【解答・解説】2026年慶應義塾大学理工学部数学第5問

公開 2026.10.03

（1） $i$ を虚数単位とし，実数 $\theta$ に対して $f(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$ とおく。実数 $a$ に対して， $f(\theta_1)=\{f(a)\}^3$ を満たす $\theta_1$ の1つを $a$ を用いて表すと $\theta_1=\boxed{\text{ナ}}$ であり，

\frac{f(\theta_2)+f(-\theta_2)}{2}=\cos^2a-\sin^2a

を満たす $\theta_2$ の1つを $a$ を用いて表すと $\theta_2=\boxed{\text{ニ}}$ である。

（2） $\theta$ の関数 $\cos^4\theta$ を適切な有理数 $b$ ， $c$ ， $d$ を用いて $b+c\cos2\theta+d\cos4\theta$ の形で表すと， $\cos^4\theta=\boxed{\text{ヌ}}$ となる。

（3）座標平面上で不等式 $0\leqq y\leqq x$ の表す領域において方程式 $(x^2+y^2)^3=(x^2-y^2)^2$ が定める曲線を $C$ とする。座標平面において，原点を極， $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r,\ \theta)$ を考えると， $C$ の極方程式は $\boxed{\text{ネ}}$ となる。ただし， $\theta$ の動く範囲は $\boxed{\text{ノ}}$ である。また，曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は $\boxed{\text{ハ}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

重要知識と着眼点

（1） $f(\theta)$ は極形式、掛けると角が足される

複素数の積・累乗の扱い方
極形式で考える。積では絶対値をかけ、偏角を足す。
$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ （ $r>0$ ）のとき、 $z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$ （ $n$ は正の整数）。
$z$ をかける操作は、原点を中心とする $r$ 倍の拡大・縮小と、角 $\theta$ の回転を表す。

$f(a)=\cos a+i\sin a$ は絶対値 $1$ 、偏角 $a$ の複素数です。
3乗すると偏角が3倍になるので、 $\{f(a)\}^3=f(3a)$ です。

後半は、 $f(-\theta)=\cos\theta-i\sin\theta$ に注目します。
$f(\theta)$ と $f(-\theta)$ を足すと虚部が消え、2で割ると $\cos\theta$ が残ります。
右辺の $\cos^2a-\sin^2a$ は2倍角の公式で $\cos2a$ です。

（2）次数を下げる公式を2回使う

倍角・半角の公式
$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ 。
$\cos2\theta=1-2\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1$ 。
これを変形すると、
$\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}2$ 、 $\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}2$ 。

$\cos^4\theta=(\cos^2\theta)^2$ と見て、まず $\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$ を代入します。
展開すると $\cos^22\theta$ が出てくるので、同じ公式をもう一度使うと $\cos4\theta$ になります。
（1）の後半から $\cos\theta=\dfrac{f(\theta)+f(-\theta)}{2}$ なので、これを4乗して二項定理で展開する方法もあります（解答の別解）。

（3） $x^2+y^2=r^2$ 、 $x^2-y^2=r^2\cos2\theta$ に置き換える

媒介変数表示された曲線で囲まれた面積の求め方
$x=f(t),\ y=g(t)$ について、
$\displaystyle\int y\,dx=\int g(t)f'(t)\,dt$ と変換する。
グラフで領域の上側・下側を確認する。 $x$ の増減に応じて区間を分け、上側と下側の差を積分する。

三角関数の積・累乗の積分の扱い方

$\sin^2x,\cos^2x$ は、半角の公式で次数を下げる。

三角関数の積は、積和公式で和に直す。

$\tan^2x$ は、 $\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}-1$ と変形する。

$\tan x$ は $\dfrac{\sin x}{\cos x}$ と表し、置換積分を考える。

$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ を代入すると、 $x^2+y^2=r^2$ です。
さらに $x^2-y^2=r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=r^2\cos2\theta$ となり、（1）の後半で使った2倍角の公式がここでも現れます。
方程式は $r$ と $\theta$ の簡単な関係になります。
領域 $0\leqq y\leqq x$ は、原点以外では $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{4}$ に当たります。
原点が $C$ に含まれるかどうかも確認しましょう。

