【期待値マスター講座52】京大2026の鮮やかな解法で期待値の問題で種種の概念を総復習！

この記事では、シリーズ第1記事で扱った京大2026年（前期文系第5問・理系第6問共通問題）に戻ります。

指示関数・線形性・tail-sum・ホッケースティック恒等式という、シリーズで身につけた道具をすべて使う総まとめの問題です。

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シリーズ全体の流れを先に見たい方は、まず 期待値マスター講座の導入記事 からどうぞ。全56回の構成と読み進め方をまとめています。

https://note.com/goukalize/n/n9de4e3c6c4fb

問題（再掲）

$${n}$$ は $${3}$$ 以上の整数とする。 $${1}$$ から $${n}$$ までの番号が書かれた $${n}$$ 枚の札が袋に入っている。ただし、同じ番号が書かれた札はないものとする。この袋から $${3}$$ 枚の札を同時に取り出し、一番大きな番号を $${X}$$ とする。 $${X}$$ の期待値 $${E(X)}$$ を求めよ。

第1記事では「ぱっと見」の解き方を見せましたが、シリーズの集大成として、 答案として採点者に伝わる形 を改めて整理します。

答案の骨格

入試の答案として書くなら、次の4ステップが揃った形がよいです。

1. 「指示関数 $${I_k = \mathbf{1}_{{X\ge k}}}$$ を定義」
2. 「 $${X = I_1 + I_2 + \cdots + I_n}$$ を確認」
3. 「余事象で $${P(X\ge k) = 1 - \binom{k-1}{3}\big/\binom{n}{3}}$$ を計算」
4. 「線形性で $${E(X) = \sum_k P(X\ge k)}$$ をホッケースティック恒等式で整理」

答案

$${k = 1, 2, \ldots, n}$$ について「 $${X\ge k}$$ が起こる」事象の指示関数を $${I_k}$$ とおく。すなわち

$$
I_k = \begin{cases} 1 & (X\ge k \text{ のとき}) \\ 0 & (\text{それ以外}). \end{cases}
$$

$${X}$$ は $${3}$$ 以上 $${n}$$ 以下の整数なので、 $${X = m}$$ となる結果について $${I_1 = I_2 = \cdots = I_m = 1}$$、それ以降は $${0}$$ となり

$$
X = I_1 + I_2 + \cdots + I_n.
$$

$${X\ge k}$$ となるのは「3枚の中に番号 $${k}$$ 以上の札が少なくとも1枚」のとき。余事象「3枚すべて $${k-1}$$ 以下」となる場合の数は、 $${{1, 2, \ldots, k-1}}$$ から3枚を選ぶ $${\binom{k-1}{3}}$$ 通り（ $${k\le 3}$$ では $${0}$$ ）。したがって

$$
E(I_k) = P(X\ge k) = 1 - \frac{\binom{k-1}{3}}{\binom{n}{3}}.
$$

期待値の線形性とホッケースティック恒等式 $${\sum_{j=0}^{n-1}\binom{j}{3} = \binom{n}{4}}$$ から

$$
\begin{aligned}
E(X)
&= \sum_{k=1}^{n} P(X\ge k) \\
&= n - \frac{1}{\binom{n}{3}}\sum_{j=0}^{n-1}\binom{j}{3} \\
&= n - \frac{\binom{n}{4}}{\binom{n}{3}} \\
&= n - \frac{n-3}{4} \\
&= \frac{3(n+1)}{4}.
\end{aligned}
$$

途中で $${\frac{\binom{n}{4}}{\binom{n}{3}} = \frac{n!/(4!(n-4)!)}{n!/(3!(n-3)!)} = \frac{3!(n-3)!}{4!(n-4)!} = \frac{n-3}{4}}$$ を使いました。

$$
\boxed{E(X) = \frac{3(n+1)}{4}}.
$$

$${\frac{3(n+1)}{4}}$$ の読み方

$${E(X) = \frac{3(n+1)}{4} = \frac{3n}{4} + \frac{3}{4}}$$ なので、 $${n}$$ に対して

$$
\frac{E(X)}{n} = \frac{3}{4} + \frac{3}{4n} > \frac{3}{4}.
$$

「最大値は全体の長さの $${\frac{3}{4}}$$ より少し上 あたりにある」のが平均像です。 $${n}$$ が大きくなるほど $${\frac{3}{4}}$$ に近づきますが、有限の $${n}$$ では常に $${\frac{3}{4}}$$ より大きくなります。

