イェンゼンの不等式（凸不等式）とは：定義・証明・等号条件と例題

イェンゼンの不等式（凸不等式）は、「いくつかの値を平均してから関数に代入した値」と「関数に代入してから平均した値」を比べる定理です。下に凸な関数では前者が後者以下になります。上に凸な関数では大小が逆になります。

この記事では、まず定義と図形的な意味を確認します。続いて、凸・凹の判定方法、微分可能な場合の証明、等号成立条件を順に整理します。最後に、相加相乗平均やヤングの不等式、円に内接する三角形の面積などの例題で使い方を確認します。なお、本文中の $\ln$ は自然対数を表します。

イェンゼンの不等式の定義

まずは等しい重みの形

正の整数 $n$ と、区間 $I$ で下に凸な関数 $f$ を考えます。$I$ に属する $x_1, x_2, \ldots, x_n$ に対して、次の不等式が成り立ちます。

左辺は「平均してから代入」した値、右辺は「代入してから平均」した値です。たとえば $f(x)=x^2,\ n=2$ とすると、よく知られた次の不等式になります。

重み付きの一般形

平均の重みは均等でなくてもかまいません。重み $w_1, \ldots, w_n$ が次の条件を満たすとします。

このとき、区間 $I$ で下に凸な $f$ について、次が成り立ちます。

$w_i=\frac{1}{n}$ とすれば、前の形に戻ります。重みは0以上で、合計が1でなければなりません。負の重みを入れた場合、この不等式が成り立つ保証はありません。

また、重み付き平均 $\sum w_i x_i$ は、$x_i$ の最小値と最大値の間にあります。そのため、区間 $I$ からはみ出すことはありません。

上に凸（凹）な関数では向きが逆

$f$ が区間 $I$ で上に凸（凹関数）の場合は、同じ条件のもとで不等号の向きが逆になります。

これは、$-f$ が下に凸になることから、下に凸の場合の結果をそのまま使って導けます。

図形的な意味：グラフは弦の下にある

2点の場合で考えてみましょう。下に凸であることの定義は、$I$ 内の $x, y$ と $0 \le \theta \le 1$ に対して、次の不等式が成り立つことです。

右辺は、グラフ上の2点 $(x, f(x))$ と $(y, f(y))$ を結ぶ線分（弦）上の点の高さを表しています。つまりこの式は、「$x$ と $y$ の間では、下に凸なグラフは弦の下側にある」という見た目の性質を式で表したものです。これが2点版のイェンゼンの不等式にあたります。

凸・凹の判定：二階微分の符号を見る

入試で扱う関数の多くは二階微分可能です。その場合は、次の判定法が便利です。

• 区間 $I$ で $f''(x) \ge 0$ なら、$f$ は下に凸
• $f''(x) \le 0$ なら、上に凸
• $f''(x)>0$（または $f''(x)<0$）なら、厳密に下に凸（厳密に上に凸）

代表的な関数で確認しておきましょう。

• $x^2$：実数全体で $f''(x)=2>0$ なので、厳密に下に凸
• $\ln x$：$x>0$ で $f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ なので、厳密に上に凸
• $\sin x$：$0<x<\pi$ で $f''(x)=-\sin x<0$ なので、厳密に上に凸

イェンゼンの不等式は、同じ凹凸が続く区間の中でしか使えない点に注意してください。たとえば $\sin x$ は $\pi<x<2\pi$ では下に凸です。そのため、$\pi$ をまたぐ値に上の向きの不等式をそのまま使うことはできません。また、$\ln x$ に0や負の数を代入することもできません。

等号成立条件

等号成立条件は「すべての $x_i$ が等しいとき」とよく言われます。しかし、これはどんな凸関数でも正しいわけではありません。

• $f$ が厳密に下に凸（または厳密に上に凸）で、重みがすべて正の場合、等号が成り立つのは $x_1=x_2=\cdots=x_n$ のときだけです。
• 重みが0の項は、左辺にも右辺にも影響しません。そのため、等号条件を考えるときはこれらの項を除外します。正の重みをもつ $x_i$ がすべて等しければ、等号が成り立ちます。
• 一次関数 $f(x)=ax+b$ は、下に凸でも上に凸でもあります。この場合、$x_i$ の値に関係なく常に等号が成り立ちます。

