【母関数マスター講座 第18回】1のm乗根への拡張〜任意の「余り」を抽出する一般論〜

前回（第17回）は、1の3乗根 $${\omega}$$ を使って母関数の係数を「3の剰余」で分離する手法を学びました。

今回は、3に限らず「任意の正の整数 $${m}$$ で割った余り」でフィルタリングする一般論を完成させます。第6回の偶奇分離（ $${m = 2}$$ ）、第17回の3剰余フィルター（ $${m = 3}$$ ）がすべて、1つの定理に統合されます。

母関数マスター講座の全体像、シラバスは以下の記事でご覧ください。

https://note.com/goukalize/n/ne5f45c351ab2

LINE追加でまとめPDF配布中！
ㅤ
公式LINEを追加して「母関数マスター講座」と送信していただいた方に、講座全体をまとめたPDF（全63ページ）を無料でお配りしています。
ㅤ
自動送信のため、送信文は 「母関数マスター講座」 と正確にお送りください。
ㅤ
https://line.me/R/ti/p/@965ezfgt?oat_content=url

1. 1のm乗根の基本性質

$${z^m = 1}$$ の解は $${m}$$ 個あり、 $${\zeta = e^{2\pi i/m}}$$ を使って $${1, \zeta, \zeta^2, \dots, \zeta^{m-1}}$$ と書けます。

これらの和には次の性質があります。

$$
\begin{aligned}
\sum_{j=0}^{m-1} \zeta^{jk} = \begin{cases} m & (k \equiv 0 \pmod{m}) \\ 0 & (k \not\equiv 0 \pmod{m}) \end{cases} \tag{①}
\end{aligned}
$$

①は「余りが0のときだけ全員が足し合わさって $${m}$$ になり、それ以外では打ち消し合って消える」ことを意味しています。第6回の $${1 + (-1)^k}$$ や第17回の $${1 + \omega^k + \omega^{2k}}$$ は、すべてこの①の特殊ケースです。

2. 一般の剰余フィルター

母関数 $${f(x) = \displaystyle \sum_k a_k x^k}$$ に $${x = \zeta^j}$$ を代入して $${j = 0, 1, \dots, m-1}$$ で足し合わせると、①の性質から「余り0の次の係数」だけが抽出されます。

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} f(\zeta^j) = \sum_{\substack{k \geq 0 \\ k \equiv 0 \pmod{m}}} a_k \tag{②}
\end{aligned}
$$

余り $${r}$$ の項を抽出したい場合は、 $${\zeta^{-jr}}$$ をウェイトとして掛けます。

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \zeta^{-jr} f(\zeta^j) = \sum_{\substack{k \geq 0 \\ k \equiv r \pmod{m}}} a_k \tag{③}
\end{aligned}
$$

③が「1の $${m}$$ 乗根フィルター」の一般公式です。

3. 第6回と第17回を統一する

この公式が過去の結果を含んでいることを確認しましょう。

$${m = 2}$$ のとき： $${\zeta = -1}$$ です。

• 余り0（偶数次）： $${\frac{1}{2}(f(1) + f(-1))}$$ → 第6回の④と一致
• 余り1（奇数次）： $${\frac{1}{2}(f(1) - f(-1))}$$ → 第6回の⑤と一致

$${m = 3}$$ のとき： $${\zeta = \omega}$$ です。

• 余り0： $${\frac{1}{3}(f(1) + f(\omega) + f(\omega^2))}$$ → 第17回の③と一致
• 余り1： $${\frac{1}{3}(f(1) + \omega^2 f(\omega) + \omega f(\omega^2))}$$ → 第17回の⑤と一致

すべてが③の特殊ケースとして統一されました。

4. 応用例：4の剰余で分類する

$${m = 4}$$ の場合を見てみましょう。 $${\zeta = i}$$ （虚数単位）です。1の4乗根は $${1, i, -1, -i}$$ です。

$${f(x) = (1+x)^{10}}$$ のとき、 $${{}_{10}\mathrm{C}_k}$$ を $${k}$$ の4での余りによって分類してみます。

