【期待値マスター講座34】さいころn回の最大値の期待値の"公式"を作る。tail-sumの威力を見よ！

この記事では、さいころを ${n}$ 回振った最大値の期待値の一般形を、tail-sum と独立同分布の組合せで導きます。

${n}$ ごとの数値を見て、 ${n}$ が大きくなると6に近づく様子も確認します。

公式LINEでテキスト配布中
公式LINE追加→ 期待値テキスト と送信
で120ページ超えのテキストを自動送信！
ㅤ
無料勉強相談も受付中
学習相談も受け付けています。
ゴウカライズは情報の少ない獣医学部や医学部受験にも精通しています。
一般入試はもちろん、総合型選抜や推薦など、なんでもお問い合わせください！

シリーズ全体の流れを先に見たい方は、まず 期待値マスター講座の導入記事 からどうぞ。全56回の構成と読み進め方をまとめています。

https://note.com/goukalize/n/n9de4e3c6c4fb

公式の導出

さいころを $${n}$$ 回独立に振り、出た目の最大値を $${M}$$ とします。前回の記事で、独立同分布の最大値について

$$
P(M\le k) = \Bigl(\frac{k}{6}\Bigr)^n,\quad P(M\ge k) = 1 - \Bigl(\frac{k-1}{6}\Bigr)^n
$$

を出しました。tail-sum から

$$
\begin{aligned}
E(M)
&= \sum_{k=1}^{6} P(M\ge k) \\
&= \sum_{k=1}^{6}\left(1 - \Bigl(\frac{k-1}{6}\Bigr)^n\right) \\
&= 6 - \frac{1}{6^n}\sum_{k=1}^{6}(k - 1)^n \\
&= 6 - \frac{1}{6^n}\sum_{k=0}^{5} k^n.
\end{aligned}
$$

これが一般形です。 $${n}$$ がどんな自然数でも、 $${0^n + 1^n + 2^n + \cdots + 5^n}$$ を計算して $${6^n}$$ で割り、 $${6}$$ から引けば答えが出ます。

$${n}$$ ごとに数値を見る

具体的に小さな $${n}$$ で計算します。

$${n = 1}$$：$${E(M) = 6 - \frac{0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5}{6} = 6 - \frac{15}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}}$$

1回しか振らないので、最大値はその目そのもの。期待値はさいころの目の期待値 $${\frac{7}{2}}$$ と一致します。

$${n = 2}$$：$${E(M) = 6 - \frac{0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25}{36} = 6 - \frac{55}{36} = \frac{216 - 55}{36} = \frac{161}{36}\approx 4.47}$$

2回振った最大値は平均約4.47。1回の期待値 $${3.5}$$ より約 $${1}$$ 大きいです。

$${n = 3}$$：$${E(M) = 6 - \frac{0 + 1 + 8 + 27 + 64 + 125}{216} = 6 - \frac{225}{216} = \frac{1296 - 225}{216} = \frac{1071}{216}\approx 4.96}$$

3回振ると平均約4.96。 $${5}$$ に近づきました。

$${n = 4}$$：$${\sum_{k=0}^{5} k^4 = 0 + 1 + 16 + 81 + 256 + 625 = 979}$$、$${E(M) = 6 - \frac{979}{6^4} = 6 - \frac{979}{1296}\approx 5.24}$$

$${n = 6}$$：直接計算は省略しますが約 $${5.61}$$。

$${n\to\infty}$$：$${\bigl(\frac{k-1}{6}\bigr)^n\to 0}$$（ $${k\le 6}$$ で $${\frac{k-1}{6}\le \frac{5}{6} < 1}$$ ）なので、すべての $${k}$$ について $${P(M\ge k)\to 1}$$。tail-sum の和は $${6}$$ に近づきます。 $${E(M)\to 6}$$。

「たくさん振れば最大値は6に近づく」という直観どおりです。

公式の構造を読む

$${E(M) = 6 - \frac{1}{6^n}\sum_{k=0}^{5} k^n}$$ という形を眺めると、

• $${6}$$ は「最大値の上限」
• $${\frac{1}{6^n}\sum k^n}$$ は「最大値が $${k}$$ より下に留まる確率」をすべての $${k}$$ について足したもの

「上限 $${-}$$ 下回る確率の和」が期待値、というのが tail-sum の見方です。最大値が6に近づくということは、 $${\bigl(\frac{k}{6}\bigr)^n}$$ が小さくなるということと表裏一体です。

正攻法との比較

参考までに、 $${P(M = k)}$$ から定義通り計算するルートも示します。

$$
P(M = k) = \Bigl(\frac{k}{6}\Bigr)^n - \Bigl(\frac{k-1}{6}\Bigr)^n
$$

から

$$
E(M) = \sum_{k=1}^{6} k\cdot \left[\Bigl(\frac{k}{6}\Bigr)^n - \Bigl(\frac{k-1}{6}\Bigr)^n\right].
$$

