【解答・解説】2024年 麻布大学 獣医学科 第Ⅱ期 数学 第3問

以下の問いに答えよ。

（1）$x,y>0$ とする。関数 $\left(x+\dfrac3y\right)\left(y+\dfrac3x\right)$ の最小値は $\boxed{\text{アイ}}$ である。

（2）$-\dfrac\pi2<\theta<\dfrac\pi2$ である $\theta$ について $\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{\sqrt2}{3}$ が成り立つとき，$\sin\theta-\cos\theta=\dfrac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

（3）$k$ を定数とする。$x$ の整式 $x^2-2y^2+xy+kx+2y+4$ が，$x,y$ についての2つの1次式の積に因数分解されるとき，$k$ の値は $\boxed{\text{カキ}}$ または $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$\vec a=(-5,7),\ \vec b=(6,-4),\ \vec c=(21,19)$ とする。$\vec c=m\vec a+n\vec b$ を満たす実数 $m,n$ は $m=\boxed{\text{ケ}},\ n=\boxed{\text{コサ}}$ である。

（5）2直線

がある。直線 $\ell_1$ は定数 $k$ の値によらず，定点 $\left(\boxed{\text{シス}},\boxed{\text{セ}}\right)$ を通る。また，2直線 $\ell_1,\ell_2$ が平行になるときの $k$ の値は，$\boxed{\text{ソタ}}$ または $\dfrac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}$ である。

（6）6冊の同じ種類のノートをA，B，Cの3人に配布する。1冊も配布されない人がいてよいとすると，配り方は全部で $\boxed{\text{テト}}$ 通りある。

半径 $\sqrt{14}$ の円 $C$ において，長さ $\sqrt{42}$ の弦ABをとる。さらに，ABを底辺の一つとする，$\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ の台形ABCDを考える。ただし，台形ABCDは円 $C$ に内接し，$C$ の中心Oをその内部に含むとする。もう一つの底辺DCの長さが $\sqrt{14}$ であるとき，次の問いに答えよ。

（1）$\angle\mathrm{ADB}=\boxed{\text{ナニ}}{}^\circ,\ \angle\mathrm{CAB}=\boxed{\text{ヌネ}}{}^\circ$ である。

（2）$\mathrm{DA}=\boxed{\text{ノ}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}},\ \mathrm{BD}=\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}+\sqrt{\boxed{\text{フヘ}}}$ である。

（3）等脚台形ABCDの面積は，$\boxed{\text{ホ}}\left(\boxed{\text{マ}}+\sqrt{\boxed{\text{ミ}}}\right)$ である。

$p$ を実数とする。2つの関数

について以下の問いに答えよ。

（1）$p=2$ のとき，曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ は点 $\left(\boxed{\text{か}},\boxed{\text{き}}\right)$ に関して点対称である。

（2）2つの曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が相異なる2点で交わるような $p$ の値の範囲は，$\boxed{\text{く}}-\sqrt{\boxed{\text{け}}}<p<\boxed{\text{こ}}+\sqrt{\boxed{\text{さ}}}$ である。

（3）2つの曲線が囲む部分の面積は，$p=\boxed{\text{し}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{す}}\sqrt{\boxed{\text{せ}}}$ をとる。

1から10までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ合計10枚ある。1枚のコインを投げ，コインの表が出た場合はカードを2枚，裏が出た場合は3枚引くとする。次の問いに答えよ。

（1）引いたカードに書かれている数字がすべて偶数である確率は，$\dfrac{\boxed{\text{ワン}}}{\boxed{\text{あい}}}$ である。

（2）引いたカードに書かれている数字が連続している確率は，$\dfrac{\boxed{\text{う}}}{\boxed{\text{えお}}}$ である。

（3）引いたカードに書かれている数字の合計が11となる確率は，$\dfrac{\boxed{\text{かき}}}{\boxed{\text{くけこ}}}$ である。

