麻布大学の数学過去問

以下の問いに答えよ。

（1）$xy\ne 0$ かつ $4^x=5^y=20^{26}$ を満たす実数 $x,y$ について $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}$ である。

（2）$a=\sin \frac{\pi }{18}$ のとき，$3a-4a^3=\frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

（3）座標空間の2点 $\mathrm{A}(2,1,-2),\mathrm{B}(-1,-5,1)$ を通る直線を $\ell$ とする。 原点 $\mathrm{O}$ を通る直線が $\ell$ と垂直に交わるとき，その交点の座標は $\left(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キク}},\boxed{\text{ケコ}}\right)$ である。

（4）$(x^2+2x-1{)}^9$ の展開式における $x^4$ の項の係数は，$\boxed{\text{サシスセソ}}$ である。

$x$ の4次方程式

の解がすべて実数となるような，定数 $a,b$ の範囲を知りたい。 以下の生徒と教師の会話文を読み，適切な数値を解答欄にマークせよ。 $\boxed{\text{タ}}$，$\boxed{\text{ト}}$ については，適切な選択肢を各々の解答群から1つずつ選択せよ。

生徒：2次方程式であれば実数解をもつ条件が判別式から求められましたが，4次方程式の場合は習っていません。

教師：まず，$x=0$ は解ではないから①の両辺を $x^2$ で割ってみよう。すると①は

$$4x^2+2ax+b+\frac{a}{2x}+\frac{1}{4x^2}=0$$

となるね。このとき $y=2x+\frac{1}{2x}$ とおくと①は，

$$\boxed{\text{タ}}=0\text{\hspace{1em}(2◯)}$$

と変形できるよ。

生徒：$y$ に関する2次方程式になりました。あとはこの2次方程式が実数解を持つ条件を求めて解決ですね。

教師：話はそう単純じゃないんだ。例えば，$y=0$ のときを考えるとわかるように，$y$ が実数であっても $x$ が実数にならない場合があるよ。だから $x$ が実数となるための $y$ の条件を考える必要があるんだ。

生徒：そのような $y$ の条件は，$y\le \boxed{\text{チツ}}$ または $y\ge \boxed{\text{テ}}$ です。

教師：そうだね。つまり，①の解が実数となるための $a$ の条件は，②がその範囲で解を持つことなんだ。

生徒：わかりました，これで $a,b$ の存在範囲が求められますね。

教師：では，それを $ab$-平面に図示すると，どのような図が描けるかな。

生徒：$(a,b)$ の存在範囲の概略は，境界を含む斜線部分 $\boxed{\text{ト}}$ になります。

タの解答群

トの解答群

有理数からなる数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ を

によって定める。次の問いに答えよ。

（1）$a_{n+1},b_{n+1}$ を $a_n,b_n$ を用いて表すと，

である。また，$a_n^2-5b_n^2={\left(\boxed{\text{ヘホ}}\right)}^n$ である。

（2）$c_n=a_n-b_n\sqrt{5}$ とするとき，数列 $\{c_n\}$ の一般項は

である。

（3）数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ の一般項は

である。

1から10までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ合計10枚ある。1枚のコインを投げ，コインの表が出た場合はカードを2枚，裏が出た場合は3枚引くとする。次の問いに答えよ。

（1）引いたカードに書かれている数字がすべて偶数である確率は，$\frac{\boxed{\text{ワン}}}{\boxed{\text{あい}}}$ である。

（2）引いたカードに書かれている数字が連続している確率は，$\frac{\boxed{\text{う}}}{\boxed{\text{えお}}}$ である。

（3）引いたカードに書かれている数字の合計が11となる確率は，$\frac{\boxed{\text{かき}}}{\boxed{\text{くけこ}}}$ である。

（1）$x=\frac{8-3\sqrt{6}}{4+\sqrt{6}}$ とする。分母を有理化して表すと $x=\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$ であり，$x^2+\frac{1}{x^2}=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$f(x)=x^2-7x+18$ の最小値は $\frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ である。 また，$f(x)>36$ を満たす $x$ の範囲は $x<\boxed{\text{ケコ}},\boxed{\text{サ}}<x$ である。

（3）$x$ の2次方程式

について，①，②がともに実数解をもつような $a$ の値の範囲は $\boxed{\text{シ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{ス}}$ であり，①，②の少なくとも一方が実数解をもつような $a$ の値の範囲は $a\leqq \boxed{\text{セソ}},\boxed{\text{タ}}\leqq a$ である。

（4）さいころ1個を3回投げる。出た目の積が3の倍数となる確率は $\frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}$ である。 また，出た目の積が4で割り切れない確率は $\frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ である。

四面体 $\mathrm{OABC}$ において，三角形 $\mathrm{ABC}$ が1辺の長さ6の正三角形であり，$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=3\sqrt{3},\angle \mathrm{OBA}=30^{\circ }$ である。

