場合の数・確率の問題

1から10までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ合計10枚ある。1枚のコインを投げ，コインの表が出た場合はカードを2枚，裏が出た場合は3枚引くとする。次の問いに答えよ。

（1）引いたカードに書かれている数字がすべて偶数である確率は，$\dfrac{\boxed{\text{ワン}}}{\boxed{\text{あい}}}$ である。

（2）引いたカードに書かれている数字が連続している確率は，$\dfrac{\boxed{\text{う}}}{\boxed{\text{えお}}}$ である。

（3）引いたカードに書かれている数字の合計が11となる確率は，$\dfrac{\boxed{\text{かき}}}{\boxed{\text{くけこ}}}$ である。

（1）$x=\dfrac{8-3\sqrt6}{4+\sqrt6}$ とする。分母を有理化して表すと $x=\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$ であり，$x^2+\dfrac1{x^2}=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$f(x)=x^2-7x+18$ の最小値は $\dfrac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ である。 また，$f(x)>36$ を満たす $x$ の範囲は $x<\boxed{\text{ケコ}},\ \boxed{\text{サ}}<x$ である。

（3）$x$ の2次方程式

$$x^2-2ax+2a^2-6a=0\tag{1}$$ $$x^2-6x-a^2+3a+13=0\tag{2}$$

について，①，②がともに実数解をもつような $a$ の値の範囲は $\boxed{\text{シ}}\leqq a\leqq\boxed{\text{ス}}$ であり，①，②の少なくとも一方が実数解をもつような $a$ の値の範囲は $a\leqq\boxed{\text{セソ}},\ \boxed{\text{タ}}\leqq a$ である。

（4）さいころ1個を3回投げる。出た目の積が3の倍数となる確率は $\dfrac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}$ である。 また，出た目の積が4で割り切れない確率は $\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）（i）$2^{-\frac57}\times6^{\frac{13}{7}}\times14^{\frac67}\times21^{\frac17}=\boxed{\text{アイウ}}$。

（ii）対数方程式 $\log_4(x-2)+\log_4(x-17)=2$ の解は，$x=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$k$ を定数とする。$x$ の方程式 $x(1-x)^2=k$ が相異なる3つの実数解をもつような $k$ の値の範囲は，$\boxed{\text{カ}}<k<\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}$ である。

（3）当たりくじが何本か入った20本のくじがある。この中からくじを2本引くとき，少なくとも1本が当たりくじである確率は $\dfrac7{19}$ であった。この20本のくじの中に当たりくじは $\boxed{\text{コ}}$ 本ある。

（4）初項が $a$，公差が $d$ の等差数列がある。この数列の初項から第9項までの和が0で，初項から第15項までの和が90であるとき $a=\boxed{\text{サシ}},\ d=\boxed{\text{ス}}$ である。

7個の文字 $a,\ a,\ a,\ b,\ b,\ c,\ d$ について考える。

（1）7文字をすべて並べるとき，並べ方は全部で $\boxed{\text{モヤユ}}$ 通りある。 このうち $b$ が隣り合わない並べ方は $\boxed{\text{ヨラリ}}$ 通りあり，同じ文字どうしが隣り合わない並べ方は $\boxed{\text{ルレ}}$ 通りある。

（2）7個の文字の中から4個の文字を取り出して並べる。このとき，1列に並べる方法は $\boxed{\text{ロワン}}$ 通りあり，円形に並べる方法は $\boxed{\text{あい}}$ 通りある。

ある調査会社が，大学受験を終えた高校3年生にむけて受験校の調査を行い5050人から回答を得た。その結果，A大学を受験した生徒は2680人，B大学を受験した生徒は1725人，C大学を受験した生徒は820人いることがわかった。また，A，B，Cすべての大学を受験した生徒は120人，いずれも受験しなかった生徒は305人であった。

この結果から上記の3大学のうち2つ以上の大学を受験した生徒は $\boxed{\text{ヤユヨ}}$ 人であり，いずれか1大学のみを受験した生徒は $\boxed{\text{ラリルレ}}$ 人であることがわかる。