面積は、 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ に $r=\cos2\theta$ を代入し、 $\theta$ を媒介変数とする曲線として $\displaystyle\int y\,dx$ を計算します。
そのためには、 $\theta$ が増えると $x$ がどう動くかを確かめ、曲線が $x$ 軸の上側にあることを確認しておく必要があります。
積分の計算では、 $\cos^22\theta$ や $\cos^32\theta$ が出てきます。
2乗は半角の公式で次数を下げ、3乗は $\cos^22\theta=1-\sin^22\theta$ として $\sin2\theta$ の置換積分に持ち込みます。

解答

（1）

ド・モアブルの定理より、

\begin{aligned} \{f(a)\}^3&=(\cos a+i\sin a)^3\\ &=\cos3a+i\sin3a=f(3a). \end{aligned}

よって、 $\theta_1=\boxed{3a}$ は条件を満たす。

また、 $f(-\theta)=\cos\theta-i\sin\theta$ だから、

\frac{f(\theta_2)+f(-\theta_2)}{2}=\cos\theta_2.

一方、 $\cos^2a-\sin^2a=\cos2a$ である。
よって、 $\theta_2=\boxed{2a}$ は条件を満たす。

（2）

半角の公式を2回使う。

\begin{aligned} \cos^4\theta&=\left(\frac{1+\cos2\theta}{2}\right)^2=\frac{1+2\cos2\theta+\cos^22\theta}{4}\\ &=\frac14\left(1+2\cos2\theta+\frac{1+\cos4\theta}{2}\right)\\ &=\boxed{\frac38+\frac12\cos2\theta+\frac18\cos4\theta}. \end{aligned}

別解

（1）より $\cos\theta=\dfrac{f(\theta)+f(-\theta)}{2}$ である。
$f(\theta)f(-\theta)=1$ と、 $f(\theta)^k=f(k\theta)$ を使って二項定理で展開すると、

\begin{aligned} \cos^4\theta&=\frac{1}{16}\{f(\theta)+f(-\theta)\}^4\\ &=\frac{1}{16}\{f(4\theta)+4f(2\theta)+6\\ &\qquad+4f(-2\theta)+f(-4\theta)\}\\ &=\frac{1}{16}(2\cos4\theta+8\cos2\theta+6)\\ &=\frac38+\frac12\cos2\theta+\frac18\cos4\theta. \end{aligned}

補足特別な角を代入して確かめる

$\theta=0$ のとき、左辺は $1$ 、右辺は $\dfrac38+\dfrac12+\dfrac18=1$ です。
$\theta=\dfrac{\pi}{2}$ のとき、左辺は $0$ 、右辺は $\dfrac38-\dfrac12+\dfrac18=0$ です。
どちらも一致します。

（3）極方程式

$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ （ $r\geqq0$ ）とすると、

\begin{aligned} x^2+y^2&=r^2,\\ x^2-y^2&=r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=r^2\cos2\theta. \end{aligned}

よって、方程式は

r^6=r^4\cos^22\theta\iff r=0\ \text{または}\ r^2=\cos^22\theta.

原点以外の点では $r>0$ で、領域 $0\leqq y\leqq x$ は $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{4}$ に当たる。
この範囲では $\cos2\theta\geqq0$ だから、 $r^2=\cos^22\theta\iff r=\cos2\theta$ である。
また、原点は方程式を満たして領域内にあり、 $r=\cos2\theta$ で $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ とした点に当たる。
したがって、 $C$ の極方程式は

\boxed{r=\cos2\theta}\qquad\left(\boxed{0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{4}}\right).

（3）面積

$C$ 上の点は、 $\theta$ を媒介変数として

x=\cos2\theta\cos\theta,\qquad y=\cos2\theta\sin\theta

（ $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{4}$ ）と表せる。

直線y=xとx軸の間にある曲線Cのグラフ。点(1,0)から始まって上にふくらみ、原点に戻る。曲線とx軸で囲まれた部分を塗り、原点からの距離rと角θを示している — 曲線 $C:\ r=\cos2\theta$ と $x$ 軸で囲まれた部分

\frac{dx}{d\theta}=-2\sin2\theta\cos\theta-\cos2\theta\sin\theta.

