【解答・解説】2025年 麻布大学 獣医学科 第Ⅰ期B日程 数学 第4問

以下の問いに答えよ。

（1）${}_{2025}{C}_1+{}_{2025}{C}_2+\cdots +{}_{2025}{C}_{2025}$ を $8$ で割った余りは $\boxed{\text{ア}}$ である。

（2）$0\leqq \theta \leqq \pi$ とする。$\tan \theta =-3$ のとき $2\cos \theta +\sin \theta =\frac{\boxed{\text{イ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}}$ である。

（3）$i$ を虚数単位とする。$x$ の2次方程式 $x^2+(i-a)x-5+(a-3)i=0$ が実数解をもつような実数 $a$ の値は，$a=\frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}},\boxed{\text{キ}}$ であり，実数解はそれぞれ $x=\frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}},\boxed{\text{コサ}}$ である。

（4）$\vec{a}=(3,7),\vec{b}=(1,-3)$ のとき $|\vec{a}+t\vec{b}|$ を最小にする $t$ の値は $\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}$ であり，最小値は $\frac{\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソタ}}}}{\boxed{\text{チ}}}$ である。

$xy$ 平面内に原点を中心とする半径 $1$ の円 $C$ がある。$C$ 上の任意の点 $(x,y)$ に対して $t=x+y$ とおくとき，次の問いに答えよ。

（1）$xy$ を $t$ の式で表すと $xy=\frac{t^2-\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}$ であり，$t$ が取りうる値の範囲は $-\sqrt{\boxed{\text{ト}}}\leqq t\leqq \sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$ である。

（2）$z=x+xy+y$ は，$x=\boxed{\text{ニヌ}},y=\boxed{\text{ネ}}$ または $x=\boxed{\text{ノ}},y=\boxed{\text{ハヒ}}$ のとき最小値 $\boxed{\text{フヘ}}$ をとり，$x=y=\frac{\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}}{\boxed{\text{マ}}}$ のとき最大値 $\frac{\boxed{\text{ミ}}+\boxed{\text{ム}}\sqrt{\boxed{\text{メ}}}}{\boxed{\text{モ}}}$ をとる。

A氏が犬を連れて家に帰る途中，家から $L$ メートルの地点に来たときに犬が家に向かって走り出し，家に着くとすぐに引き返して再びA氏のもとへ戻ってきた。 そして，A氏のもとに戻るとまたすぐに家に向かって走り出し，家に着くとすぐに引き返しA氏のところへ戻った。 犬は，この一連の往復運動をA氏が家に着くまで繰り返した。 犬が走る速さはA氏が歩く速さの $4.5$ 倍であるとし，A氏と犬はそれぞれ常に一定の速さで移動すると仮定する。 次の問いに答えよ。

（1）$k$ 回目（$k\geqq 1$）にA氏のもとから家に向かって走り出したとき，その地点から家までの距離を $a_k$（メートル）とする。 犬の移動距離はA氏の歩いた距離の $\frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}$ 倍であることに注意すると，

である。

（2）$k$ 回目にA氏のもとから家に向かって走り出し，再びA氏のもとに戻ってくるまでに犬が移動する距離は，$\frac{\boxed{\text{ワン}}}{\boxed{\text{あい}}}L\cdot {\left(\frac{\boxed{\text{う}}}{\boxed{\text{えお}}}\right)}^{k-1}$ である。

（3）$1$ 回目に家に向かって走り出してから $k+1$ 回目に家に向かって走り出すまでに犬が移動する距離は，$\frac{\boxed{\text{か}}}{\boxed{\text{き}}}L\cdot \left\{1-{\left(\frac{\boxed{\text{く}}}{\boxed{\text{けこ}}}\right)}^k\right\}$ である。

1から10までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ合計10枚ある。1枚のコインを投げ，コインの表が出た場合はカードを2枚，裏が出た場合は3枚引くとする。次の問いに答えよ。

（1）引いたカードに書かれている数字がすべて偶数である確率は，$\frac{\boxed{\text{ワン}}}{\boxed{\text{あい}}}$ である。

（2）引いたカードに書かれている数字が連続している確率は，$\frac{\boxed{\text{う}}}{\boxed{\text{えお}}}$ である。

（3）引いたカードに書かれている数字の合計が11となる確率は，$\frac{\boxed{\text{かき}}}{\boxed{\text{くけこ}}}$ である。

