図形と方程式の問題

$xy$ 平面内に原点を中心とする半径 $1$ の円 $C$ がある。$C$ 上の任意の点 $(x,y)$ に対して $t=x+y$ とおくとき，次の問いに答えよ。

（1）$xy$ を $t$ の式で表すと $xy=\frac{t^2-\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}$ であり，$t$ が取りうる値の範囲は $-\sqrt{\boxed{\text{ト}}}\leqq t\leqq \sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$ である。

（2）$z=x+xy+y$ は，$x=\boxed{\text{ニヌ}},y=\boxed{\text{ネ}}$ または $x=\boxed{\text{ノ}},y=\boxed{\text{ハヒ}}$ のとき最小値 $\boxed{\text{フヘ}}$ をとり，$x=y=\frac{\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}}{\boxed{\text{マ}}}$ のとき最大値 $\frac{\boxed{\text{ミ}}+\boxed{\text{ム}}\sqrt{\boxed{\text{メ}}}}{\boxed{\text{モ}}}$ をとる。

座標平面において直線 $y=\frac{1}{2}x$ 上の点 $\left(p,\frac{1}{2}p\right)$ から曲線 $y=x^2+1$ に引いた2本の接線を $\ell ,m$ とし，接点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha ,\beta$（ただし，$\alpha <\beta$）とする。次の問いに答えよ。

（1）$\alpha ,\beta$ の和と積を $p$ の式で表すと，

である。したがって，$\alpha ,\beta$ は $x$ の2次方程式 $\boxed{\text{そ}}{x}^2-\boxed{\text{た}}px+p-\boxed{\text{ち}}=0$ の解である。

（2）$\ell$ と $m$，および曲線で囲まれる部分の面積 $S$ は，

となる。この式から $S$ は $p=\frac{\boxed{\text{ね}}}{\boxed{\text{の}}}$ のとき最小値 $\frac{\boxed{\text{は}}\sqrt{\boxed{\text{ひふ}}}}{\boxed{\text{へほ}}}$ をとることがわかる。

$k>0$ とし，$xy$ 平面における $y=k{x}^2+2x-k+3$ のグラフを $C$ とする。

（1）$C$ は $k$ の値によらずつねに2つの定点 $\mathrm{A}\left(\boxed{\text{こさ}},\boxed{\text{し}}\right),\mathrm{B}\left(\boxed{\text{す}},\boxed{\text{せ}}\right)$ を通り，直線ABと $C$ の囲む図形の面積は $\frac{\boxed{\text{そ}}}{\boxed{\text{た}}}k$ である。

（2）（1）のA，Bにおける $C$ の接線をそれぞれ $l,m$ とおく。 $l,m$ の交点は $\left(\boxed{\text{ち}},\boxed{\text{つて}}k+\boxed{\text{と}}\right)$ であり，$l,m,C$ の囲む図形の面積は $\frac{\boxed{\text{な}}}{\boxed{\text{に}}}k$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$x,y>0$ とする。関数 $\left(x+\frac{3}{y}\right)\left(y+\frac{3}{x}\right)$ の最小値は $\boxed{\text{アイ}}$ である。

（2）$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$ である $\theta$ について $\sin \theta +\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{3}$ が成り立つとき，$\sin \theta -\cos \theta =\frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

（3）$k$ を定数とする。$x$ の整式 $x^2-2y^2+xy+kx+2y+4$ が，$x,y$ についての2つの1次式の積に因数分解されるとき，$k$ の値は $\boxed{\text{カキ}}$ または $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$\vec{a}=(-5,7),\vec{b}=(6,-4),\vec{c}=(21,19)$ とする。$\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$ を満たす実数 $m,n$ は $m=\boxed{\text{ケ}},n=\boxed{\text{コサ}}$ である。

（5）2直線

がある。直線 ${\ell }_1$ は定数 $k$ の値によらず，定点 $\left(\boxed{\text{シス}},\boxed{\text{セ}}\right)$ を通る。また，2直線 ${\ell }_1,{\ell }_2$ が平行になるときの $k$ の値は，$\boxed{\text{ソタ}}$ または $\frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}$ である。

（6）6冊の同じ種類のノートをA，B，Cの3人に配布する。1冊も配布されない人がいてよいとすると，配り方は全部で $\boxed{\text{テト}}$ 通りある。

