【解答・解説】2026年慶應義塾大学理工学部数学第4問

公開 2026.10.03

複素数平面上の異なる3点 $\mathrm{A}(\alpha)$ ， $\mathrm{B}(\beta)$ ， $\mathrm{C}(\gamma)$ に対して，等式

(p+i)\alpha-2p\beta+(p-i)\gamma=0

が成り立つとする。ただし， $i$ は虚数単位であり， $p$ は正の数である。

（1）線分 $\mathrm{AC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする。 $\mathrm{M}$ を表す複素数を解答欄（1）に印刷されている文の下線部に記入しなさい。さらに， $\mathrm{M}$ を表す複素数を用いて，線分 $\mathrm{AC}$ と直線 $\mathrm{BM}$ が垂直に交わることの証明を記述しなさい。

以下，複素数 $z_n\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\cdots)$ は， $z_1=\beta$ ， $z_2=\gamma$ であり，等式

\begin{aligned} &(p+i)\alpha-2pz_n+(p-i)z_{n+1}=0\\ &\qquad(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\cdots) \end{aligned}

を満たすとする。このとき，3点 $\alpha$ ， $z_n$ ， $z_{n+1}$ を頂点とする三角形の面積を $S_n$ とする。

（2） $|\alpha-\gamma|=p$ のとき， $S_1$ と $S_2$ をそれぞれ $p$ の式で表すと， $S_1=\boxed{\text{チ}}$ ， $S_2=\boxed{\text{ツ}}$ となる。

さらに， $p=\sqrt3$ ， $|\alpha-\gamma|=\sqrt3$ とする。

（3） $\dfrac{S_n}{S_1}$ を $n$ のみを用いた式で表すと， $\dfrac{S_n}{S_1}=\boxed{\text{テ}}$ となる。

（4） $\alpha$ と $\beta$ が， $\alpha<\beta$ を満たす実数である場合を考える。また， $N$ を $z_{N+1}$ が実数となるような最小の正の整数とする。このとき， $z_1$ ， $z_2$ ， $\cdots\cdots$ ， $z_N$ ， $z_{N+1}$ を頂点とする多角形の面積は $\boxed{\text{ト}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

重要知識と着眼点

（1） $\beta$ を中点 $\mathrm{M}$ からの「ずれ」で表す

複素数平面上の2直線の平行・垂直条件
異なる2点 $A(\alpha),B(\beta)$ と、異なる2点 $C(\gamma),D(\delta)$ について、

$AB,CD$ が平行または一致 $\iff$ $\dfrac{\beta-\alpha}{\delta-\gamma}$ が実数。

$AB\perp CD$ $\iff$ $\dfrac{\beta-\alpha}{\delta-\gamma}$ が純虚数。

与えられた等式を $\beta$ について解くと、 $p$ が付いた部分から $\dfrac{\alpha+\gamma}{2}$ 、 $i$ が付いた部分から $\alpha-\gamma$ の項が現れます。
$\dfrac{\alpha+\gamma}{2}$ はまさに中点 $\mathrm{M}$ を表す複素数です。
そこで $\beta-\dfrac{\alpha+\gamma}{2}$ を作ると、 $\alpha-\gamma$ に純虚数を掛けた形になり、垂直条件が使えます。

三角形ABCと辺ACの中点Mを描いた図。BMはACに垂直で、BからMを引いたものは、AからCを引いたものにi/(2p)を掛けた複素数になる — 中点 $\mathrm{M}$ と点 $\mathrm{B}$ の位置関係

「垂直に交わる」ことを示すには、「垂直であること」と「共有点をもつこと」の両方が必要です。
$\mathrm{M}$ は線分 $\mathrm{AC}$ 上にあり、直線 $\mathrm{BM}$ 上にもあるので、共有点は $\mathrm{M}$ です。
また、直線 $\mathrm{BM}$ を考えるには $\mathrm{B}\ne\mathrm{M}$ が必要なので、これも確認します。

（2）（3） $\alpha$ を中心に見ると、 $z_n$ から $z_{n+1}$ へは回転と拡大・縮小

複素数の積・累乗の扱い方
極形式で考える。積では絶対値をかけ、偏角を足す。
$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ （ $r>0$ ）のとき、 $z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$ （ $n$ は正の整数）。
$z$ をかける操作は、原点を中心とする $r$ 倍の拡大・縮小と、角 $\theta$ の回転を表す。

