【期待値マスター講座56】表が連続2回出るまで平均6回 （講座総まとめ・大学入試数学）

この記事では、シリーズ最後の自作演習として「公平なコインで表が連続2回出るまで投げ続ける」ときの期待回数を扱います。

2状態のマルコフ連鎖で漸化式を立てる典型題を解き、その後にシリーズ全56回を総括します。

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シリーズ全体の流れを先に見たい方は、まず 期待値マスター講座の導入記事 からどうぞ。全56回の構成と読み進め方をまとめています。

https://note.com/goukalize/n/n9de4e3c6c4fb

問題

1個のコインを表が連続して2回出るまで投げ続ける。投げた総回数の期待値 $${E(N)}$$ を求めよ。

「表が1回出ても、次が裏なら最初からやり直し」という、 直近1回の結果で状態が変わる タイプの問題です。

状態を「直近1回」で区別する

状態 $${A}$$：直前が裏、または初回（連続記録ゼロ）
状態 $${B}$$：直前が表（連続記録1）

それぞれを起点とする「2連続表までの試行数の期待値」を $${e_A, e_B}$$ とおきます。

状態 $${A}$$ から

1回投げて表（確率 $${\frac{1}{2}}$$）なら状態 $${B}$$ へ移行（残り回数の期待値は $${e_B}$$）。裏（ $${\frac{1}{2}}$$）なら状態 $${A}$$ に留まる。

$$
e_A = 1 + \frac{1}{2} e_B + \frac{1}{2} e_A.
$$

状態 $${B}$$ から

1回投げて表（ $${\frac{1}{2}}$$）なら 終了 （ $${0}$$ 回追加）。裏（ $${\frac{1}{2}}$$）なら状態 $${A}$$ へ。

$$
e_B = 1 + \frac{1}{2}\cdot 0 + \frac{1}{2} e_A.
$$

解く

連立方程式を解きます。

第1式を整理：$${e_A - \frac{1}{2} e_A = 1 + \frac{1}{2} e_B}$$、$${\frac{1}{2} e_A = 1 + \frac{1}{2} e_B}$$、$${e_A = 2 + e_B}$$。

第2式に代入：$${e_B = 1 + \frac{1}{2}(2 + e_B) = 1 + 1 + \frac{1}{2} e_B = 2 + \frac{1}{2} e_B}$$、$${\frac{1}{2} e_B = 2}$$、$${e_B = 4}$$。

したがって $${e_A = 2 + 4 = 6}$$。

最初は状態 $${A}$$（連続記録なし）から始めるので

$$
E(N) = e_A = 6.
$$

答えは $${E(N) = 6}$$。

数値の意味

「表が2連続するまで平均6回」というのが結論。直観的には、

• 1回目で連続が始まることはない（最初は $${A}$$ ）
• 2回目で連続することはあるが、確率は $${\frac{1}{4}}$$ （表表）
• 連続記録1の状態に達するのに平均2回、そこから次が表なら成功（確率 $${\frac{1}{2}}$$ ）、裏なら振り出しに戻る

…と、連続記録の積み上げと崩しの繰り返しで、 平均で6回かかる 、という結果です。

「初めて表が出るまで」が平均2回（記事44）なのに対して、 2連続表は平均6回 。3倍の手間がかかります。

一般化：$${k}$$ 連続まで

$${k}$$ 連続表まで投げ続ける場合の期待回数は

$$
E(N_k) = 2^{k+1} - 2.
$$

$${k = 1}$$（普通の幾何分布）：$${2^2 - 2 = 2}$$ 回（記事44と一致）
$${k = 2}$$：$${2^3 - 2 = 6}$$ 回（本問）
$${k = 3}$$：$${2^4 - 2 = 14}$$ 回
$${k = 4}$$：$${2^5 - 2 = 30}$$ 回

連続記録を伸ばすたびに、必要な試行回数は 約2倍 になります。これは、 連続記録が崩れたら振り出しに戻る ことの影響で、指数的に膨らみます。

漸化式アプローチの威力

この問題を 定義通り に解こうとすると、無限和

$$
E(N) = \sum_{k=2}^{\infty} k\cdot P(N = k)
$$

になり、 $${P(N = k)}$$ の計算が複雑になります。 $${P(N = k)}$$ は「 $${k-1}$$ 回目までは連続2回が出ず、 $${k}$$ 回目で初めて連続2回出る」確率で、フィボナッチ数列のような構造で表されます。

ところが、 状態を「直近1回の結果」で2つに分けて漸化式を立てる と、連立1次方程式を解くだけで終わります。 状態空間の大きさを抑える のが、漸化式アプローチの本質です。

