整数の問題

以下の問いに答えよ。

（1）$\,{}_{2025}C_1+{}_{2025}C_2+\cdots+{}_{2025}C_{2025}$ を $8$ で割った余りは $\boxed{\text{ア}}$ である。

（2）$0\leqq\theta\leqq\pi$ とする。$\tan\theta=-3$ のとき $2\cos\theta+\sin\theta=\dfrac{\boxed{\text{イ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}}$ である。

（3）$i$ を虚数単位とする。$x$ の2次方程式 $x^2+(i-a)x-5+(a-3)i=0$ が実数解をもつような実数 $a$ の値は，$a=\dfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}},\ \boxed{\text{キ}}$ であり，実数解はそれぞれ $x=\dfrac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}},\ \boxed{\text{コサ}}$ である。

（4）$\vec a=(3,\ 7),\ \vec b=(1,\ -3)$ のとき $|\vec a+t\vec b|$ を最小にする $t$ の値は $\dfrac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}$ であり，最小値は $\dfrac{\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソタ}}}}{\boxed{\text{チ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$\dfrac{3127}{5251}$ を約分したとき，その既約分数は $\dfrac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}$ である。

（2）実数 $x,y,z$ について $\dfrac{x+y}{5}=\dfrac{y+z}{2}=\dfrac{z+x}{3}\ (\ne0)$ が成り立つとき，

$$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}=\frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}$$

である。

（3）$x$ の整式 $f(x)$ を $7x-4$ で割った余りが $14$ であるとき，$(6x-3)f(x)$ を $7x-4$ で割ったときの余りは $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$x,y$ に関する連立方程式

$$\begin{cases} \cos x-\sin y=-\sqrt3,\\ \sin x+\cos y=-1 \end{cases}$$

$(0\leqq x<2\pi,\ 0\leqq y<2\pi)$ の解は，$x=\dfrac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\pi,\ y=\dfrac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\pi$ である。

（5）$x$ の方程式 $(\log_2x)^{\log_2x}=x^3\ (x\ne1)$ の解は，$x=\boxed{\text{スセソ}}$ である。

（6）4個のサイコロを同時に投げたとき，出た目が1と6の2種類のみになる確率は $\dfrac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツテ}}}$ である。

（7）$x,y$ は実数とする。$x+y>1$ かつ $x^2+y^2\leqq1$ は $x>0$ かつ $y>0$ であるための $\boxed{\text{ト}}$。

• ⓪ 必要条件であるが十分条件ではない
• ① 十分条件であるが必要条件ではない
• ② 必要十分条件である
• ③ 必要条件でも十分条件でもない

（1）$x,\ y$ が $x+y=5,\ x^2+y^2=7$ をみたすとき，$xy=\boxed{\text{ア}},\ x^5+y^5=\boxed{\text{イウエオ}}$ である。

（2）2次方程式 $x^2-kx+6-k=0$ が実数解をもつとき，$k$ のとり得る範囲は

$$\begin{gathered} k\leqq\boxed{\text{カキ}}-\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}},\\ \boxed{\text{カキ}}+\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}\leqq k \end{gathered}$$

である。 また，2解がともに正の実数となるとき，$k$ の値で整数となるものは $\boxed{\text{コ}}$ 個ある。

（3）$y=-\cos2\theta-3\sin\theta-1\ \left(-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}\right)$ について，$y=0$ のとき $\theta=\dfrac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}\pi$ である。 また，$y$ の最大値は $\boxed{\text{セ}}$ である。

（4）方程式 $xy-2x-4y+2=0$ をみたす整数 $x,\ y$ の組は $\boxed{\text{ソ}}$ 個ある。 また，方程式 $xy-2x-4y=n-8$ をみたす整数 $x,\ y$ の組が16個となる正の整数 $n$ で最も小さいものは $n=\boxed{\text{タチ}}$ である。

1から9までの相異なる整数 $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ を下図のように配置した。横に並ぶ3つの数の和 $a+b+c,\ d+e+f,\ g+h+i$ がすべて一定値 $A$ であり，縦に並ぶ3つの数の和 $a+d+g,\ b+e+h,\ c+f+i$ および対角線上にある数の和 $a+e+i,\ c+e+g$ もすべて $A$ であるとき，次の問いに答えよ。

（1）$A=\boxed{\text{ムメ}},\ e=\boxed{\text{モ}}$ である。

（2）$a>c,\ b=1$ のとき，

$$\begin{aligned} a&=\boxed{\text{ヤ}},\quad c=\boxed{\text{ユ}},\quad d=\boxed{\text{ヨ}},\\ f&=\boxed{\text{ラ}},\quad g=\boxed{\text{リ}},\quad h=\boxed{\text{ル}},\quad i=\boxed{\text{レ}} \end{aligned}$$

である。

（3）$c<g,\ f+h=4$ のとき，

$$\begin{aligned} a&=\boxed{\text{ロ}},\quad b=\boxed{\text{ワ}},\quad c=\boxed{\text{ン}},\quad d=\boxed{\text{あ}},\\ f&=\boxed{\text{い}},\quad g=\boxed{\text{う}},\quad h=\boxed{\text{え}},\quad i=\boxed{\text{お}} \end{aligned}$$

である。

以下の問いに答えよ。

（1）A，Z，A，B，Uの5文字を1列に並べる並べ方の総数を $X$ とし，D，A，I，G，A，K，Uの7文字を1列に並べる並べ方の総数を $Y$ とすると $\dfrac YX=\boxed{\text{アイ}}$ である。

（2）すべての実数 $x$ に対して $f(\sin x)=\cos4x$ を満たす関数 $f(x)$ は，$f(x)=\boxed{\text{ウ}}x^4-\boxed{\text{エ}}x^2+\boxed{\text{オ}}$ である。

（3）ある一定の規則で並べられた数列

$$\begin{aligned} &\frac11,\ \frac13,\ \frac23,\ \frac33,\ \frac15,\ \ldots,\\ &\frac1{2n-1},\ \frac2{2n-1},\ \ldots,\ \frac{2n-1}{2n-1},\\ &\frac1{2n+1},\ \ldots \end{aligned}$$

において $\dfrac8{29}$ は第 $\boxed{\text{カキク}}$ 項の数である。

（4）$A$ を9で割ると8余る整数とするとき，$A^4$ を9で割った余りは $\boxed{\text{ケ}}$ であり，$A^{2025}$ を9で割った余りは $\boxed{\text{コ}}$ である。