三角形の面積の求め方

2辺 $a,b$ とその間の角 $\theta$ が分かるとき、 $S=\dfrac12ab\sin\theta$ 。

3辺の長さが分かるとき、余弦定理で $\cos\theta$ を求める → $\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}$ → 面積公式に代入する。

頂点の座標が $(0,0),(a,b),(c,d)$ のとき、 $S=\dfrac12|ad-bc|$ 。原点が頂点でなければ、1つの頂点が原点になるように平行移動する。

3辺の長さ $a,b,c$ と外接円の半径 $R$ が分かるとき、 $S=\dfrac{abc}{4R}$ 。

漸化式の係数 $p+i,\ -2p,\ p-i$ の和は $0$ です。
そのため、すべての $n$ で $z_n=\alpha$ となる数列も、この漸化式を満たします。
$a_{n+1}=ra_n+s$ 型の漸化式で、 $x=rx+s$ の解を引いて等比数列に直すのと同じ考え方です。
$w_n=z_n-\alpha$ とおくと、 $w_{n+1}$ が $w_n$ の定数倍になり、 $\{w_n\}$ は等比数列になります。

複素数を掛けることは「回転と拡大・縮小」なので、点 $\alpha$ から見ると、 $z_n$ を一定の角だけ回転し、 $\alpha$ からの距離を一定の倍率にした点が $z_{n+1}$ です。
三角形 $\alpha z_nz_{n+1}$ は、2辺 $|w_n|,\ |w_{n+1}|$ とその間の角が分かるので、面積公式の1が使えます。
隣り合う三角形の面積比は、倍率の2乗で一定になります。

（4）偏角を追いかけ、多角形を三角形に分ける

等比数列の一般項と和
初項 $a$ 、公比 $r\ne0$ の等比数列について、
$a_n=ar^{n-1}$ 。

$r\ne1$ ： $S_n=a+ar+\cdots+ar^{n-1}=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ 。

$r=1$ ： $S_n=na$ 。

$p=\sqrt3$ のとき、回転角は $\dfrac{\pi}{6}$ になります。
$\alpha,\ \beta$ が実数で $\alpha<\beta$ なので、 $w_1=\beta-\alpha$ は正の実数で、偏角は $0$ です。
1回ごとに $\dfrac{\pi}{6}$ ずつ回転するので、偏角が $\pi$ になったところで初めて再び実数になります。

$z_1$ から $z_{N+1}$ までの点は、 $\alpha$ のまわりを偏角 $0$ から $\pi$ まで順に並びます。
$z_1$ と $z_{N+1}$ はどちらも実軸上にあり、 $\alpha$ はその間にあります。
したがって、多角形は $\alpha$ を共通の頂点とし、面積が $S_1,\ S_2,\ \ldots,\ S_N$ の三角形にすき間なく分けられます。
面積は（3）の結果を使って、等比数列の和として求まります。

解答

（1）

$\mathrm{M}$ を表す複素数は $\dfrac{\alpha+\gamma}{2}$ である。

証明

与えられた等式より、

2p\beta=p(\alpha+\gamma)+i(\alpha-\gamma).

$p>0$ だから両辺を $2p$ で割って、

\beta-\frac{\alpha+\gamma}{2}=\frac{i}{2p}(\alpha-\gamma).

$\alpha\ne\gamma$ より右辺は $0$ でないので、 $\beta\ne\dfrac{\alpha+\gamma}{2}$ 、すなわち $\mathrm{B}\ne\mathrm{M}$ であり、直線 $\mathrm{BM}$ が定まる。
さらに、

\frac{\beta-\dfrac{\alpha+\gamma}{2}}{\alpha-\gamma}=\frac{i}{2p}

であり、 $p$ は正の実数だから、これは純虚数である。
よって、 $\mathrm{BM}\perp\mathrm{AC}$ である。
また、 $\mathrm{M}$ は線分 $\mathrm{AC}$ の中点だから線分 $\mathrm{AC}$ 上にあり、直線 $\mathrm{BM}$ 上にもある。
したがって、線分 $\mathrm{AC}$ と直線 $\mathrm{BM}$ は点 $\mathrm{M}$ で垂直に交わる。（証明終）

（2）

$(p+i)-2p+(p-i)=0$ だから、与えられた漸化式は

-2p(z_n-\alpha)+(p-i)(z_{n+1}-\alpha)=0

と書きかえられる。
$w_n=z_n-\alpha$ とおくと、

w_{n+1}=\frac{2p}{p-i}\,w_n=\frac{2p(p+i)}{p^2+1}\,w_n.