有理数からなる数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ を

によって定める。次の問いに答えよ。

（1）$a_{n+1},b_{n+1}$ を $a_n,b_n$ を用いて表すと，

である。また，$a_n^2-5b_n^2={\left(\boxed{\text{ヘホ}}\right)}^n$ である。

（2）$c_n=a_n-b_n\sqrt{5}$ とするとき，数列 $\{c_n\}$ の一般項は

である。

（3）数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ の一般項は

である。

（1）$x=\frac{8-3\sqrt{6}}{4+\sqrt{6}}$ とする。分母を有理化して表すと $x=\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$ であり，$x^2+\frac{1}{x^2}=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$f(x)=x^2-7x+18$ の最小値は $\frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ である。 また，$f(x)>36$ を満たす $x$ の範囲は $x<\boxed{\text{ケコ}},\boxed{\text{サ}}<x$ である。

（3）$x$ の2次方程式

について，①，②がともに実数解をもつような $a$ の値の範囲は $\boxed{\text{シ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{ス}}$ であり，①，②の少なくとも一方が実数解をもつような $a$ の値の範囲は $a\leqq \boxed{\text{セソ}},\boxed{\text{タ}}\leqq a$ である。

（4）さいころ1個を3回投げる。出た目の積が3の倍数となる確率は $\frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}$ である。 また，出た目の積が4で割り切れない確率は $\frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）（i）$2^{-\frac{5}{7}}\times 6^{\frac{13}{7}}\times 14^{\frac{6}{7}}\times 21^{\frac{1}{7}}=\boxed{\text{アイウ}}$。

（ii）対数方程式 ${\log }_4(x-2)+{\log }_4(x-17)=2$ の解は，$x=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$k$ を定数とする。$x$ の方程式 $x(1-x{)}^2=k$ が相異なる3つの実数解をもつような $k$ の値の範囲は，$\boxed{\text{カ}}<k<\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}$ である。

（3）当たりくじが何本か入った20本のくじがある。この中からくじを2本引くとき，少なくとも1本が当たりくじである確率は $\frac{7}{19}$ であった。この20本のくじの中に当たりくじは $\boxed{\text{コ}}$ 本ある。

（4）初項が $a$，公差が $d$ の等差数列がある。この数列の初項から第9項までの和が0で，初項から第15項までの和が90であるとき $a=\boxed{\text{サシ}},d=\boxed{\text{ス}}$ である。

半径1の球に内接する直円柱がある。直円柱の高さを $h$，底面の円の半径を $r$ とする。

（1）直円柱の体積 $V$ は，$h$ を用いて

と表せる。$V$ は $h=\frac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}},r=\frac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}$ のとき最大値 $\frac{\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}\pi$ をとる。

（2）直円柱の側面積は，$h=\sqrt{\boxed{\text{ネ}}},r=\frac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{ヒ}}\pi$ をとる。

$a,b$ を実数の定数とし，$x$ の関数 $f(x)=x^3-3x^2-9x-3,g(x)=a{x}^2+bx$ を考える。 座標平面において $y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフは $x$ 座標が1である点を共有し，この点で共通の接線をもつ。

（1）$f(x)$ は $x=\boxed{\text{うえ}}$ で極大値 $\boxed{\text{お}}$，$x=\boxed{\text{か}}$ で極小値 $\boxed{\text{きくけ}}$ をとる。 また，$a=\boxed{\text{こ}},b=\boxed{\text{さしす}}$ であり，不等式 $f(x)\leqq g(x)$ を満たす $x$ の範囲は $x\leqq \boxed{\text{せ}}$ である。 また，$y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフによって囲まれる図形の面積は $\frac{\boxed{\text{そ}}}{\boxed{\text{た}}}$ である。

（2）$h(x)={\int }_0^x\{f(t)-g(t)\}dt$ とおくと，$h(x)$ は $x=\boxed{\text{ち}}$ のとき最小値 $\frac{\boxed{\text{つて}}}{\boxed{\text{と}}}$ をとる。

$f(x)=x^3-6x^2+8x+16$ とし，曲線 $C:y=f(x)$ と2つの直線 $l:y=g(x)$，$m:y=h(x)$ を考える。直線 $l$ は点 $(4,16)$ における曲線 $C$ の接線である。また，直線 $l$ と直線 $m$ は平行であり，直線 $m$ は原点を通る。

(i) $g(x)=\boxed{\text{(43)}}x-\boxed{\text{(44)(45)}}$ である。

(ii) 曲線 $C$ と直線 $m$ の交点の $x$ 座標を小さい順に $x_1,x_2,x_3$ とすると

である。また，$f(x_2)=\boxed{\text{(53)(54)}}$ である。

(iii) ${\int }_2^4\{f(x)-g(x)\}dx=\boxed{\text{(55)(56)}}$ である。

(iv) $y=|g(x)|$ のグラフと曲線 $C$ の共有点は2つあり，それらの座標は $(4,16)$ と $\boxed{\text{（ア）}}$ である。また，${\int }_0^4\{f(x)-|g(x)|\}dx=\boxed{\text{（イ）}}$ である。