$0<\theta<\dfrac{\pi}{4}$ では $\sin2\theta,\ \cos\theta,\ \cos2\theta,\ \sin\theta$ はすべて正だから、 $\dfrac{dx}{d\theta}<0$ である。
よって、 $\theta$ が $0$ から $\dfrac{\pi}{4}$ まで増えると、 $x$ は $1$ から $0$ まで減少する。
また、この範囲で $y\geqq0$ である。
したがって、 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分は、 $0\leqq x\leqq1$ で $C$ と $x$ 軸の間にある部分であり、その面積 $S$ は

\begin{aligned} S&=\int_0^1y\,dx=\int_{\pi/4}^{0}y\,\frac{dx}{d\theta}\,d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}\cos2\theta\sin\theta\\ &\qquad\times(2\sin2\theta\cos\theta+\cos2\theta\sin\theta)\,d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}\left(\sin^22\theta\cos2\theta+\cos^22\theta\sin^2\theta\right)d\theta. \end{aligned}

ここで $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$ を使った。
それぞれの積分を計算する。

\int_0^{\pi/4}\sin^22\theta\cos2\theta\,d\theta=\left[\frac{\sin^32\theta}{6}\right]_0^{\pi/4}=\frac16.

$\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}$ より、

\begin{aligned} &\int_0^{\pi/4}\cos^22\theta\sin^2\theta\,d\theta\\ &=\frac12\int_0^{\pi/4}\cos^22\theta\,d\theta-\frac12\int_0^{\pi/4}\cos^32\theta\,d\theta. \end{aligned}

\begin{aligned} \int_0^{\pi/4}\cos^22\theta\,d\theta&=\int_0^{\pi/4}\frac{1+\cos4\theta}{2}\,d\theta=\frac{\pi}{8},\\ \int_0^{\pi/4}\cos^32\theta\,d\theta&=\int_0^{\pi/4}(1-\sin^22\theta)\cos2\theta\,d\theta\\ &=\left[\frac{\sin2\theta}{2}-\frac{\sin^32\theta}{6}\right]_0^{\pi/4}=\frac13. \end{aligned}

以上より、

S=\frac16+\frac12\cdot\frac{\pi}{8}-\frac12\cdot\frac13=\boxed{\frac{\pi}{16}}.

補足極方程式の面積公式で確かめる

教科書では発展的な内容ですが、 $0<\theta_2-\theta_1\leqq2\pi$ で、 $g(\theta)$ がこの区間で連続かつ非負とします。
このとき、極方程式 $r=g(\theta)$ と2本の半直線 $\theta=\theta_1,\ \theta=\theta_2$ で囲まれた部分の面積は $\dfrac12\displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2}r^2\,d\theta$ で求められます。
中心角 $d\theta$ の細い扇形の面積 $\dfrac12r^2\,d\theta$ を足し合わせる、という考え方です。
今回は

\frac12\int_0^{\pi/4}\cos^22\theta\,d\theta=\frac12\cdot\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{16}

となり、解答の結果と一致します。

問題データ

主分野: 複素数平面・曲線
関連分野: 三角関数微分・積分
難易度の目安: B（標準）
目標時間: 20分

講評

複素数の極形式、三角関数の次数下げ、極方程式と面積を順に問う問題です。
（1）（2）は短い計算問題で、（3）で極座標と積分の力が問われます。

（1）（2）は確実に取りたい小問です。
（1）はド・モアブルの定理と2倍角の公式をそのまま使うだけです。
「 $\theta_1$ の1つ」「 $\theta_2$ の1つ」と問われているので、 $3a+2k\pi$ などの一般形ではなく、 $3a$ 、 $2a$ と答えれば十分です。
（2）は半角の公式を2回使う定番の計算です。
最後に $\theta=0$ などを代入して見直すと、係数の誤りに気づけます。

（3）の極方程式は、 $x^2+y^2=r^2$ に加えて、 $x^2-y^2=r^2\cos2\theta$ と見抜けるかがポイントです。
（1）で $\cos^2a-\sin^2a$ を扱ったことが、ここへの手がかりになっています。
$r^4$ で割るときに原点が抜け落ちないよう、 $r=0$ の場合も含めて確認しましょう。