$r=\dfrac{2p(p+i)}{p^2+1}$ とおく。
$p+i=\sqrt{p^2+1}\,(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ （ $0<\varphi<\dfrac{\pi}{2}$ ）と表すと、 $\sin\varphi=\dfrac{1}{\sqrt{p^2+1}}$ であり、

r=\frac{2p}{\sqrt{p^2+1}}(\cos\varphi+i\sin\varphi).

$w_1=\beta-\alpha\ne0$ 、 $r\ne0$ より、すべての $n$ で $w_n\ne0$ である。
$w_{n+1}=rw_n$ より、点 $z_{n+1}$ は、点 $z_n$ を点 $\alpha$ のまわりに $\varphi$ だけ回転し、 $\alpha$ からの距離を $|r|$ 倍した点である。
よって、三角形の2辺の長さは $|w_n|$ 、 $|w_{n+1}|=|r||w_n|$ で、その間の角は $\varphi$ だから、

\begin{aligned} S_n&=\frac12|w_n|\cdot|r||w_n|\sin\varphi\\ &=\frac12\cdot\frac{2p}{\sqrt{p^2+1}}\cdot\frac{1}{\sqrt{p^2+1}}|w_n|^2\\ &=\frac{p}{p^2+1}|w_n|^2. \end{aligned}

$|w_2|=|\gamma-\alpha|=p$ であり、 $|w_1|=\dfrac{|w_2|}{|r|}=p\cdot\dfrac{\sqrt{p^2+1}}{2p}=\dfrac{\sqrt{p^2+1}}{2}$ だから、

\begin{aligned} S_1&=\frac{p}{p^2+1}\cdot\frac{p^2+1}{4}=\boxed{\frac p4},\\ S_2&=\frac{p}{p^2+1}\cdot p^2=\boxed{\frac{p^3}{p^2+1}}. \end{aligned}

補足（1）の図で

S_1

を確かめる

$S_1$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積です。
（1）より、底辺 $\mathrm{AC}=|\alpha-\gamma|=p$ に対する高さは $\mathrm{BM}=\left|\dfrac{i}{2p}(\alpha-\gamma)\right|=\dfrac{p}{2p}=\dfrac12$ です。
よって $S_1=\dfrac12\cdot p\cdot\dfrac12=\dfrac p4$ となり、一致します。

（3）

（2）より、

\frac{S_{n+1}}{S_n}=\frac{|w_{n+1}|^2}{|w_n|^2}=|r|^2=\frac{4p^2}{p^2+1}.

$p=\sqrt3$ のとき $|r|^2=\dfrac{12}{4}=3$ だから、 $\{S_n\}$ は公比 $3$ の等比数列である。
よって、

\frac{S_n}{S_1}=\boxed{3^{n-1}}.

（4）

$p=\sqrt3$ のとき、

\begin{aligned} r&=\frac{2\sqrt3(\sqrt3+i)}{4}=\frac{3+\sqrt3\,i}{2}\\ &=\sqrt3\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right). \end{aligned}

（2）より $|w_1|=\dfrac{|w_2|}{|r|}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}=1$ であり、 $\alpha<\beta$ だから $w_1=\beta-\alpha=1$ である。
したがって、

w_n=(\sqrt3)^{n-1}\left\{\cos\frac{(n-1)\pi}{6}+i\sin\frac{(n-1)\pi}{6}\right\}.