別の見方として、「 $${n + 1}$$ を $${4}$$ 等分したときの $${3}$$ 番目の位置」と説明することもできます。これは順序統計量の話（記事35で扱った $${E(X_{(r)}) = \frac{r(n+1)}{k+1}}$$ ）で、 $${k = 3, r = 3}$$ を入れると $${\frac{3(n+1)}{4}}$$ になります。

$${n}$$ ごとの数値

具体的に確認します。

• $${n = 3}$$：$${E(X) = \frac{3\cdot 4}{4} = 3}$$（3枚しかないので最大は必ず3）
• $${n = 4}$$：$${E(X) = \frac{3\cdot 5}{4} = \frac{15}{4} = 3.75}$$
• $${n = 7}$$：$${E(X) = \frac{3\cdot 8}{4} = 6}$$
• $${n = 10}$$：$${E(X) = \frac{3\cdot 11}{4} = 8.25}$$
• $${n = 100}$$：$${E(X) = \frac{3\cdot 101}{4} = 75.75}$$

$${n = 7}$$ や $${n = 3}$$ などでちょうど整数になるのは、 $${n+1}$$ が $${4}$$ の倍数になるとき。

正攻法との比較

シリーズ第1記事でも触れましたが、正攻法（確率分布から計算）だと

$$
P(X = m) = \frac{\binom{m-1}{2}}{\binom{n}{3}}\quad (m = 3, 4, \ldots, n)
$$

を出して

$$
E(X) = \sum_{m=3}^{n} m\cdot \frac{\binom{m-1}{2}}{\binom{n}{3}}
$$

を計算します。 $${m\binom{m-1}{2} = 3\binom{m}{3}}$$ という変形を使ってホッケースティック恒等式に持ち込みますが、 計算量は指示関数ルートの2〜3倍 になります。

入試本番では 時間との戦い 。指示関数ルートを選ぶことで、計算ミスのリスクも減らせます。

なぜこの問題が「集大成」か

京大2026年は、シリーズで身につけた道具をすべて使う総合演習として、ほぼ理想的な題材です。

1. 指示関数で分解 （第IV部）：$${X = \sum_k I_k}$$、 $${I_k = \mathbf{1}_{{X\ge k}}}$$
2. 線形性で和 （第II部）：$${E(X) = \sum_k E(I_k)}$$、 $${I_k}$$ たちは独立でないが線形性に独立性は不要
3. tail-sum formula （第IV部）：$${E(X) = \sum_k P(X\ge k)}$$、最大値の期待値で頻出
4. 余事象 ：$${P(X\ge k) = 1 - P(\text{3枚すべて} k-1 \text{以下})}$$
5. ホッケースティック恒等式 ：$${\sum_{j=0}^{n-1}\binom{j}{3} = \binom{n}{4}}$$

これらが連携して、 京大の標準的な確率問題が4〜5ステップで解ける 、というのが本シリーズが目指した到達点です。

練習問題

同じ設定で、 $${{1, 2, \ldots, n}}$$ から無作為に $${k}$$ 枚を取り出した最大値 $${M}$$ の期待値を求めよ（ $${k\ge 1}$$、 $${n\ge k}$$ ）。

第V部の記事28と第VI部の記事35で扱った、京大2026年の一般化です。

指示関数 $${I_j = \mathbf{1}_{{M\ge j}}}$$ で

$$
P(M\ge j) = 1 - \frac{\binom{j-1}{k}}{\binom{n}{k}}.
$$

tail-sum で

$$
E(M) = n - \frac{1}{\binom{n}{k}}\sum_{j=k}^{n-1}\binom{j}{k} = n - \frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}} = n - \frac{n-k}{k+1} = \frac{k(n+1)}{k+1}.
$$

$${k = 3}$$ で京大2026年の $${\frac{3(n+1)}{4}}$$ が再現されます。 $${k = 1}$$ なら $${\frac{n+1}{2}}$$（1枚なら全体平均）、 $${k = n}$$ なら $${\frac{n(n+1)}{n+1} = n}$$（全部取れば最大は $${n}$$ ）と、極限値も整合します。

次に読む記事

次回は第X部の最後として、 昭和大学2019年度I期医学部第3問 を扱います。さいころの目の和が5以上になるまで投げ続ける、という設定で、tail-sum公式から二項定理が綺麗に出てくる華やかな問題です。

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