差がつくのは面積の計算です。
媒介変数表示の面積公式を使う場合は、 $x$ が $\theta$ についてどう増減するかを確認してから $\displaystyle\int y\,dx$ を立てる必要があります。
積分区間の向きと符号を間違えないように注意しましょう。
極方程式の面積公式 $\dfrac12\displaystyle\int r^2\,d\theta$ を知っていれば短時間で答えが出ますが、教科書では発展的な扱いです。
記述式の答案で使う場合は、扇形の面積の和として考えたことを書き添えると説得力が増します。
空欄補充の本問では、検算に使うのも有効です。

難易度はB、目標時間は20分としました。
（1）（2）は短時間で終わりますが、（3）で極方程式への変換と、媒介変数表示を使った面積計算にある程度の時間がかかるためです。

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1慶應義塾大学 2026 理工学部

座標平面上において，原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円を $C$ とし，点 $A (3, 0)$ を通り傾きが $t$ の直線を $l$ とする。

（1）円 $C$ と直線 $l$ がただ1つの共有点をもつとき，その点の $x$ 座標は $ア$ である。

（2）円 $C$ と直線 $l$ が異なる2点で交わるような $t$ の値の範囲は $イ < t < ウ$ である。

以下， $t$ が $イ < t < ウ$ を満たすように動くとする。このとき，円 $C$ と直線 $l$ の2つの交点を結ぶ線分の中点を $M$ とする。

（3）線分 $OM$ の長さを $t$ の式で表すと， $エ$ である。

（4）点 $M$ の軌跡の方程式は $オ = 0$ である。ただし， $x$ の範囲は $0 ≦ x < ア$ である。

（5）円 $C$ と直線 $l$ の2つの交点と原点 $O$ を頂点とする三角形を，直線 $l$ のまわりに1回転してできる立体の体積を $V$ とする。 $V$ が最大となる $t$ の値は $カ$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

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空間内に点 $P$ と平面 $α$ をとる。点 $P$ と平面 $α$ 上の3点 $O$ ， $A$ ， $B$ に対して，

OP = 2, OA = 2, OB = 3, OP \cdot OB = OA \cdot OB = - 2

が成り立つとする。線分 $AB$ 上の点 $Q$ を， $OQ$ と $OB$ が垂直であるようにとる。

（1） $cos ∠ POB = キ$ である。

（2） $t = \frac{AQ}{AB}$ とおく。このとき， $t$ の値およびそれを求める過程を解答欄（2）に記述しなさい。

（3） $OQ = ク$ である。

（4）点 $P$ を通り平面 $α$ に垂直な直線と $α$ の交点を $H$ とする。このとき，実数 $k$ と $l$ を用いて $OH = k OQ + l OB$ と表すと， $l = ケ$ となる。

（5）点 $P$ が平面 $α$ 上にあるのは， $OP \cdot OA$ の値が $コ$ または $サ$ のときである。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

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3慶應義塾大学 2026 理工学部

表の出る確率が $\frac{1}{2}$ の硬貨が1枚ある。 $n$ を正の整数とする。

（1）硬貨を $n$ 回投げ，表が出た回数を $a$ とする。さらに続けて硬貨を $n$ 回投げたうちで，表が出た回数を $b$ とする。このとき， $a$ と $b$ の積が $0$ である確率を $n$ の式で表すと $シ$ である。「 $a$ と $b$ の和が $n$ である」という事象の起こる場合の数を $M_{n}$ とおく。 $n = 5$ のとき， $M_{5} = ス$ である。また，

n \to \infty lim \frac{1}{n} lo g \frac{n ! M _{n}}{n ^{n}} = セ

である。ただし， $lo g x$ は $x$ の自然対数とする。

（2）硬貨を $n$ 回投げ，表が出た回数を $c$ とする。さらに続けて硬貨を $c + 1$ 回投げたうちで，表が出た回数を $d$ とする。このとき，「 $c = 0$ である」という事象を $C$ とし，「 $d = 0$ である」という事象を $D$ とする。 $n = 4$ のとき，事象 $D$ の起こる確率は $ソ$ である。また，一般の $n$ に対して，事象 $D$ が起こったときに事象 $C$ の起こる条件付き確率は $タ$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

