複素数平面・曲線の問題

（1）$i$ を虚数単位とし，実数 $\theta$ に対して $f(\theta )=\cos \theta +i\sin \theta$ とおく。実数 $a$ に対して，$f({\theta }_1)=\{f(a){\}}^3$ を満たす ${\theta }_1$ の1つを $a$ を用いて表すと ${\theta }_1=\boxed{\text{ナ}}$ であり，

を満たす ${\theta }_2$ の1つを $a$ を用いて表すと ${\theta }_2=\boxed{\text{ニ}}$ である。

（2）$\theta$ の関数 ${\cos }^4\theta$ を適切な有理数 $b$，$c$，$d$ を用いて $b+c\cos 2\theta +d\cos 4\theta$ の形で表すと，${\cos }^4\theta =\boxed{\text{ヌ}}$ となる。

（3）座標平面上で不等式 $0\leqq y\leqq x$ の表す領域において方程式 $(x^2+y^2{)}^3=(x^2-y^2{)}^2$ が定める曲線を $C$ とする。座標平面において，原点を極，$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r,\theta )$ を考えると，$C$ の極方程式は $\boxed{\text{ネ}}$ となる。ただし，$\theta$ の動く範囲は $\boxed{\text{ノ}}$ である。また，曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は $\boxed{\text{ハ}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

複素数平面上の異なる3点 $\mathrm{A}(\alpha )$，$\mathrm{B}(\beta )$，$\mathrm{C}(\gamma )$ に対して，等式

が成り立つとする。ただし，$i$ は虚数単位であり，$p$ は正の数である。

（1）線分 $\mathrm{AC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする。$\mathrm{M}$ を表す複素数を解答欄（1）に印刷されている文の下線部に記入しなさい。さらに，$\mathrm{M}$ を表す複素数を用いて，線分 $\mathrm{AC}$ と直線 $\mathrm{BM}$ が垂直に交わることの証明を記述しなさい。

以下，複素数 $z_n(n=1,2,3,\cdots \cdots )$ は，$z_1=\beta$，$z_2=\gamma$ であり，等式

を満たすとする。このとき，3点 $\alpha$，$z_n$，$z_{n+1}$ を頂点とする三角形の面積を $S_n$ とする。

（2）$|\alpha -\gamma |=p$ のとき，$S_1$ と $S_2$ をそれぞれ $p$ の式で表すと，$S_1=\boxed{\text{チ}}$，$S_2=\boxed{\text{ツ}}$ となる。

さらに，$p=\sqrt{3}$，$|\alpha -\gamma |=\sqrt{3}$ とする。

（3）$\frac{S_n}{S_1}$ を $n$ のみを用いた式で表すと，$\frac{S_n}{S_1}=\boxed{\text{テ}}$ となる。

（4）$\alpha$ と $\beta$ が，$\alpha <\beta$ を満たす実数である場合を考える。また，$N$ を $z_{N+1}$ が実数となるような最小の正の整数とする。このとき，$z_1$，$z_2$，$\cdots \cdots$，$z_N$，$z_{N+1}$ を頂点とする多角形の面積は $\boxed{\text{ト}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。