【解答・解説】2025年 麻布大学 獣医学科 第Ⅱ期 数学 第1問

$\log_{10}2=0.30103,\ \log_{10}3=0.47712$ とするとき，次の問いに答えよ。

（1）$\left(\dfrac1{15}\right)^{51}$ は，小数点以下第 $\boxed{\text{サシ}}$ 位に初めて0でない数字が現れる。

（2）$2025^{2025}$ は $\boxed{\text{スセソタ}}$ 桁の数で，最高位の桁の数字は $\boxed{\text{チ}}$ である。

$a$ を定数とする。直線 $\ell:y=-x+4$ と曲線 $m:y=x^4-2x^3+ax^2+11x+40$ が2点で接するとき，接点の $x$ 座標はそれぞれ $\boxed{\text{ツテ}},\ \boxed{\text{ト}}$ であり，定数 $a$ の値は $\boxed{\text{ナニヌ}}$ である。また，曲線 $m$ と直線 $\ell$ が囲む部分の面積は $\dfrac{\boxed{\text{ネノハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}$ である。

赤いサイコロ3個と青いサイコロ1個を同時に投げるときの出た目について以下の問いに答えよ。

（1）赤いサイコロの目の和から青いサイコロの目を引いた数が0以下となる確率は，$\dfrac{\boxed{\text{フヘ}}}{\boxed{\text{ホマミム}}}$ である。

（2）赤いサイコロの目の和から青いサイコロの目を引いた数が2になる確率は，$\dfrac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モヤユ}}}$ である。

1から10までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ合計10枚ある。1枚のコインを投げ，コインの表が出た場合はカードを2枚，裏が出た場合は3枚引くとする。次の問いに答えよ。

（1）引いたカードに書かれている数字がすべて偶数である確率は，$\dfrac{\boxed{\text{ワン}}}{\boxed{\text{あい}}}$ である。

（2）引いたカードに書かれている数字が連続している確率は，$\dfrac{\boxed{\text{う}}}{\boxed{\text{えお}}}$ である。

（3）引いたカードに書かれている数字の合計が11となる確率は，$\dfrac{\boxed{\text{かき}}}{\boxed{\text{くけこ}}}$ である。

有理数からなる数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$ を

によって定める。次の問いに答えよ。

（1）$a_{n+1},\ b_{n+1}$ を $a_n,\ b_n$ を用いて表すと，

である。また，$a_n^2-5b_n^2=\left(\boxed{\text{ヘホ}}\right)^n$ である。

（2）$c_n=a_n-b_n\sqrt5$ とするとき，数列 $\{c_n\}$ の一般項は

である。

（3）数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$ の一般項は

である。

（1）$x=\dfrac{8-3\sqrt6}{4+\sqrt6}$ とする。分母を有理化して表すと $x=\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$ であり，$x^2+\dfrac1{x^2}=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$f(x)=x^2-7x+18$ の最小値は $\dfrac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ である。 また，$f(x)>36$ を満たす $x$ の範囲は $x<\boxed{\text{ケコ}},\ \boxed{\text{サ}}<x$ である。

（3）$x$ の2次方程式

について，①，②がともに実数解をもつような $a$ の値の範囲は $\boxed{\text{シ}}\leqq a\leqq\boxed{\text{ス}}$ であり，①，②の少なくとも一方が実数解をもつような $a$ の値の範囲は $a\leqq\boxed{\text{セソ}},\ \boxed{\text{タ}}\leqq a$ である。

（4）さいころ1個を3回投げる。出た目の積が3の倍数となる確率は $\dfrac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}$ である。 また，出た目の積が4で割り切れない確率は $\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）（i）$2^{-\frac57}\times6^{\frac{13}{7}}\times14^{\frac67}\times21^{\frac17}=\boxed{\text{アイウ}}$。

（ii）対数方程式 $\log_4(x-2)+\log_4(x-17)=2$ の解は，$x=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$k$ を定数とする。$x$ の方程式 $x(1-x)^2=k$ が相異なる3つの実数解をもつような $k$ の値の範囲は，$\boxed{\text{カ}}<k<\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}$ である。

（3）当たりくじが何本か入った20本のくじがある。この中からくじを2本引くとき，少なくとも1本が当たりくじである確率は $\dfrac7{19}$ であった。この20本のくじの中に当たりくじは $\boxed{\text{コ}}$ 本ある。

（4）初項が $a$，公差が $d$ の等差数列がある。この数列の初項から第9項までの和が0で，初項から第15項までの和が90であるとき $a=\boxed{\text{サシ}},\ d=\boxed{\text{ス}}$ である。

半径1の球に内接する直円柱がある。直円柱の高さを $h$，底面の円の半径を $r$ とする。

（1）直円柱の体積 $V$ は，$h$ を用いて

と表せる。$V$ は $h=\dfrac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}},\ r=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}$ のとき最大値 $\dfrac{\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}\pi$ をとる。