これも答えは同じ $${E(M) = 6 - \frac{1}{6^n}\sum_{k=0}^{5} k^n}$$ に到達します（部分和の Abel 変換で確認できますが、計算は tail-sum 経由のほうが早い）。

「分布が出るか」と「 $${P(\ge k)}$$ がそのまま出るか」を見比べて、後者が早そうなら tail-sum 、という判断ができると入試で役立ちます。

「全数値ではなく式を残す」答案

入試で「 $${n}$$ を一般のままで答えを書け」と言われたとき、 $${\sum k^n}$$ を残しておくのが普通です。 $${n}$$ が具体的に与えられたら数値を計算しますが、 $${n}$$ が文字のままなら $${\sum_{k=0}^{5} k^n}$$ を式の中に残します。

「式として書ければ満点」「数値計算で間違うと減点」というのが入試の採点傾向です。 計算を抑えるのも戦略 です。

練習問題

$${{1, 2, 3}}$$ から無作為に1つを選ぶ試行を $${n}$$ 回独立に繰り返し、選ばれた数の最大値を $${M}$$ とする。 $${E(M)}$$ を求めよ。

各試行で $${X_i}$$ は $${1, 2, 3}$$ を等確率 $${\frac{1}{3}}$$ でとり、 $${P(X_i\le k) = \frac{k}{3}}$$。独立同分布なので

$$
P(M\le k) = \Bigl(\frac{k}{3}\Bigr)^n,\quad P(M\ge k) = 1 - \Bigl(\frac{k-1}{3}\Bigr)^n.
$$

tail-sum で

$$
E(M) = \sum_{k=1}^{3}\left(1 - \Bigl(\frac{k-1}{3}\Bigr)^n\right) = 3 - \frac{0 + 1 + 2^n}{3^n} = 3 - \frac{1 + 2^n}{3^n}.
$$

$${n = 1}$$ なら $${E(M) = 3 - \frac{3}{3} = 2}$$（1回引いた値の平均 $${\frac{1+2+3}{3} = 2}$$ と一致）。 $${n = 2}$$ なら $${E(M) = 3 - \frac{5}{9} = \frac{22}{9}\approx 2.44}$$。 $${n\to\infty}$$ では $${E(M)\to 3}$$。

3択を $${n}$$ 回引いて最大を取ると、 $${n}$$ とともに3にじわじわ近づく、という結果です。

次に読む記事

次回は、最大値と最小値の差「範囲」 $${M - L}$$ の期待値を扱います。線形性から $${E(M - L) = E(M) - E(L)}$$ で個別に出せますが、計算結果のかたちがどうなるか、特に小さな $${n}$$ での値を丁寧に追います。順序統計量の話にもつながる総まとめの回です。

【無料相談受付中】学習マネジメントはゴウカライズにおまかせを！

「成績が伸び悩んでいるけどどうやって打破すればいいかわからない…」
「塾・予備校に行ってるけど、全体の成績が思ったように上がらない…」

そんな悩みをお持ちの受験生・保護者の皆様、ゴウカライズにご相談ください！

入試を突破するため、私たちはあなたの志望校や受験方式に必要なすべてをトータルサポートします。

【一般入試】完全オーダーメイドの学習計画 ：
入試は、わずかな失点が合否を分けることもあります。
あなたの現状と志望校の出題傾向を分析し、合格ラインに到達するための最短ルートを設計。
日々の進捗管理で、学習の遅れも見逃しません。

【推薦・総合型選抜】面接・小論文もプロが対応 ：
推薦入試や総合型選抜で必須となる「面接・小論文・志望理由書」の対策もお任せください。
医学部や獣医系特有のテーマ（動物倫理や獣医療時事など）に対応できるプロ講師が、合格レベルの答案作成と受け答えを指導します。

プロ講師・優秀学生講師の個別指導 ：
学習管理だけでなく、経験豊富なプロ講師や、高倍率から選抜された優秀な学生講師による完全個別指導も提供。
苦手科目の克服や過去問解説など、あなたのニーズに合わせた1対1の指導が可能です。

【医学部・獣医学部対策】特殊な対策に完全対応 ：
医学部入試、獣医学部入試は特殊な対策が必要です。
面接などがある入試形式の場合、面接対策も侮れません。
そんな入試に精通したプロがゴウカライズには多数在籍しています。
ゴウカライズ代表の大北も医学部・獣医学部受験の指導経験は15年を超える大ベテランです。

まずは無料相談で、あなたの合格までのロードマップを一緒に描きませんか？
無理な勧誘は一切ありません。
予備校選びに迷っているなどの相談でも、客観的にアドバイスを行います。

公式LINEでいつでも無料相談を受け付けています！

https://goukalize.com/

https://goukalize-official-line-harness.tiny-atlas.workers.dev/r/Expected-Value

#オンライン予備校 #大学受験 #数学 #最大値 #tailsum