有理数からなる数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$ を

によって定める。次の問いに答えよ。

（1）$a_{n+1},\ b_{n+1}$ を $a_n,\ b_n$ を用いて表すと，

である。また，$a_n^2-5b_n^2=\left(\boxed{\text{ヘホ}}\right)^n$ である。

（2）$c_n=a_n-b_n\sqrt5$ とするとき，数列 $\{c_n\}$ の一般項は

である。

（3）数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$ の一般項は

である。

（1）$x=\dfrac{8-3\sqrt6}{4+\sqrt6}$ とする。分母を有理化して表すと $x=\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$ であり，$x^2+\dfrac1{x^2}=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$f(x)=x^2-7x+18$ の最小値は $\dfrac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ である。 また，$f(x)>36$ を満たす $x$ の範囲は $x<\boxed{\text{ケコ}},\ \boxed{\text{サ}}<x$ である。

（3）$x$ の2次方程式

について，①，②がともに実数解をもつような $a$ の値の範囲は $\boxed{\text{シ}}\leqq a\leqq\boxed{\text{ス}}$ であり，①，②の少なくとも一方が実数解をもつような $a$ の値の範囲は $a\leqq\boxed{\text{セソ}},\ \boxed{\text{タ}}\leqq a$ である。

（4）さいころ1個を3回投げる。出た目の積が3の倍数となる確率は $\dfrac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}$ である。 また，出た目の積が4で割り切れない確率は $\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）（i）$2^{-\frac57}\times6^{\frac{13}{7}}\times14^{\frac67}\times21^{\frac17}=\boxed{\text{アイウ}}$。

（ii）対数方程式 $\log_4(x-2)+\log_4(x-17)=2$ の解は，$x=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$k$ を定数とする。$x$ の方程式 $x(1-x)^2=k$ が相異なる3つの実数解をもつような $k$ の値の範囲は，$\boxed{\text{カ}}<k<\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}$ である。

（3）当たりくじが何本か入った20本のくじがある。この中からくじを2本引くとき，少なくとも1本が当たりくじである確率は $\dfrac7{19}$ であった。この20本のくじの中に当たりくじは $\boxed{\text{コ}}$ 本ある。

（4）初項が $a$，公差が $d$ の等差数列がある。この数列の初項から第9項までの和が0で，初項から第15項までの和が90であるとき $a=\boxed{\text{サシ}},\ d=\boxed{\text{ス}}$ である。

半径1の球に内接する直円柱がある。直円柱の高さを $h$，底面の円の半径を $r$ とする。

（1）直円柱の体積 $V$ は，$h$ を用いて

と表せる。$V$ は $h=\dfrac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}},\ r=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}$ のとき最大値 $\dfrac{\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}\pi$ をとる。

（2）直円柱の側面積は，$h=\sqrt{\boxed{\text{ネ}}},\ r=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{ヒ}}\pi$ をとる。

$a,\ b$ を実数の定数とし，$x$ の関数 $f(x)=x^3-3x^2-9x-3,\ g(x)=ax^2+bx$ を考える。 座標平面において $y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフは $x$ 座標が1である点を共有し，この点で共通の接線をもつ。

（1）$f(x)$ は $x=\boxed{\text{うえ}}$ で極大値 $\boxed{\text{お}}$，$x=\boxed{\text{か}}$ で極小値 $\boxed{\text{きくけ}}$ をとる。 また，$a=\boxed{\text{こ}},\ b=\boxed{\text{さしす}}$ であり，不等式 $f(x)\leqq g(x)$ を満たす $x$ の範囲は $x\leqq\boxed{\text{せ}}$ である。 また，$y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフによって囲まれる図形の面積は $\dfrac{\boxed{\text{そ}}}{\boxed{\text{た}}}$ である。

（2）$h(x)=\displaystyle\int_0^x\{f(t)-g(t)\}\,dt$ とおくと，$h(x)$ は $x=\boxed{\text{ち}}$ のとき最小値 $\dfrac{\boxed{\text{つて}}}{\boxed{\text{と}}}$ をとる。

以下の問いに答えよ。

（1）$\,{}_{2025}C_1+{}_{2025}C_2+\cdots+{}_{2025}C_{2025}$ を $8$ で割った余りは $\boxed{\text{ア}}$ である。

