るまでの試行回数 $${X}$$ の期待値を求めよ。

「1の番号」を引く確率は $${\frac{1}{n}}$$。幾何分布で

$$
E(X) = \frac{1}{1/n} = n.
$$

平均 $${n}$$ 回引けば1が出る、という結果。これも一瞬で出ます。

「 $${n}$$ 種類のクーポンを集める」問題で1枚目を集めるまでの平均回数が $${\frac{n}{n} = 1}$$、2枚目までが $${1 + \frac{n}{n-1}}$$、…と進んで、最終的に全 $${n}$$ 種類集めるまでの期待回数が $${n H_n}$$（クーポンコレクター問題の完成形）になります。これは「初めて新種が出るまで」の幾何分布の和、と読めます。詳しくは記事46で扱う題材の応用です。

次に読む記事

次回は、1次元の ランダムウォーク を扱います。位置 $${i}$$ から、両端（位置0と位置 $${n}$$ ）のどちらかに到達するまでの期待回数 $${e_i}$$ について、漸化式 $${e_i = 1 + \frac{1}{2}e_{i-1} + \frac{1}{2}e_{i+1}}$$ を立てて解きます。答えは $${e_i = i(n-i)}$$ という綺麗な形になります。

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