微分・積分の問題

関数 $f(x)=x\log x$ について，以下の問に答えよ。ただし，$\log$ は自然対数，$e$ は自然対数の底を表す。必要ならば，$\displaystyle\lim_{x\to+0}x\log x=0$ を用いてよい。

(1)　$y=f(x)$ の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ。

(2)　実数 $a$ に対して，$g(x)=ax-1$ とする。曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ の共有点の個数は，$a$ の値によってどのように変わるか調べよ。

(3)　曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ の共有点の個数が1個のとき，曲線 $y=f(x)$，直線 $y=g(x)$ および直線 $x=\frac1e$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

次の関数 $f(x)$ について，以下の問に答えよ。

$$f(x) = 8^x - \frac{15}{2}\cdot 4^x + \frac{63}{4}\cdot 2^x - \frac{57}{8}$$

(1)　$f(x)$ の極大値 $M$ と極小値 $m$ を求めよ。

(2)　(1) で求めた $M,\ m$ に対して，$a \leqq x \leqq b$ における $f(x)$ の最大値が $M$，最小値が $m$ となるような実数の組 $(a,\ b)$ のうち，$b-a$ が最小となる組を求めよ。