方程式・不等式の問題

$a$ を定数とする。直線 $\ell :y=-x+4$ と曲線 $m:y=x^4-2x^3+a{x}^2+11x+40$ が2点で接するとき，接点の $x$ 座標はそれぞれ $\boxed{\text{ツテ}},\boxed{\text{ト}}$ であり，定数 $a$ の値は $\boxed{\text{ナニヌ}}$ である。また，曲線 $m$ と直線 $\ell$ が囲む部分の面積は $\frac{\boxed{\text{ネノハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}$ である。

（1）$x=\frac{8-3\sqrt{6}}{4+\sqrt{6}}$ とする。分母を有理化して表すと $x=\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$ であり，$x^2+\frac{1}{x^2}=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$f(x)=x^2-7x+18$ の最小値は $\frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ である。 また，$f(x)>36$ を満たす $x$ の範囲は $x<\boxed{\text{ケコ}},\boxed{\text{サ}}<x$ である。

（3）$x$ の2次方程式

について，①，②がともに実数解をもつような $a$ の値の範囲は $\boxed{\text{シ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{ス}}$ であり，①，②の少なくとも一方が実数解をもつような $a$ の値の範囲は $a\leqq \boxed{\text{セソ}},\boxed{\text{タ}}\leqq a$ である。

（4）さいころ1個を3回投げる。出た目の積が3の倍数となる確率は $\frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}$ である。 また，出た目の積が4で割り切れない確率は $\frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ である。

$a,b$ を実数の定数とし，$x$ の関数 $f(x)=x^3-3x^2-9x-3,g(x)=a{x}^2+bx$ を考える。 座標平面において $y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフは $x$ 座標が1である点を共有し，この点で共通の接線をもつ。

（1）$f(x)$ は $x=\boxed{\text{うえ}}$ で極大値 $\boxed{\text{お}}$，$x=\boxed{\text{か}}$ で極小値 $\boxed{\text{きくけ}}$ をとる。 また，$a=\boxed{\text{こ}},b=\boxed{\text{さしす}}$ であり，不等式 $f(x)\leqq g(x)$ を満たす $x$ の範囲は $x\leqq \boxed{\text{せ}}$ である。 また，$y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフによって囲まれる図形の面積は $\frac{\boxed{\text{そ}}}{\boxed{\text{た}}}$ である。

（2）$h(x)={\int }_0^x\{f(t)-g(t)\}dt$ とおくと，$h(x)$ は $x=\boxed{\text{ち}}$ のとき最小値 $\frac{\boxed{\text{つて}}}{\boxed{\text{と}}}$ をとる。

$x$ の4次方程式

の解がすべて実数となるような，定数 $a,b$ の範囲を知りたい。 以下の生徒と教師の会話文を読み，適切な数値を解答欄にマークせよ。 $\boxed{\text{タ}}$，$\boxed{\text{ト}}$ については，適切な選択肢を各々の解答群から1つずつ選択せよ。

生徒：2次方程式であれば実数解をもつ条件が判別式から求められましたが，4次方程式の場合は習っていません。

教師：まず，$x=0$ は解ではないから①の両辺を $x^2$ で割ってみよう。すると①は

$$4x^2+2ax+b+\frac{a}{2x}+\frac{1}{4x^2}=0$$

となるね。このとき $y=2x+\frac{1}{2x}$ とおくと①は，

$$\boxed{\text{タ}}=0\text{\hspace{1em}(2◯)}$$

と変形できるよ。

生徒：$y$ に関する2次方程式になりました。あとはこの2次方程式が実数解を持つ条件を求めて解決ですね。

教師：話はそう単純じゃないんだ。例えば，$y=0$ のときを考えるとわかるように，$y$ が実数であっても $x$ が実数にならない場合があるよ。だから $x$ が実数となるための $y$ の条件を考える必要があるんだ。

生徒：そのような $y$ の条件は，$y\le \boxed{\text{チツ}}$ または $y\ge \boxed{\text{テ}}$ です。

教師：そうだね。つまり，①の解が実数となるための $a$ の条件は，②がその範囲で解を持つことなんだ。

生徒：わかりました，これで $a,b$ の存在範囲が求められますね。

教師：では，それを $ab$-平面に図示すると，どのような図が描けるかな。

生徒：$(a,b)$ の存在範囲の概略は，境界を含む斜線部分 $\boxed{\text{ト}}$ になります。

タの解答群

トの解答群

以下の問いに答えよ。

（1）$xy\ne 0$ かつ $4^x=5^y=20^{26}$ を満たす実数 $x,y$ について $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}$ である。

（2）$a=\sin \frac{\pi }{18}$ のとき，$3a-4a^3=\frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

（3）座標空間の2点 $\mathrm{A}(2,1,-2),\mathrm{B}(-1,-5,1)$ を通る直線を $\ell$ とする。 原点 $\mathrm{O}$ を通る直線が $\ell$ と垂直に交わるとき，その交点の座標は $\left(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キク}},\boxed{\text{ケコ}}\right)$ である。

（4）$(x^2+2x-1{)}^9$ の展開式における $x^4$ の項の係数は，$\boxed{\text{サシスセソ}}$ である。