• $${f(1) = 2^{10} = 1024}$$
• $${f(i) = (1+i)^{10}}$$

$${1 + i = \sqrt{2} \, e^{i\pi/4}}$$ なので $${(1+i)^{10} = 2^5 \, e^{i \cdot 10\pi/4} = 32 \, e^{i \cdot 5\pi/2} = 32i}$$ です。

• $${f(-1) = 0}$$
• $${f(-i) = (1-i)^{10} = -32i}$$

③に代入すると、

$$
\begin{aligned}
\sum_{\substack{k \equiv 0 \pmod 4}} {}_{10}\mathrm{C}_k &= \frac{1024 + 32i + 0 + (-32i)}{4} = 256 \tag{④}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\sum_{\substack{k \equiv 1 \pmod 4}} {}_{10}\mathrm{C}_k &= \frac{1024 + (-i)(32i) + 0 + i(-32i)}{4} = \frac{1024 + 32 + 32}{4} = 272 \tag{⑤}
\end{aligned}
$$

展開して足し上げる手間なく、4つの値を代入するだけで「4の剰余による分類」が完了しました。

まとめ

1の $${m}$$ 乗根フィルターは、母関数に $${m}$$ 個の根を順番に代入して足し合わせるだけで、係数を剰余類に完全に分類できるツールです。第6回、第17回の技術はこの一般論の特殊ケースにすぎません。

次回、第19回では約数の問題を素因数ごとに分解する「指標関数の乗法性」を扱います。素因数分解と母関数が出会うとき、整数論の美しい世界が開けます。

【無料相談受付中】医学部・獣医学部受験対策はゴウカライズにおまかせを！

「一般入試の勉強だけでも大変なのに、面接や小論文までどう準備すればいいかわからない…」
「医学部や獣医学部のような専門性の高い入試に、本当に今の対策で足りるのか不安…」

そんな悩みをお持ちの受験生・保護者の皆様、医学部・獣医学部専門塾 ゴウカライズにご相談ください！

医学部受験・獣医学部受験は、学科試験だけでなく、面接、小論文、志望理由書など学部特有の対策が必要になる入試です。
ゴウカライズでは、それぞれの志望校や受験方式に合わせて、合格に必要なすべてをトータルサポートします。

【一般入試】完全オーダーメイドの学習計画 ：
医学部・獣医学部の一般入試は、わずかな失点が合否を分けることもあります。
あなたの現状と志望校の出題傾向を分析し、合格ラインに到達するための最短ルートを設計します。
日々の進捗管理で、学習の遅れも見逃さず、適宜ルートを最適に修正します。

【推薦・総合型選抜】面接・小論文もプロが対応 ：
推薦入試や総合型選抜で必須となる「面接・小論文・志望理由書」の対策もお任せください。
医学部・獣医学部特有のテーマに対応できるプロ講師が、合格レベルの答案作成と受け答えを指導します。

プロ講師・優秀学生講師の個別指導 ：
学習管理だけでなく、経験豊富なプロ講師や、高倍率から選抜された優秀な学生講師による完全個別指導も提供。
苦手科目の克服や過去問解説など、あなたのニーズに合わせた1対1の指導が可能です。

【医学部・獣医学部対策】特殊な対策に完全対応 ：
医学部入試、獣医学部入試は、どちらも特殊な対策が必要です。
面接などがある入試形式の場合、学科試験以外の準備も侮れません。
そんな入試に精通したプロがゴウカライズには多数在籍しています。
ゴウカライズ代表の大北も医学部・獣医学部受験の指導経験は15年を超える大ベテランです。

まずは無料相談で、あなたの合格までのロードマップを一緒に描きませんか？
無理な勧誘は一切ありません。
予備校選びに迷っているなどの相談でも、客観的にアドバイスを行います。

公式LINEでいつでも無料相談を受け付けています！

https://goukalize.com/

https://line.me/R/ti/p/@965ezfgt?oat_content=url

#医学部専門予備校 #入試数学 #大学受験 #オンライン塾