（1）$\mathrm{OA}=\boxed{\text{ヌ}}$，三角形 $\mathrm{OBC}$ の面積は $\boxed{\text{ネ}}\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}$ であり，四面体 $\mathrm{OABC}$ の体積は $\boxed{\text{ハ}}\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}$ である。

（2）辺 $\mathrm{BC}$ 上に $\mathrm{BP}=x$ となるように点 $\mathrm{P}$ をとり，$\angle \mathrm{OPA}=\theta$ とおくと，

であり，$\tan \theta$ は $x=\boxed{\text{ミ}}$ のとき最大値 $\frac{\sqrt{\boxed{\text{ム}}}}{\boxed{\text{メ}}}$ をとる。

7個の文字 $a,a,a,b,b,c,d$ について考える。

（1）7文字をすべて並べるとき，並べ方は全部で $\boxed{\text{モヤユ}}$ 通りある。 このうち $b$ が隣り合わない並べ方は $\boxed{\text{ヨラリ}}$ 通りあり，同じ文字どうしが隣り合わない並べ方は $\boxed{\text{ルレ}}$ 通りある。

（2）7個の文字の中から4個の文字を取り出して並べる。このとき，1列に並べる方法は $\boxed{\text{ロワン}}$ 通りあり，円形に並べる方法は $\boxed{\text{あい}}$ 通りある。

$a,b$ を実数の定数とし，$x$ の関数 $f(x)=x^3-3x^2-9x-3,g(x)=a{x}^2+bx$ を考える。 座標平面において $y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフは $x$ 座標が1である点を共有し，この点で共通の接線をもつ。

（1）$f(x)$ は $x=\boxed{\text{うえ}}$ で極大値 $\boxed{\text{お}}$，$x=\boxed{\text{か}}$ で極小値 $\boxed{\text{きくけ}}$ をとる。 また，$a=\boxed{\text{こ}},b=\boxed{\text{さしす}}$ であり，不等式 $f(x)\leqq g(x)$ を満たす $x$ の範囲は $x\leqq \boxed{\text{せ}}$ である。 また，$y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフによって囲まれる図形の面積は $\frac{\boxed{\text{そ}}}{\boxed{\text{た}}}$ である。

（2）$h(x)={\int }_0^x\{f(t)-g(t)\}dt$ とおくと，$h(x)$ は $x=\boxed{\text{ち}}$ のとき最小値 $\frac{\boxed{\text{つて}}}{\boxed{\text{と}}}$ をとる。

以下の問いに答えよ。

（1）（i）$2^{-\frac{5}{7}}\times 6^{\frac{13}{7}}\times 14^{\frac{6}{7}}\times 21^{\frac{1}{7}}=\boxed{\text{アイウ}}$。

（ii）対数方程式 ${\log }_4(x-2)+{\log }_4(x-17)=2$ の解は，$x=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$k$ を定数とする。$x$ の方程式 $x(1-x{)}^2=k$ が相異なる3つの実数解をもつような $k$ の値の範囲は，$\boxed{\text{カ}}<k<\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}$ である。

（3）当たりくじが何本か入った20本のくじがある。この中からくじを2本引くとき，少なくとも1本が当たりくじである確率は $\frac{7}{19}$ であった。この20本のくじの中に当たりくじは $\boxed{\text{コ}}$ 本ある。

（4）初項が $a$，公差が $d$ の等差数列がある。この数列の初項から第9項までの和が0で，初項から第15項までの和が90であるとき $a=\boxed{\text{サシ}},d=\boxed{\text{ス}}$ である。

半径1の球に内接する直円柱がある。直円柱の高さを $h$，底面の円の半径を $r$ とする。

（1）直円柱の体積 $V$ は，$h$ を用いて

と表せる。$V$ は $h=\frac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}},r=\frac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}$ のとき最大値 $\frac{\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}\pi$ をとる。

（2）直円柱の側面積は，$h=\sqrt{\boxed{\text{ネ}}},r=\frac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{ヒ}}\pi$ をとる。

$△\mathrm{ABC}$ において辺 $\mathrm{BC}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{D}$ とし，辺 $\mathrm{AC}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{E}$ とする。

（1）$\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ を用いて表すと，

である。

（2）$△\mathrm{ADE}$ の面積は，$△\mathrm{ABC}$ の面積の $\frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}$ 倍である。

ある調査会社が，大学受験を終えた高校3年生にむけて受験校の調査を行い5050人から回答を得た。その結果，A大学を受験した生徒は2680人，B大学を受験した生徒は1725人，C大学を受験した生徒は820人いることがわかった。また，A，B，Cすべての大学を受験した生徒は120人，いずれも受験しなかった生徒は305人であった。

この結果から上記の3大学のうち2つ以上の大学を受験した生徒は $\boxed{\text{ヤユヨ}}$ 人であり，いずれか1大学のみを受験した生徒は $\boxed{\text{ラリルレ}}$ 人であることがわかる。