数列の問題

有理数からなる数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$ を

$$\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n=a_n+b_n\sqrt5$$

によって定める。次の問いに答えよ。

（1）$a_{n+1},\ b_{n+1}$ を $a_n,\ b_n$ を用いて表すと，

$$\begin{aligned} a_{n+1}&=\frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}a_n+\frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}b_n,\\ b_{n+1}&=\frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}a_n+\frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}b_n \end{aligned}$$

である。また，$a_n^2-5b_n^2=\left(\boxed{\text{ヘホ}}\right)^n$ である。

（2）$c_n=a_n-b_n\sqrt5$ とするとき，数列 $\{c_n\}$ の一般項は

$$c_n=\left(\frac{\boxed{\text{マ}}-\sqrt{\boxed{\text{ミ}}}}{\boxed{\text{ム}}}\right)^n$$

である。

（3）数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$ の一般項は

$$\begin{aligned} a_n&=\frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}^{n+1}}\Bigl\{\left(\boxed{\text{ヤ}}+\sqrt{\boxed{\text{ユ}}}\right)^n\\ &\qquad\qquad+\left(\boxed{\text{ヨ}}-\sqrt{\boxed{\text{ラ}}}\right)^n\Bigr\},\\[6pt] b_n&=\frac{\sqrt{\boxed{\text{リ}}}}{\boxed{\text{ル}}^n\cdot\boxed{\text{レロ}}}\Bigl\{\left(\boxed{\text{ヤ}}+\sqrt{\boxed{\text{ユ}}}\right)^n\\ &\qquad\qquad-\left(\boxed{\text{ヨ}}-\sqrt{\boxed{\text{ラ}}}\right)^n\Bigr\} \end{aligned}$$

である。

以下の問いに答えよ。

（1）（i）$2^{-\frac57}\times6^{\frac{13}{7}}\times14^{\frac67}\times21^{\frac17}=\boxed{\text{アイウ}}$。

（ii）対数方程式 $\log_4(x-2)+\log_4(x-17)=2$ の解は，$x=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$k$ を定数とする。$x$ の方程式 $x(1-x)^2=k$ が相異なる3つの実数解をもつような $k$ の値の範囲は，$\boxed{\text{カ}}<k<\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}$ である。

（3）当たりくじが何本か入った20本のくじがある。この中からくじを2本引くとき，少なくとも1本が当たりくじである確率は $\dfrac7{19}$ であった。この20本のくじの中に当たりくじは $\boxed{\text{コ}}$ 本ある。

（4）初項が $a$，公差が $d$ の等差数列がある。この数列の初項から第9項までの和が0で，初項から第15項までの和が90であるとき $a=\boxed{\text{サシ}},\ d=\boxed{\text{ス}}$ である。