(v) ${\int }_0^2\{f(x)-h(x)\}dx=\boxed{\text{（ウ）}}$ である。

（問題冊子2ページ「解答するにあたっての注意」より抜粋）
問題I(v)，II(vi)，およびIII(iv)(v)の解答は解答用紙Bの所定の位置に記入し，それ以外の問題の解答は解答用紙A（マークシート）にマークしなさい。
分数形で解答する場合，それ以上約分できない形で解答しなさい。根号を含む形で解答する場合，根号の中に現れる自然数が最小となる形で解答しなさい。それ以外でも，できるだけ簡単な形で解答しなさい。

関数 $f(x)=x\log x$ について，以下の問に答えよ。ただし，$\log$ は自然対数，$e$ は自然対数の底を表す。必要ならば，$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$ を用いてよい。

（1）$y=f(x)$ の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ。

（2）実数 $a$ に対して，$g(x)=ax-1$ とする。曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ の共有点の個数は，$a$ の値によってどのように変わるか調べよ。

（3）曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ の共有点の個数が1個のとき，曲線 $y=f(x)$，直線 $y=g(x)$ および直線 $x=\frac{1}{e}$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

$c$ を定数とする。関数 $f(x)=x^3-6x^2-36x+c$ は極大値と極小値の和が $0$ である。

（1）$c=\boxed{\text{しす}}$ であり，$f(x)$ は $x=\boxed{\text{せそ}}$ で極大値 $\boxed{\text{たちつ}}$ をとる。また，座標平面において，曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(5,f(5))$ における接線の方程式は $y=\boxed{\text{てとな}}x-\boxed{\text{にぬ}}$ である。

（2）$c$ を（1）で求めた値とする。曲線 $y=f(x)$ を $x$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動して得られる曲線の方程式は $y=x^3-\boxed{\text{ねの}}x$ となることから，曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれる2つの図形の面積の和は $\boxed{\text{はひふへ}}$ となる。

$k>0$ とし，$xy$ 平面における $y=k{x}^2+2x-k+3$ のグラフを $C$ とする。

（1）$C$ は $k$ の値によらずつねに2つの定点 $\mathrm{A}\left(\boxed{\text{こさ}},\boxed{\text{し}}\right),\mathrm{B}\left(\boxed{\text{す}},\boxed{\text{せ}}\right)$ を通り，直線ABと $C$ の囲む図形の面積は $\frac{\boxed{\text{そ}}}{\boxed{\text{た}}}k$ である。

（2）（1）のA，Bにおける $C$ の接線をそれぞれ $l,m$ とおく。 $l,m$ の交点は $\left(\boxed{\text{ち}},\boxed{\text{つて}}k+\boxed{\text{と}}\right)$ であり，$l,m,C$ の囲む図形の面積は $\frac{\boxed{\text{な}}}{\boxed{\text{に}}}k$ である。

2つの関数

について以下の問いに答えよ。

（1）曲線 $y=f(x)$ と曲線 $y=g(x)$ の共有点のうち $x$ 座標が正であるものは，$\left(\boxed{\text{お}},\boxed{\text{か}}\right)$ である。また，この点における接線の方程式は $y=\boxed{\text{きく}}x+\boxed{\text{け}}$ である。

（2）$f(x)\leqq g(x)$ を満たす $x$ の範囲は $x\geqq \boxed{\text{こさ}}$ である。また，$t$ を $t>1$ を満たす実数としたとき，$\boxed{\text{こさ}}\leqq x\leqq t$ の範囲で2曲線 $y=f(x),y=g(x)$ が囲む部分の面積と，$y=f(x),y=g(x)$ および直線 $x=t$ が囲む部分の面積の和が $\frac{75}{4}$ となる $t$ の値は，$\boxed{\text{し}}$ である。

$p$ を実数とする。2つの関数

について以下の問いに答えよ。

（1）$p=2$ のとき，曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ は点 $\left(\boxed{\text{か}},\boxed{\text{き}}\right)$ に関して点対称である。

（2）2つの曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が相異なる2点で交わるような $p$ の値の範囲は，$\boxed{\text{く}}-\sqrt{\boxed{\text{け}}}<p<\boxed{\text{こ}}+\sqrt{\boxed{\text{さ}}}$ である。

（3）2つの曲線が囲む部分の面積は，$p=\boxed{\text{し}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{す}}\sqrt{\boxed{\text{せ}}}$ をとる。