微分・積分の問題

$c$ を定数とする。関数 $f(x)=x^3-6x^2-36x+c$ は極大値と極小値の和が $0$ である。

（1）$c=\boxed{\text{しす}}$ であり，$f(x)$ は $x=\boxed{\text{せそ}}$ で極大値 $\boxed{\text{たちつ}}$ をとる。また，座標平面において，曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(5,f(5))$ における接線の方程式は $y=\boxed{\text{てとな}}x-\boxed{\text{にぬ}}$ である。

（2）$c$ を（1）で求めた値とする。曲線 $y=f(x)$ を $x$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動して得られる曲線の方程式は $y=x^3-\boxed{\text{ねの}}x$ となることから，曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれる2つの図形の面積の和は $\boxed{\text{はひふへ}}$ となる。

座標平面において直線 $y=\frac{1}{2}x$ 上の点 $\left(p,\frac{1}{2}p\right)$ から曲線 $y=x^2+1$ に引いた2本の接線を $\ell ,m$ とし，接点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha ,\beta$（ただし，$\alpha <\beta$）とする。次の問いに答えよ。

（1）$\alpha ,\beta$ の和と積を $p$ の式で表すと，

である。したがって，$\alpha ,\beta$ は $x$ の2次方程式 $\boxed{\text{そ}}{x}^2-\boxed{\text{た}}px+p-\boxed{\text{ち}}=0$ の解である。

（2）$\ell$ と $m$，および曲線で囲まれる部分の面積 $S$ は，

となる。この式から $S$ は $p=\frac{\boxed{\text{ね}}}{\boxed{\text{の}}}$ のとき最小値 $\frac{\boxed{\text{は}}\sqrt{\boxed{\text{ひふ}}}}{\boxed{\text{へほ}}}$ をとることがわかる。

$k>0$ とし，$xy$ 平面における $y=k{x}^2+2x-k+3$ のグラフを $C$ とする。

（1）$C$ は $k$ の値によらずつねに2つの定点 $\mathrm{A}\left(\boxed{\text{こさ}},\boxed{\text{し}}\right),\mathrm{B}\left(\boxed{\text{す}},\boxed{\text{せ}}\right)$ を通り，直線ABと $C$ の囲む図形の面積は $\frac{\boxed{\text{そ}}}{\boxed{\text{た}}}k$ である。

（2）（1）のA，Bにおける $C$ の接線をそれぞれ $l,m$ とおく。 $l,m$ の交点は $\left(\boxed{\text{ち}},\boxed{\text{つて}}k+\boxed{\text{と}}\right)$ であり，$l,m,C$ の囲む図形の面積は $\frac{\boxed{\text{な}}}{\boxed{\text{に}}}k$ である。

2つの関数

について以下の問いに答えよ。

（1）曲線 $y=f(x)$ と曲線 $y=g(x)$ の共有点のうち $x$ 座標が正であるものは，$\left(\boxed{\text{お}},\boxed{\text{か}}\right)$ である。また，この点における接線の方程式は $y=\boxed{\text{きく}}x+\boxed{\text{け}}$ である。

（2）$f(x)\leqq g(x)$ を満たす $x$ の範囲は $x\geqq \boxed{\text{こさ}}$ である。また，$t$ を $t>1$ を満たす実数としたとき，$\boxed{\text{こさ}}\leqq x\leqq t$ の範囲で2曲線 $y=f(x),y=g(x)$ が囲む部分の面積と，$y=f(x),y=g(x)$ および直線 $x=t$ が囲む部分の面積の和が $\frac{75}{4}$ となる $t$ の値は，$\boxed{\text{し}}$ である。

$p$ を実数とする。2つの関数

について以下の問いに答えよ。

（1）$p=2$ のとき，曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ は点 $\left(\boxed{\text{か}},\boxed{\text{き}}\right)$ に関して点対称である。

（2）2つの曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が相異なる2点で交わるような $p$ の値の範囲は，$\boxed{\text{く}}-\sqrt{\boxed{\text{け}}}<p<\boxed{\text{こ}}+\sqrt{\boxed{\text{さ}}}$ である。

（3）2つの曲線が囲む部分の面積は，$p=\boxed{\text{し}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{す}}\sqrt{\boxed{\text{せ}}}$ をとる。

$a$ を定数とする。直線 $\ell :y=-x+4$ と曲線 $m:y=x^4-2x^3+a{x}^2+11x+40$ が2点で接するとき，接点の $x$ 座標はそれぞれ $\boxed{\text{ツテ}},\boxed{\text{ト}}$ であり，定数 $a$ の値は $\boxed{\text{ナニヌ}}$ である。また，曲線 $m$ と直線 $\ell$ が囲む部分の面積は $\frac{\boxed{\text{ネノハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）（i）$2^{-\frac{5}{7}}\times 6^{\frac{13}{7}}\times 14^{\frac{6}{7}}\times 21^{\frac{1}{7}}=\boxed{\text{アイウ}}$。

（ii）対数方程式 ${\log }_4(x-2)+{\log }_4(x-17)=2$ の解は，$x=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$k$ を定数とする。$x$ の方程式 $x(1-x{)}^2=k$ が相異なる3つの実数解をもつような $k$ の値の範囲は，$\boxed{\text{カ}}<k<\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}$ である。

（3）当たりくじが何本か入った20本のくじがある。この中からくじを2本引くとき，少なくとも1本が当たりくじである確率は $\frac{7}{19}$ であった。この20本のくじの中に当たりくじは $\boxed{\text{コ}}$ 本ある。

（4）初項が $a$，公差が $d$ の等差数列がある。この数列の初項から第9項までの和が0で，初項から第15項までの和が90であるとき $a=\boxed{\text{サシ}},d=\boxed{\text{ス}}$ である。

半径1の球に内接する直円柱がある。直円柱の高さを $h$，底面の円の半径を $r$ とする。

（1）直円柱の体積 $V$ は，$h$ を用いて

と表せる。$V$ は $h=\frac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}},r=\frac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}$ のとき最大値 $\frac{\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}\pi$ をとる。

（2）直円柱の側面積は，$h=\sqrt{\boxed{\text{ネ}}},r=\frac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{ヒ}}\pi$ をとる。

$a,b$ を実数の定数とし，$x$ の関数 $f(x)=x^3-3x^2-9x-3,g(x)=a{x}^2+bx$ を考える。 座標平面において $y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフは $x$ 座標が1である点を共有し，この点で共通の接線をもつ。

（1）$f(x)$ は $x=\boxed{\text{うえ}}$ で極大値 $\boxed{\text{お}}$，$x=\boxed{\text{か}}$ で極小値 $\boxed{\text{きくけ}}$ をとる。 また，$a=\boxed{\text{こ}},b=\boxed{\text{さしす}}$ であり，不等式 $f(x)\leqq g(x)$ を満たす $x$ の範囲は $x\leqq \boxed{\text{せ}}$ である。 また，$y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフによって囲まれる図形の面積は $\frac{\boxed{\text{そ}}}{\boxed{\text{た}}}$ である。

（2）$h(x)={\int }_0^x\{f(t)-g(t)\}dt$ とおくと，$h(x)$ は $x=\boxed{\text{ち}}$ のとき最小値 $\frac{\boxed{\text{つて}}}{\boxed{\text{と}}}$ をとる。