$\alpha$ は実数だから、 $z_n$ が実数であることは $w_n$ が実数であること、すなわち $\sin\dfrac{(n-1)\pi}{6}=0$ と同値である。
これは $n-1$ が $6$ の倍数であることと同値である。
$z_{N+1}$ が実数となる最小の正の整数 $N$ は、 $N=6$ である。

$w_1,\ w_2,\ \ldots,\ w_7$ の偏角は $0,\ \dfrac{\pi}{6},\ \ldots,\ \pi$ と $\dfrac{\pi}{6}$ ずつ増え、 $z_1=\alpha+1$ 、 $z_7=\alpha-27$ である。
よって、 $\alpha$ は線分 $z_7z_1$ 上にあり、 $z_1,\ z_2,\ \ldots,\ z_7$ は $\alpha$ のまわりに偏角の順に並ぶ。
したがって、7点を頂点とする多角形は、 $\alpha,\ z_k,\ z_{k+1}$ （ $k=1,2,\ldots,6$ ）を頂点とする6つの三角形に、重なりなく分けられる。

点αのまわりに、z1からz7が30度ずつ回転しながら遠ざかって並ぶ七角形。z1とz7は実軸上にあり、αは辺z7z1上にある。αと各頂点を結ぶ破線で6つの三角形に分かれる。右側はα付近の拡大図 — $z_1,\ldots,z_7$ を頂点とする多角形

$S_1=\dfrac{\sqrt3}{4}$ と（3）より、求める面積は

\begin{aligned} S_1+S_2+\cdots+S_6&=\frac{\sqrt3}{4}(1+3+3^2+\cdots+3^5)\\ &=\frac{\sqrt3}{4}\cdot\frac{3^6-1}{3-1}\\ &=\frac{\sqrt3}{4}\cdot364=\boxed{91\sqrt3}. \end{aligned}

補足最後の三角形の面積で確かめる

3頂点が $0,\ u,\ v$ の三角形の面積は $\dfrac12|\mathrm{Im}(u\overline{v})|$ で求められます（ $\mathrm{Im}$ は虚部）。
$\alpha$ を原点に平行移動して考えると、 $w_6=-\dfrac{27}{2}+\dfrac{9\sqrt3}{2}i$ 、 $w_7=-27$ です。
$w_7\overline{w_6}=(-27)\left(-\dfrac{27}{2}-\dfrac{9\sqrt3}{2}i\right)=\dfrac{729}{2}+\dfrac{243\sqrt3}{2}i$ より、 $S_6=\dfrac{243\sqrt3}{4}$ です。
これは $3^5S_1=243\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}$ と一致します。

問題データ

主分野: 複素数平面・曲線
関連分野: 数列
難易度の目安: B（標準）
目標時間: 25分

講評

複素数平面上の点の関係式から、垂直の証明、回転と拡大でできる点列、多角形の面積までを扱う問題です。
（1）の等式の読み取り方が、（2）以降の漸化式を解く方法の手がかりになっています。

（1）は確実に取りたい小問です。
等式を $\beta$ について解き、中点 $\dfrac{\alpha+\gamma}{2}$ を引くという方針が立てば、垂直条件はすぐに確認できます。
記述では、比が「純虚数」であることに加えて、 $\mathrm{B}\ne\mathrm{M}$ であること、2つが $\mathrm{M}$ で交わることまで書きましょう。
「垂直に交わる」の「交わる」を示し忘れると、証明として不十分になります。

（2）（3）は、係数の和が $0$ であることに気づき、 $w_n=z_n-\alpha$ とおけるかどうかで差がつきます。
$z_n$ のまま扱うと、三角形の面積を計算するのが大変です。
「点 $\alpha$ を中心とする回転と拡大」と見れば、面積が公比 $|r|^2$ の等比数列になることが自然に分かります。
$S_1$ は（1）の三角形 $\mathrm{ABC}$ なので、底辺と高さからも求められます。
2通りで一致を確かめられる点も活用しましょう。

（4）は、回転角が $\dfrac{\pi}{6}$ になることから $N=6$ を求め、多角形を三角形に分ける問題です。
点の位置を大まかにでも描いてみると、 $\alpha$ が多角形の辺 $z_7z_1$ 上にあり、扇形のように三角形が並ぶことが分かります。
条件 $|\alpha-\gamma|=\sqrt3$ から $\beta-\alpha=1$ と決まる点も見落とさないようにしましょう。

難易度はB、目標時間は25分としました。
各小問の方針は典型的ですが、（1）の証明の記述と、（2）で $w_n$ を導入する発想、（4）で多角形を分ける説明に時間がかかるためです。

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1慶應義塾大学 2026 理工学部

座標平面上において，原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円を $C$ とし，点 $A (3, 0)$ を通り傾きが $t$ の直線を $l$ とする。