シリーズ全56回の総括

ここでシリーズ全体を振り返ります。

第I部 準備編（記事1〜9）

確率の枠組み、確率変数、確率分布、独立性、無相関、期待値の定義、平均値との違い。

第II部 線形性編（記事10〜14）

期待値の線形性 $${E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)}$$。 独立性は要らない という事実が中核。

第III部 基本問題の演習編（記事15〜19）

くじ引きの公平性、復元・非復元抽出、袋の中のボール問題。線形性を典型題に乗せる練習。

第IV部 指示関数の基本編（記事20〜24）

指示関数 $${I_A = \mathbf{1}_A}$$、 $${E(I_A) = P(A)}$$、 $${X = \sum_k I_k}$$ の分解、tail-sum formula。

第V部 指示関数の応用編（記事25〜31）

二項分布、クーポンコレクター、じゃんけんの勝者数、最大値、階段状得点、連続並び、モンモール問題。

第VI部 最大値・最小値編（記事32〜35）

$${E(\max)\ne \max(E)}$$、独立同分布の分布の積分解、tail-sum、順序統計量。

第VII部 成り立たない性質編（記事36〜39）

分散、独立な確率変数の積、共分散、Jensen不等式。 「独立性は十分条件、必要条件は無相関」 という整理。

第VIII部 期待値と勝率は違う編（記事40〜41）

ハイリスク・ハイリターン、京大1997年（前期）第5問の名問題。

第IX部 漸化式編（記事42〜47）

漸化式アプローチ、モンモール数 $${D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})}$$、ランダムウォーク $${e_i = i(n - i)}$$ ほか。

第X部 入試問題総合演習編（記事48〜53）

鹿児島大2024、東北大2025、一橋大2012、慶應医2025、京大2026、昭和医2019の6題。

第XI部 仕上げ編（記事54〜56）

自作演習3題で道具の運用を最終確認。

4つの中心的な道具

シリーズで身につけた道具を、改めて整理します。

1. 期待値の線形性 ：$${E(\sum a_k X_k) = \sum a_k E(X_k)}$$。独立性不要。
2. 指示関数による分解 ：$${X = \sum_k I_{A_k}}$$、 $${E(X) = \sum_k P(A_k)}$$。
3. tail-sum formula ：$${E(X) = \sum_k P(X\ge k)}$$。最大値・最小値の問題で頻出。
4. 漸化式アプローチ ：$${e_s = 1 + \sum_{s'} p_{ss'} e_{s'}}$$。状態遷移・停止時刻の問題で。

これらを問題に応じて使い分け、組み合わせるのが、入試の期待値問題を解く道のすべてです。

道具の判断基準

問題を見たときの判断基準は、

• 「数えたい量が $${0/1}$$ の和に書けるか」 → 書ければ線形性 + 指示関数、tail-sum
• 「状態が時間とともに変わるか」 → 漸化式
• 「最大値・最小値か」 → tail-sum、独立同分布の積分解
• 「積や非線形量を扱うか」 → 独立性または無相関を確認、共分散・Jensen不等式

問題文を読みながら、これらの判断を素早く行えるようになれば、入試の確率問題は 時間内に解ける ようになります。

受験生に渡したいもの

このシリーズで一番伝えたかったのは、 「公式を暗記するのではなく、その場で導出できる状態を作る」 姿勢です。

二項分布の期待値 $${E = np}$$、超幾何分布の $${\frac{rm}{r+w}}$$、幾何分布の $${\frac{1}{p}}$$、最大値の $${\frac{k(n+1)}{k+1}}$$ ── これらは公式として覚えてもいいですが、 指示関数 + 線形性、tail-sum、漸化式の組合せで2〜3行で導ける 状態を作っておくほうが、長期的にはるかに強いです。

入試本番で「公式を忘れた」「これは習っていない式だ」となっても、 手元の道具から構築できる 。これがシリーズの目指した到達点です。

おわりに

期待値の問題は、確率の単元の中で最も応用範囲が広く、入試での頻度も高いテーマです。指示関数と線形性、そして漸化式という、たった2、3個の道具で、京大、東北大、一橋大、慶應医、鹿児島大、昭和医、…という幅広い大学の問題が 同じ枠組みで解けてしまう 、というのが期待値の面白さです。

このシリーズが、受験勉強の途中で行き詰まったときの 戻ってこられる場所 になれば幸いです。線形性に独立性は要らない、最大値はtail-sum、漸化式は状態遷移──これらを思い出して、もう一度問題に向き合ってみてください。

期待値の戦い方は、いつでも一行から始まります。

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