（2）$0\leqq\theta\leqq\pi$ とする。$\tan\theta=-3$ のとき $2\cos\theta+\sin\theta=\dfrac{\boxed{\text{イ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}}$ である。

（3）$i$ を虚数単位とする。$x$ の2次方程式 $x^2+(i-a)x-5+(a-3)i=0$ が実数解をもつような実数 $a$ の値は，$a=\dfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}},\ \boxed{\text{キ}}$ であり，実数解はそれぞれ $x=\dfrac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}},\ \boxed{\text{コサ}}$ である。

（4）$\vec a=(3,\ 7),\ \vec b=(1,\ -3)$ のとき $|\vec a+t\vec b|$ を最小にする $t$ の値は $\dfrac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}$ であり，最小値は $\dfrac{\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソタ}}}}{\boxed{\text{チ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$\dfrac{3127}{5251}$ を約分したとき，その既約分数は $\dfrac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}$ である。

（2）実数 $x,y,z$ について $\dfrac{x+y}{5}=\dfrac{y+z}{2}=\dfrac{z+x}{3}\ (\ne0)$ が成り立つとき，

である。

（3）$x$ の整式 $f(x)$ を $7x-4$ で割った余りが $14$ であるとき，$(6x-3)f(x)$ を $7x-4$ で割ったときの余りは $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$x,y$ に関する連立方程式

$(0\leqq x<2\pi,\ 0\leqq y<2\pi)$ の解は，$x=\dfrac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\pi,\ y=\dfrac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\pi$ である。

（5）$x$ の方程式 $(\log_2x)^{\log_2x}=x^3\ (x\ne1)$ の解は，$x=\boxed{\text{スセソ}}$ である。

（6）4個のサイコロを同時に投げたとき，出た目が1と6の2種類のみになる確率は $\dfrac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツテ}}}$ である。

（7）$x,y$ は実数とする。$x+y>1$ かつ $x^2+y^2\leqq1$ は $x>0$ かつ $y>0$ であるための $\boxed{\text{ト}}$。

• ⓪ 必要条件であるが十分条件ではない
• ① 十分条件であるが必要条件ではない
• ② 必要十分条件である
• ③ 必要条件でも十分条件でもない

（1）$x,\ y$ が $x+y=5,\ x^2+y^2=7$ をみたすとき，$xy=\boxed{\text{ア}},\ x^5+y^5=\boxed{\text{イウエオ}}$ である。

（2）2次方程式 $x^2-kx+6-k=0$ が実数解をもつとき，$k$ のとり得る範囲は

である。 また，2解がともに正の実数となるとき，$k$ の値で整数となるものは $\boxed{\text{コ}}$ 個ある。

（3）$y=-\cos2\theta-3\sin\theta-1\ \left(-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}\right)$ について，$y=0$ のとき $\theta=\dfrac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}\pi$ である。 また，$y$ の最大値は $\boxed{\text{セ}}$ である。

（4）方程式 $xy-2x-4y+2=0$ をみたす整数 $x,\ y$ の組は $\boxed{\text{ソ}}$ 個ある。 また，方程式 $xy-2x-4y=n-8$ をみたす整数 $x,\ y$ の組が16個となる正の整数 $n$ で最も小さいものは $n=\boxed{\text{タチ}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）A，Z，A，B，Uの5文字を1列に並べる並べ方の総数を $X$ とし，D，A，I，G，A，K，Uの7文字を1列に並べる並べ方の総数を $Y$ とすると $\dfrac YX=\boxed{\text{アイ}}$ である。

（2）すべての実数 $x$ に対して $f(\sin x)=\cos4x$ を満たす関数 $f(x)$ は，$f(x)=\boxed{\text{ウ}}x^4-\boxed{\text{エ}}x^2+\boxed{\text{オ}}$ である。

（3）ある一定の規則で並べられた数列

において $\dfrac8{29}$ は第 $\boxed{\text{カキク}}$ 項の数である。

（4）$A$ を9で割ると8余る整数とするとき，$A^4$ を9で割った余りは $\boxed{\text{ケ}}$ であり，$A^{2025}$ を9で割った余りは $\boxed{\text{コ}}$ である。