答案で等号条件を書くときは、使う関数が厳密に凸（凹）であること、重みが正であることを確かめておくと安心です。

証明（f が微分可能な場合）

ここでは、開区間 $I$ で微分可能かつ下に凸な $f$ について証明します。これは微分可能な場合に限った証明です。微分できない凸関数も含めて示すには、定義から帰納法で示すなどの別の方法が必要です。

ステップ1：接線不等式

下に凸で微分可能な関数のグラフは、どの点で引いた接線よりも上（または接線上）にあります。式で書くと、$I$ 内の点 $m$ に対して次が成り立ちます。

微分可能な凸関数では、導関数 $f'$ は単調非減少です（二階微分可能な場合は $f'' \ge 0$ からも確認できます）。この性質から接線不等式を導きます。平均値の定理により、$x$ と $m$ の間の $c$ を用いて $f(x)-f(m)=f'(c)(x-m)$ と書けます。$x>m$ でも $x<m$ でも $f'(c)(x-m) \ge f'(m)(x-m)$ となるので、接線不等式が得られます。

ステップ2：重みを付けて足し合わせる

$m=\sum w_i x_i$ とおきます。前に確認したとおり、$m$ は $I$ に含まれます。接線不等式に $x=x_i$ を代入し、両辺に $w_i \ge 0$ を掛けてから、$i$ について足し合わせます。

$\sum w_i=1$ と $\sum w_i x_i=m$ より、括弧の中は $m-m=0$ となり、一次の項が消えます。したがって、次の不等式が得られます。

これで証明は完了です。さらに、$f$ が厳密に下に凸なら、$x \ne m$ のとき接線不等式は等号なしの不等式になります。そのため、正の重みをもつ $x_i$ の中に $m$ と異なるものが1つでもあれば、全体も等号なしの不等式になります。これが、先に述べた等号条件の理由です。

解説PDFの案内

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イェンゼンの不等式の利用例

例1：相加平均と相乗平均の大小関係

正の数 $x_1, \ldots, x_n$ を考えます。$\ln x$ は厳密に上に凸なので、重み $\frac{1}{n}$ でイェンゼンの不等式を使うと、次が成り立ちます。

左辺は $\ln \sqrt[n]{x_1 x_2\cdots x_n}$ と等しくなります。$e^x$ は増加関数なので、両辺の指数をとっても大小関係は変わりません。

等号が成り立つのは、すべての $x_i$ が等しいときに限ります。0を含む非負の数の場合も、左辺が0になることを別に扱えば成り立ちます。ただし、$\ln$ に0は代入できないので、上の議論は正の数に限ったものです。

例2：ヤングの不等式

$a, b>0$、$p, q>1$、$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ とします。重み $\frac{1}{p}, \frac{1}{q}$ はどちらも正で、和は1です。正の数 $a^p, b^q$ に対して $\ln$ の凹性を使うと、次が成り立ちます。

左辺は $\ln a+\ln b=\ln(ab)$ です。両辺の指数をとると、次の不等式が得られます。

これがヤングの不等式で、等号は $a^p=b^q$ のときに成り立ちます。$p=q=2$ とすると $ab \le \frac{a^2+b^2}{2}$ となり、通常の2変数の相加相乗平均に戻ります。指数の条件は $p, q>1$ であることに注意してください。

掲載元：ヤングの不等式に関する過去の投稿（図の指数等は本記事で訂正）

例3：円に内接する三角形の面積の最大値

半径 $R$ の円に内接する三角形の内角を $A, B, C$ とします。このとき $A, B, C>0$、$A+B+C=\pi$ です。正弦定理より、辺の長さは $2R\sin A$ などと表せます。したがって、面積 $S$ は次のようになります。