$p$ を実数とする。2つの関数

について以下の問いに答えよ。

（1）$p=2$ のとき，曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ は点 $\left(\boxed{\text{か}},\boxed{\text{き}}\right)$ に関して点対称である。

（2）2つの曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が相異なる2点で交わるような $p$ の値の範囲は，$\boxed{\text{く}}-\sqrt{\boxed{\text{け}}}<p<\boxed{\text{こ}}+\sqrt{\boxed{\text{さ}}}$ である。

（3）2つの曲線が囲む部分の面積は，$p=\boxed{\text{し}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{す}}\sqrt{\boxed{\text{せ}}}$ をとる。

半径1の球に内接する直円柱がある。直円柱の高さを $h$，底面の円の半径を $r$ とする。

（1）直円柱の体積 $V$ は，$h$ を用いて

と表せる。$V$ は $h=\frac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}},r=\frac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}$ のとき最大値 $\frac{\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}\pi$ をとる。

（2）直円柱の側面積は，$h=\sqrt{\boxed{\text{ネ}}},r=\frac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{ヒ}}\pi$ をとる。

四面体 $\mathrm{OABC}$ において，三角形 $\mathrm{ABC}$ が1辺の長さ6の正三角形であり，$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=3\sqrt{3},\angle \mathrm{OBA}=30^{\circ }$ である。

（1）$\mathrm{OA}=\boxed{\text{ヌ}}$，三角形 $\mathrm{OBC}$ の面積は $\boxed{\text{ネ}}\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}$ であり，四面体 $\mathrm{OABC}$ の体積は $\boxed{\text{ハ}}\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}$ である。

（2）辺 $\mathrm{BC}$ 上に $\mathrm{BP}=x$ となるように点 $\mathrm{P}$ をとり，$\angle \mathrm{OPA}=\theta$ とおくと，

であり，$\tan \theta$ は $x=\boxed{\text{ミ}}$ のとき最大値 $\frac{\sqrt{\boxed{\text{ム}}}}{\boxed{\text{メ}}}$ をとる。

$△\mathrm{ABC}$ において辺 $\mathrm{BC}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{D}$ とし，辺 $\mathrm{AC}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{E}$ とする。

（1）$\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ を用いて表すと，

である。

（2）$△\mathrm{ADE}$ の面積は，$△\mathrm{ABC}$ の面積の $\frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}$ 倍である。

$x$ の4次方程式

の解がすべて実数となるような，定数 $a,b$ の範囲を知りたい。 以下の生徒と教師の会話文を読み，適切な数値を解答欄にマークせよ。 $\boxed{\text{タ}}$，$\boxed{\text{ト}}$ については，適切な選択肢を各々の解答群から1つずつ選択せよ。

生徒：2次方程式であれば実数解をもつ条件が判別式から求められましたが，4次方程式の場合は習っていません。

教師：まず，$x=0$ は解ではないから①の両辺を $x^2$ で割ってみよう。すると①は

$$4x^2+2ax+b+\frac{a}{2x}+\frac{1}{4x^2}=0$$

となるね。このとき $y=2x+\frac{1}{2x}$ とおくと①は，

$$\boxed{\text{タ}}=0\text{\hspace{1em}(2◯)}$$

と変形できるよ。

生徒：$y$ に関する2次方程式になりました。あとはこの2次方程式が実数解を持つ条件を求めて解決ですね。

教師：話はそう単純じゃないんだ。例えば，$y=0$ のときを考えるとわかるように，$y$ が実数であっても $x$ が実数にならない場合があるよ。だから $x$ が実数となるための $y$ の条件を考える必要があるんだ。

生徒：そのような $y$ の条件は，$y\le \boxed{\text{チツ}}$ または $y\ge \boxed{\text{テ}}$ です。

教師：そうだね。つまり，①の解が実数となるための $a$ の条件は，②がその範囲で解を持つことなんだ。

生徒：わかりました，これで $a,b$ の存在範囲が求められますね。

教師：では，それを $ab$-平面に図示すると，どのような図が描けるかな。

生徒：$(a,b)$ の存在範囲の概略は，境界を含む斜線部分 $\boxed{\text{ト}}$ になります。

タの解答群

トの解答群