（1）円 $C$ と直線 $l$ がただ1つの共有点をもつとき，その点の $x$ 座標は $ア$ である。

（2）円 $C$ と直線 $l$ が異なる2点で交わるような $t$ の値の範囲は $イ < t < ウ$ である。

以下， $t$ が $イ < t < ウ$ を満たすように動くとする。このとき，円 $C$ と直線 $l$ の2つの交点を結ぶ線分の中点を $M$ とする。

（3）線分 $OM$ の長さを $t$ の式で表すと， $エ$ である。

（4）点 $M$ の軌跡の方程式は $オ = 0$ である。ただし， $x$ の範囲は $0 ≦ x < ア$ である。

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（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

【解答・解説】2026年慶應義塾大学理工学部数学第1問

2慶應義塾大学 2026 理工学部

空間内に点 $P$ と平面 $α$ をとる。点 $P$ と平面 $α$ 上の3点 $O$ ， $A$ ， $B$ に対して，

OP = 2, OA = 2, OB = 3, OP \cdot OB = OA \cdot OB = - 2

が成り立つとする。線分 $AB$ 上の点 $Q$ を， $OQ$ と $OB$ が垂直であるようにとる。

（1） $cos ∠ POB = キ$ である。

（2） $t = \frac{AQ}{AB}$ とおく。このとき， $t$ の値およびそれを求める過程を解答欄（2）に記述しなさい。

（3） $OQ = ク$ である。

（4）点 $P$ を通り平面 $α$ に垂直な直線と $α$ の交点を $H$ とする。このとき，実数 $k$ と $l$ を用いて $OH = k OQ + l OB$ と表すと， $l = ケ$ となる。

（5）点 $P$ が平面 $α$ 上にあるのは， $OP \cdot OA$ の値が $コ$ または $サ$ のときである。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

【解答・解説】2026年慶應義塾大学理工学部数学第2問

3慶應義塾大学 2026 理工学部

表の出る確率が $\frac{1}{2}$ の硬貨が1枚ある。 $n$ を正の整数とする。

（1）硬貨を $n$ 回投げ，表が出た回数を $a$ とする。さらに続けて硬貨を $n$ 回投げたうちで，表が出た回数を $b$ とする。このとき， $a$ と $b$ の積が $0$ である確率を $n$ の式で表すと $シ$ である。「 $a$ と $b$ の和が $n$ である」という事象の起こる場合の数を $M_{n}$ とおく。 $n = 5$ のとき， $M_{5} = ス$ である。また，

n \to \infty lim \frac{1}{n} lo g \frac{n ! M _{n}}{n ^{n}} = セ

である。ただし， $lo g x$ は $x$ の自然対数とする。

（2）硬貨を $n$ 回投げ，表が出た回数を $c$ とする。さらに続けて硬貨を $c + 1$ 回投げたうちで，表が出た回数を $d$ とする。このとき，「 $c = 0$ である」という事象を $C$ とし，「 $d = 0$ である」という事象を $D$ とする。 $n = 4$ のとき，事象 $D$ の起こる確率は $ソ$ である。また，一般の $n$ に対して，事象 $D$ が起こったときに事象 $C$ の起こる条件付き確率は $タ$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

【解答・解説】2026年慶應義塾大学理工学部数学第3問

5慶應義塾大学 2026 理工学部

（1） $i$ を虚数単位とし，実数 $θ$ に対して $f (θ) = cos θ + i sin θ$ とおく。実数 $a$ に対して， $f (θ_{1}) = {f (a)}^{3}$ を満たす $θ_{1}$ の1つを $a$ を用いて表すと $θ_{1} = ナ$ であり，

\frac{f ( θ _{2} ) + f ( - θ _{2} )}{2} = cos^{2} a - sin^{2} a

を満たす $θ_{2}$ の1つを $a$ を用いて表すと $θ_{2} = ニ$ である。

（2） $θ$ の関数 $cos^{4} θ$ を適切な有理数 $b$ ， $c$ ， $d$ を用いて $b + c cos 2 θ + d cos 4 θ$ の形で表すと， $cos^{4} θ = ヌ$ となる。

（3）座標平面上で不等式 $0 ≦ y ≦ x$ の表す領域において方程式 $(x^{2} + y^{2})^{3} = (x^{2} - y^{2})^{2}$ が定める曲線を $C$ とする。座標平面において，原点を極， $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r, θ)$ を考えると， $C$ の極方程式は $ネ$ となる。ただし， $θ$ の動く範囲は $ノ$ である。また，曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は $ハ$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