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4慶應義塾大学 2026 理工学部

複素数平面上の異なる3点 $A (α)$ ， $B (β)$ ， $C (γ)$ に対して，等式

(p + i) α - 2 pβ + (p - i) γ = 0

が成り立つとする。ただし， $i$ は虚数単位であり， $p$ は正の数である。

（1）線分 $AC$ の中点を $M$ とする。 $M$ を表す複素数を解答欄（1）に印刷されている文の下線部に記入しなさい。さらに， $M$ を表す複素数を用いて，線分 $AC$ と直線 $BM$ が垂直に交わることの証明を記述しなさい。

以下，複素数 $z_{n} (n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ は， $z_{1} = β$ ， $z_{2} = γ$ であり，等式

(p + i) α - 2 p z_{n} + (p - i) z_{n + 1} = 0 (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

を満たすとする。このとき，3点 $α$ ， $z_{n}$ ， $z_{n + 1}$ を頂点とする三角形の面積を $S_{n}$ とする。

（2） $∣ α - γ ∣ = p$ のとき， $S_{1}$ と $S_{2}$ をそれぞれ $p$ の式で表すと， $S_{1} = チ$ ， $S_{2} = ツ$ となる。

さらに， $p = 3$ ， $∣ α - γ ∣ = 3$ とする。

（3） $\frac{S _{n}}{S _{1}}$ を $n$ のみを用いた式で表すと， $\frac{S _{n}}{S _{1}} = テ$ となる。

（4） $α$ と $β$ が， $α < β$ を満たす実数である場合を考える。また， $N$ を $z_{N + 1}$ が実数となるような最小の正の整数とする。このとき， $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $\dots\dots$ ， $z_{N}$ ， $z_{N + 1}$ を頂点とする多角形の面積は $ト$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

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5早稲田大学 2026 基幹・創造・先進理工学部

関数 $f (x) = x lo g x$ について，以下の問に答えよ。ただし， $lo g$ は自然対数， $e$ は自然対数の底を表す。必要ならば， $x \to + 0 lim x lo g x = 0$ を用いてよい。

（1） $y = f (x)$ の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ。

（2）実数 $a$ に対して， $g (x) = a x - 1$ とする。曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = g (x)$ の共有点の個数は， $a$ の値によってどのように変わるか調べよ。

（3）曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = g (x)$ の共有点の個数が1個のとき，曲線 $y = f (x)$ ，直線 $y = g (x)$ および直線 $x = \frac{1}{e}$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

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1早稲田大学 2026 基幹・創造・先進理工学部

次の関数 $f (x)$ について，以下の問に答えよ。

f (x) = 8^{x} - \frac{15}{2} \cdot 4^{x} + \frac{63}{4} \cdot 2^{x} - \frac{57}{8}

（1） $f (x)$ の極大値 $M$ と極小値 $m$ を求めよ。

（2）（1）で求めた $M, m$ に対して， $a ≦ x ≦ b$ における $f (x)$ の最大値が $M$ ，最小値が $m$ となるような実数の組 $(a, b)$ のうち， $b - a$ が最小となる組を求めよ。

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（1） $a > 0$ とする。 $2 x^{2} - (4 a + 3) x + 6 a$ を因数分解すると $(ア x - イ) (x - ウ a)$ となるから， $x$ の不等式 $2 x^{2} - (4 a + 3) x + 6 a < 0$ をみたす整数 $x$ がちょうど3個となる $a$ の範囲は $エ < a ≦ \frac{オ}{カ}$ である。

（2） $a a a b b c c$ の7文字の並べ方は全部で $キクケ$ 通りある。このうち，両端の文字が一致するような並べ方は $コサ$ 通りある。

（3）不等式 $6 x^{2} - 13 x + 6 ≦ 0$ をみたす $x$ の範囲は $\frac{シ}{ス} ≦ x ≦ \frac{セ}{ソ}$ である。 $y = 5 x^{2} - 8 x + 7$ とすると， $x$ がこの範囲を動くとき， $y$ の最大値は $\frac{タチ}{ツ}$ である。