$\sin A, \sin B, \sin C$ はすべて正です。まず相加相乗平均を使います。

次に、$0<x<\pi$ で厳密に上に凸な $\sin x$ にイェンゼンの不等式を使います。

以上より $\sin A\sin B\sin C \le \frac{3\sqrt{3}}{8}$ となり、$S \le \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$ が得られます。2つの不等式はどちらも $A=B=C=\frac{\pi}{3}$ のときに等号が成り立ちます。したがって、面積が最大になるのは正三角形のときです。

例4：早稲田大学政治経済学部1995年として紹介した問題

既存の投稿で、早稲田大学政治経済学部1995年の問題として紹介した例です。なお、本記事では問題原本との照合は行っていません。$a, b>0,\ a+b=1$ のとき、次の不等式を示します。

$x^2$ が下に凸であることから、$X^2+Y^2 \ge \frac{(X+Y)^2}{2}$ が成り立ちます。ここで $X=a+\frac{1}{a},\ Y=b+\frac{1}{b}$ とおくと、$a+b=1$ より次のようになります。

さらに $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{ab}$ です。相加相乗平均より $ab \le \left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$ なので、$\frac{1}{ab} \ge 4$ がわかります。したがって、右辺は $\frac{1}{2}(1+4)^2=\frac{25}{2}$ 以上です。等号が成り立つのは $a=b=\frac{1}{2}$ のときです。

例5：京都大学1999年として紹介した問題

既存の図で扱っているのは、三角形の内角 $A, B, C$ について $\sin A\sin B\sin C$ の最大値を求める問題です。これは例3とまったく同じ計算で解けます。最大値は $\frac{3\sqrt{3}}{8}$ で、正三角形のときにとります。

例6：東京工業大学1999年の一部改題として紹介した問題

$a, b>0,\ p>0$ とします。$A=(a+b)^p$、$B=2^{p-1}(a^p+b^p)$ の大小を比べます。$f(x)=x^p\ (x>0)$ とおくと、$f''(x)=p(p-1)x^{p-2}$ です。

• $p>1$ のとき：$f''>0$ なので厳密に下に凸です。下の式の両辺に $2^p$ を掛けると、$A \le B$ が得られます。
• $0<p<1$ のとき：$f''<0$ なので厳密に上に凸です。不等号の向きが逆になり、$A \ge B$ となります。
• $p=1$ のとき：$A=a+b=B$ となり、常に等しくなります。

$p \ne 1$ のとき、等号が成り立つのは $a=b$ のときに限ります。

掲載元：べき関数の大小比較に関する過去の投稿（図の最終不等号は本記事で訂正）

例7：不等式の証明練習

図の問題の条件は、$s, t, \alpha, \beta>0$、$s+t=1$、$n$ は正の整数です。このもとで、次の不等式を示します。

$f(x)=x^n\ (x>0)$ とおくと、$f''(x)=n(n-1)x^{n-2} \ge 0$ なので下に凸です。重み $s, t$ でイェンゼンの不等式を使えば、ただちに示せます。

$n=1$ のときは、両辺がともに $s\alpha+t\beta$ となり、常に等号が成り立ちます。$n \ge 2$ のときは $f''>0$ で厳密に下に凸であり、重み $s, t$ も正です。したがって、等号が成り立つのは $\alpha=\beta$ のときに限ります。

入試の答案で使うときの注意

答案では「イェンゼンの不等式より」と定理名を書くだけで済ませず、次の点を明記しましょう。

• どの関数を、どの区間で、下に凸・上に凸のどちらとして使うか（二階微分の計算など）
• 重みが0以上で、和が1であること
• 代入する値がすべてその区間に含まれていること
• 等号条件を述べる場合は、厳密な凸性と正の重みを確認していること

イェンゼンの不等式を証明なしで使ってよいかどうかは、大学や問題によって扱いが異なる可能性があります。微分可能な関数なら、接線不等式からの導出も説明できるようにしておきましょう。

参考資料

• Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex Optimization, §3.1.1, §3.1.4, §3.1.8–3.1.9（pp.67, 71, 77–78）

※過去投稿の図版にあったヤングの指数と大小比較の誤記は、本記事では修正した式で解説しています。