【解答・解説】2026年慶應義塾大学理工学部数学第5問

同じ分野の問題

4早稲田大学 2026 基幹・創造・先進理工学部

$a (1) = 2$ とし， $a (2), a (3), a (4), \dots$ を次の関係で定める。

a (2 n) a (2 n + 1) = 3 a (n) + 1, = 3 a (n) + 2 (n = 1, 2, \dots)

以下の問に答えよ。

（1） $a (7), a (9)$ を求めよ。

（2）自然数 $n$ に対して， $a (2^{n} + 1)$ は，1または2のいずれかの値をとるような $b_{0}, b_{1}, \dots, b_{n}$ を用いて，

a (2^{n} + 1) = k = 0 \sum n b_{k} \cdot 3^{k}

と表せる。 $b_{0}, b_{1}, \dots, b_{n}$ をそれぞれ求めよ。

（3）自然数 $n$ に対して， $k = 1 \sum 2^{n} - 1 a (k)$ を求めよ。

【解答・解説】2026年早稲田大学基幹・創造・先進理工学部数学第4問

3麻布大学 2025 獣医学科第Ⅰ期B日程

A氏が犬を連れて家に帰る途中，家から $L$ メートルの地点に来たときに犬が家に向かって走り出し，家に着くとすぐに引き返して再びA氏のもとへ戻ってきた。そして，A氏のもとに戻るとまたすぐに家に向かって走り出し，家に着くとすぐに引き返しA氏のところへ戻った。犬は，この一連の往復運動をA氏が家に着くまで繰り返した。犬が走る速さはA氏が歩く速さの $4.5$ 倍であるとし，A氏と犬はそれぞれ常に一定の速さで移動すると仮定する。次の問いに答えよ。

（1） $k$ 回目（ $k ≧ 1$ ）にA氏のもとから家に向かって走り出したとき，その地点から家までの距離を $a_{k}$ （メートル）とする。犬の移動距離はA氏の歩いた距離の $\frac{ヤ}{ユ}$ 倍であることに注意すると，

a_{2} = \frac{ヨ}{ラリ} L, a_{k + 1} = \frac{ル}{レロ} a_{k} (k ≧ 1)

である。

（2） $k$ 回目にA氏のもとから家に向かって走り出し，再びA氏のもとに戻ってくるまでに犬が移動する距離は， $\frac{ワン}{あい} L \cdot (\frac{う}{えお})^{k - 1}$ である。

（3） $1$ 回目に家に向かって走り出してから $k + 1$ 回目に家に向かって走り出すまでに犬が移動する距離は， $\frac{か}{き} L \cdot ⎩ ⎨ ⎧ 1 - (\frac{く}{けこ})^{k} ⎭ ⎬ ⎫$ である。

【解答・解説】2025年麻布大学獣医学科第Ⅰ期B日程数学第3問

3麻布大学 2024 獣医学科第Ⅰ期B日程

条件

{a_{n + 2} a_{n} + a_{n + 1}^{2} = 5 a_{n + 1} a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots), a_{1} = 1, a_{2} = 3

で定められる数列 ${a_{n}}$ について以下の問いに答えよ。

（1） $b_{n} = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} (n ≧ 1)$ とおくと， $b_{n + 1} + b_{n} = ミ$ である。このことから数列 ${b_{n}}$ の一般項は，

b_{n} = \frac{ム + ( メモ ) ^{n - 1}}{ヤ}

となる。したがって， $b_{n + 1} b_{n} = ユ$ である。

（2） $n ≧ 2$ のとき $a_{n} = a_{1} \cdot \frac{a _{2}}{a _{1}} \cdot \frac{a _{3}}{a _{2}} \dots \frac{a _{n}}{a _{n - 1}}$ であることに注意すると，（1）の結果から

a_{2 k + 1} = ヨ^{k}, a_{2 k} = \frac{ラ}{リ} ル^{k} (k ≧ 1)

である。

（3） ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とおくとき，

S_{2 k + 1} S_{2 k} = \frac{レ \cdot ロ ^{k} - ワ}{ン}, = \frac{あ ( い ^{k} - う )}{え} (k ≧ 1)

