【解答・解説】2026年 早稲田大学 理工学部 数学 第5問

(1)　関数 $f(x)=x\log x$ の定義域は真数条件より $x>0$ である。$f(x)$ を $x$ で微分すると，

$$f'(x)=(x)'\log x+x(\log x)'=1\cdot\log x+x\cdot\frac1x=\log x+1$$

$f'(x)=0$ とすると，$\log x=-1$ より $x=e^{-1}=\frac1e$ となる。$x>0$ における $f(x)$ の増減表は以下の通りである。

ここで，極小値は

$$f\left(\frac1e\right)=\frac1e\log\left(\frac1e\right)=-\frac1e$$

である。また，問題文より $\displaystyle\lim_{x\to+0}f(x)=0$ であり，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ である。さらに $f(x)=0$ となるのは $x\log x=0$ $(x>0)$ より $\log x=0$，すなわち $x=1$ のときである。

以上より，$y=f(x)$ のグラフは以下のようになる。

(2)　曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ の共有点の個数は，方程式

$$x\log x=ax-1\quad(x>0)$$

の実数解の個数に等しい。この方程式を整理して，$h(x)=x\log x-ax+1$ とおき，$x>0$ における $h(x)=0$ の解の個数を調べる。$h(x)$ を微分すると，

$$h'(x)=(\log x+1)-a$$

$h'(x)=0$ とすると，$\log x=a-1$ より $x=e^{a-1}$ となる。$h(x)$ の増減表は以下のようになる。

ただし，$\displaystyle\lim_{x\to+0}h(x)=0-0+1=1$ である。また，

$$\lim_{x\to\infty}h(x)=\lim_{x\to\infty}(x(\log x-a)+1)=\infty$$

である。

したがって，$y=h(x)$ のグラフは $x\to+0$ で $y\to1$ となり，減少して極小値をとり，その後増加して無限大に発散する。よって，$h(x)=0$ の実数解の個数は，極小値の符号によって以下のように分類できる。

極小値は

$$\begin{aligned} m&=h(e^{a-1})=e^{a-1}\log(e^{a-1})-ae^{a-1}+1\\ &=e^{a-1}(a-1)-ae^{a-1}+1=-e^{a-1}+1 \end{aligned}$$

である。

(i)　$m>0$ のとき

$$1-e^{a-1}>0\iff e^{a-1}<1\iff a-1<0\iff a<1$$

このとき，極小値が正であるため，$h(x)$ は常に正となり，$h(x)=0$ の解は0個。

(ii)　$m=0$ のとき

$$1-e^{a-1}=0\iff a=1$$

このとき，グラフは $x$ 軸と接し，解は1個。

(iii)　$m<0$ のとき

$$1-e^{a-1}<0\iff a>1$$

このとき，極小値が負であり，かつ両端の極限が正（1および $\infty$）であるため，中間値の定理より $x<e^{a-1}$ と $x>e^{a-1}$ の範囲にそれぞれ1つずつ解を持ち，合計2個。

以上をまとめると，共有点の個数は以下のようになる。

$$\begin{cases} 0個 &(a<1のとき)\\ 1個 &(a=1のとき)\\ 2個 &(a>1のとき) \end{cases}$$

(3)　(2) の結果より，共有点の個数が1個となるのは $a=1$ のときである。このとき，$g(x)=x-1$ であり，接点の $x$ 座標は $x=e^{1-1}=1$ である。求める体積 $V$ は，曲線 $y=x\log x$，直線 $y=x-1$ および直線 $x=\frac1e$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積である。

区間 $\frac1e\leqq x\leqq1$ において，

$$h(x)=x\log x-(x-1)$$

を考えると，(2) の考察（$a=1$ のとき $x=1$ で極小値0をとる）より，この区間で $h(x)\geqq0$，すなわち $f(x)\geqq g(x)$ が成り立つ。したがって，囲まれた領域 $D$ は $\frac1e\leqq x\leqq1$ の範囲にある。

$y$ 軸周りの回転体の体積を求めるために，バームクーヘン積分（円筒分割）を用いる。

$$V=\int_{1/e}^{1}2\pi x(f(x)-g(x))\,dx$$

被積分関数を展開すると，

$$x(f(x)-g(x))=x(x\log x-x+1)=x^2\log x-x^2+x$$

であるから，

$$V=2\pi\int_{1/e}^{1}(x^2\log x-x^2+x)\,dx$$

ここで，$\displaystyle\int x^2\log x\,dx$ を部分積分法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} \int x^2\log x\,dx &=\int\left(\frac{x^3}{3}\right)'\log x\,dx\\ &=\frac{x^3}{3}\log x-\int\frac{x^3}{3}\cdot\frac1x\,dx\\ &=\frac{x^3}{3}\log x-\frac13\int x^2\,dx\\ &=\frac{x^3}{3}\log x-\frac{x^3}{9}+C\quad(Cは積分定数) \end{aligned}$$

よって，定積分を計算すると，

$$\begin{aligned} \int_{1/e}^{1}(x^2\log x-x^2+x)\,dx &=\left[\frac{x^3}{3}\log x-\frac{x^3}{9}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]_{1/e}^{1}\\ &=\left[\frac{x^3}{3}\log x-\frac49x^3+\frac{x^2}{2}\right]_{1/e}^{1} \end{aligned}$$

$x=1$ のとき，

$$\frac13\log1-\frac49+\frac12=0-\frac8{18}+\frac9{18}=\frac1{18}$$

$x=\frac1e$ のとき，

$$\begin{aligned} \frac{1}{3e^3}\log(e^{-1})-\frac{4}{9e^3}+\frac{1}{2e^2} &=-\frac{1}{3e^3}-\frac{4}{9e^3}+\frac{1}{2e^2}\\ &=-\frac{3}{9e^3}-\frac{4}{9e^3}+\frac{1}{2e^2}\\ &=-\frac{7}{9e^3}+\frac{1}{2e^2}\\ &=\frac{-14+9e}{18e^3} \end{aligned}$$

したがって，

$$\begin{aligned} V&=2\pi\left(\frac1{18}-\frac{9e-14}{18e^3}\right)\\ &=2\pi\cdot\frac{e^3-(9e-14)}{18e^3}\\ &=\frac{\pi(e^3-9e+14)}{9e^3} \end{aligned}$$

■解答まとめ　(1) 解説参照　(2) $a<1$ のとき0個，$a=1$ のとき1個，$a>1$ のとき2個　(3) $\displaystyle\frac{\pi(e^3-9e+14)}{9e^3}$