（4） $cos 3 θ$ を $cos θ$ を用いて表すと $cos 3 θ = テ cos^{3} θ - ト cos θ$ となり， $0 ≦ θ < 2 π$ において $cos 3 θ + cos θ = 0$ をみたす $θ$ で最大のものは $θ = \frac{ナ}{ニ} π$ である。

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2麻布大学 2025 獣医学科第Ⅰ期E日程

四角形 $A B C D$ は円に内接し，辺 $A B$ と辺 $A D$ の長さはそれぞれ $8, 5$ であり，対角線 $B D$ の長さは $7$ である。また，辺 $B C$ と辺 $C D$ は長さが等しい。

円に内接する四角形ABCD。Aは上側、BとDは左右、Cは下側にあり、対角線BDと、BCとCDが等しいことを示す印を付している。

（1） $cos ∠ B A D = \frac{ヌ}{ネ}$ より辺 $B C$ の長さは $\frac{ノ}{ハ}$ であり，四角形 $A B C D$ の面積は $\frac{ヒフヘ}{ホマ} ミ$ である。

（2） $cos ∠ A B D = \frac{ムメ}{モヤ}$ である。対角線 $A C$ と対角線 $B D$ の交点を $E$ とすると，線分の長さの比について， $B E : E D = ユ : ヨ$ であるから， $A E$ の長さは $\frac{ラリ}{ルレ} ロ$ であり，対角線 $A C$ の長さは $\frac{ワン}{あ} い$ である。

【解答・解説】2025年麻布大学獣医学科第Ⅰ期E日程数学第2問

4麻布大学 2025 獣医学科第Ⅰ期E日程

$c$ を定数とする。関数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + c$ は極大値と極小値の和が $0$ である。

（1） $c = しす$ であり， $f (x)$ は $x = せそ$ で極大値 $たちつ$ をとる。また，座標平面において，曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(5, f (5))$ における接線の方程式は $y = てとな x - にぬ$ である。

（2） $c$ を（1）で求めた値とする。曲線 $y = f (x)$ を $x$ 軸方向に $- 2$ だけ平行移動して得られる曲線の方程式は $y = x^{3} - ねの x$ となることから，曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれる2つの図形の面積の和は $はひふへ$ となる。

【解答・解説】2025年麻布大学獣医学科第Ⅰ期E日程数学第4問

1麻布大学 2025 獣医学科第Ⅰ期B日程

以下の問いに答えよ。

（1） $_{2025} C_{1} +_{2025} C_{2} + \dots +_{2025} C_{2025}$ を $8$ で割った余りは $ア$ である。

（2） $0 ≦ θ ≦ π$ とする。 $tan θ = - 3$ のとき $2 cos θ + sin θ = \frac{イ}{ウエ}$ である。

（3） $i$ を虚数単位とする。 $x$ の2次方程式 $x^{2} + (i - a) x - 5 + (a - 3) i = 0$ が実数解をもつような実数 $a$ の値は， $a = \frac{オ}{カ}, キ$ であり，実数解はそれぞれ $x = \frac{ク}{ケ}, コサ$ である。

（4） $a = (3, 7), b = (1, - 3)$ のとき $∣ a + t b ∣$ を最小にする $t$ の値は $\frac{シ}{ス}$ であり，最小値は $\frac{セソタ}{チ}$ である。

重要知識と着眼点

（1）f(θ)f(\theta)f(θ) は極形式、掛けると角が足される

複素数の積・累乗の扱い方

（2）次数を下げる公式を2回使う

倍角・半角の公式

（3）x2+y2=r2x^2+y^2=r^2x2+y2=r2、x2−y2=r2cos⁡2θx^2-y^2=r^2\cos2\thetax2−y2=r2cos2θ に置き換える

媒介変数表示された曲線で囲まれた面積の求め方

三角関数の積・累乗の積分の扱い方

解答

（1）

（2）

別解

（3）極方程式

（3）面積

問題データ

講評

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（1） $f(\theta)$ は極形式、掛けると角が足される

（3） $x^2+y^2=r^2$ 、 $x^2-y^2=r^2\cos2\theta$ に置き換える

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