である。

【解答・解説】2024年麻布大学獣医学科第Ⅰ期B日程数学第3問

1麻布大学 2025 獣医学科第Ⅱ期

以下の問いに答えよ。

（1）A，Z，A，B，Uの5文字を1列に並べる並べ方の総数を $X$ とし，D，A，I，G，A，K，Uの7文字を1列に並べる並べ方の総数を $Y$ とすると $\frac{Y}{X} = アイ$ である。

（2）すべての実数 $x$ に対して $f (sin x) = cos 4 x$ を満たす関数 $f (x)$ は， $f (x) = ウ x^{4} - エ x^{2} + オ$ である。

（3）ある一定の規則で並べられた数列

\frac{1}{1}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \frac{1}{5}, \dots, \frac{1}{2 n - 1}, \frac{2}{2 n - 1}, \dots, \frac{2 n - 1}{2 n - 1}, \frac{1}{2 n + 1}, \dots

において $\frac{8}{29}$ は第 $カキク$ 項の数である。

（4） $A$ を9で割ると8余る整数とするとき， $A^{4}$ を9で割った余りは $ケ$ であり， $A^{2025}$ を9で割った余りは $コ$ である。

【解答・解説】2025年麻布大学獣医学科第Ⅱ期数学第1問

3麻布大学 2026 獣医学科第Ⅰ期B日程

有理数からなる数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ を

(\frac{1 + 5}{2})^{n} = a_{n} + b_{n} 5

によって定める。次の問いに答えよ。

（1） $a_{n + 1}, b_{n + 1}$ を $a_{n}, b_{n}$ を用いて表すと，

a_{n + 1} b_{n + 1} = \frac{ナ}{ニ} a_{n} + \frac{ヌ}{ネ} b_{n}, = \frac{ノ}{ハ} a_{n} + \frac{ヒ}{フ} b_{n}

である。また， $a_{n}^{2} - 5 b_{n}^{2} = (ヘホ)^{n}$ である。

（2） $c_{n} = a_{n} - b_{n} 5$ とするとき，数列 ${c_{n}}$ の一般項は

c_{n} = \frac{マ - ミ}{ム}^{n}

である。

（3）数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ の一般項は

a_{n} b_{n} = \frac{メ}{モ ^{n + 1}} {(ヤ + ユ)^{n} + (ヨ - ラ)^{n}}, = \frac{リ}{ル ^{n} \cdot レロ} {(ヤ + ユ)^{n} - (ヨ - ラ)^{n}}

である。

【解答・解説】2026年麻布大学獣医学科第Ⅰ期B日程数学第3問

1麻布大学 2026 獣医学科第Ⅱ期

以下の問いに答えよ。

（1）（i） $2^{- \frac{5}{7}} \times 6^{\frac{13}{7}} \times 1 4^{\frac{6}{7}} \times 2 1^{\frac{1}{7}} = アイウ$ 。

（ii）対数方程式 $lo g_{4} (x - 2) + lo g_{4} (x - 17) = 2$ の解は， $x = エオ$ である。

（2） $k$ を定数とする。 $x$ の方程式 $x (1 - x)^{2} = k$ が相異なる3つの実数解をもつような $k$ の値の範囲は， $カ < k < \frac{キ}{クケ}$ である。

（3）当たりくじが何本か入った20本のくじがある。この中からくじを2本引くとき，少なくとも1本が当たりくじである確率は $\frac{7}{19}$ であった。この20本のくじの中に当たりくじは $コ$ 本ある。

（4）初項が $a$ ，公差が $d$ の等差数列がある。この数列の初項から第9項までの和が0で，初項から第15項までの和が90であるとき $a = サシ, d = ス$ である。

重要知識と着眼点

（1）β\betaβ を中点 M\mathrm{M}M からの「ずれ」で表す

複素数平面上の2直線の平行・垂直条件

（2）（3）α\alphaα を中心に見ると、znz_nzn​ から zn+1z_{n+1}zn+1​ へは回転と拡大・縮小

複素数の積・累乗の扱い方

三角形の面積の求め方

（4）偏角を追いかけ、多角形を三角形に分ける

等比数列の一般項と和

解答

（1）

（2）

（3）

（4）

問題データ

講評

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（1） $\beta$ を中点 $\mathrm{M}$ からの「ずれ」で表す

（2）（3） $\alpha$ を中心に見ると、 $z_n$ から $z_{n+1}$ へは回転と拡大・縮小

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