（2）直円柱の側面積は，$h=\sqrt{\boxed{\text{ネ}}},\ r=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{ヒ}}\pi$ をとる。

$a,\ b$ を実数の定数とし，$x$ の関数 $f(x)=x^3-3x^2-9x-3,\ g(x)=ax^2+bx$ を考える。 座標平面において $y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフは $x$ 座標が1である点を共有し，この点で共通の接線をもつ。

（1）$f(x)$ は $x=\boxed{\text{うえ}}$ で極大値 $\boxed{\text{お}}$，$x=\boxed{\text{か}}$ で極小値 $\boxed{\text{きくけ}}$ をとる。 また，$a=\boxed{\text{こ}},\ b=\boxed{\text{さしす}}$ であり，不等式 $f(x)\leqq g(x)$ を満たす $x$ の範囲は $x\leqq\boxed{\text{せ}}$ である。 また，$y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフによって囲まれる図形の面積は $\dfrac{\boxed{\text{そ}}}{\boxed{\text{た}}}$ である。

（2）$h(x)=\displaystyle\int_0^x\{f(t)-g(t)\}\,dt$ とおくと，$h(x)$ は $x=\boxed{\text{ち}}$ のとき最小値 $\dfrac{\boxed{\text{つて}}}{\boxed{\text{と}}}$ をとる。

A氏が犬を連れて家に帰る途中，家から $L$ メートルの地点に来たときに犬が家に向かって走り出し，家に着くとすぐに引き返して再びA氏のもとへ戻ってきた。 そして，A氏のもとに戻るとまたすぐに家に向かって走り出し，家に着くとすぐに引き返しA氏のところへ戻った。 犬は，この一連の往復運動をA氏が家に着くまで繰り返した。 犬が走る速さはA氏が歩く速さの $4.5$ 倍であるとし，A氏と犬はそれぞれ常に一定の速さで移動すると仮定する。 次の問いに答えよ。

（1）$k$ 回目（$k\geqq1$）にA氏のもとから家に向かって走り出したとき，その地点から家までの距離を $a_k$（メートル）とする。 犬の移動距離はA氏の歩いた距離の $\dfrac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}$ 倍であることに注意すると，

である。

（2）$k$ 回目にA氏のもとから家に向かって走り出し，再びA氏のもとに戻ってくるまでに犬が移動する距離は，$\dfrac{\boxed{\text{ワン}}}{\boxed{\text{あい}}}L\cdot\left(\dfrac{\boxed{\text{う}}}{\boxed{\text{えお}}}\right)^{k-1}$ である。

（3）$1$ 回目に家に向かって走り出してから $k+1$ 回目に家に向かって走り出すまでに犬が移動する距離は，$\dfrac{\boxed{\text{か}}}{\boxed{\text{き}}}L\cdot\left\{1-\left(\dfrac{\boxed{\text{く}}}{\boxed{\text{けこ}}}\right)^k\right\}$ である。

条件

で定められる数列 $\{a_n\}$ について以下の問いに答えよ。

（1）$b_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\ (n\geqq1)$ とおくと，$b_{n+1}+b_n=\boxed{\text{ミ}}$ である。このことから数列 $\{b_n\}$ の一般項は，

となる。したがって，$b_{n+1}b_n=\boxed{\text{ユ}}$ である。

（2）$n\geqq2$ のとき $a_n=a_1\cdot\dfrac{a_2}{a_1}\cdot\dfrac{a_3}{a_2}\cdots\dfrac{a_n}{a_{n-1}}$ であることに注意すると，（1）の結果から

である。

（3）$\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とおくとき，

である。

以下の問いに答えよ。

（1）$\,{}_{2025}C_1+{}_{2025}C_2+\cdots+{}_{2025}C_{2025}$ を $8$ で割った余りは $\boxed{\text{ア}}$ である。

（2）$0\leqq\theta\leqq\pi$ とする。$\tan\theta=-3$ のとき $2\cos\theta+\sin\theta=\dfrac{\boxed{\text{イ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}}$ である。

（3）$i$ を虚数単位とする。$x$ の2次方程式 $x^2+(i-a)x-5+(a-3)i=0$ が実数解をもつような実数 $a$ の値は，$a=\dfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}},\ \boxed{\text{キ}}$ であり，実数解はそれぞれ $x=\dfrac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}},\ \boxed{\text{コサ}}$ である。

（4）$\vec a=(3,\ 7),\ \vec b=(1,\ -3)$ のとき $|\vec a+t\vec b|$ を最小にする $t$ の値は $\dfrac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}$ であり，最小値は $\dfrac{\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソタ}}}}{\boxed{\text{チ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$\dfrac{3127}{5251}$ を約分したとき，その既約分数は $\dfrac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}$ である。

（2）実数 $x,y,z$ について $\dfrac{x+y}{5}=\dfrac{y+z}{2}=\dfrac{z+x}{3}\ (\ne0)$ が成り立つとき，

である。

（3）$x$ の整式 $f(x)$ を $7x-4$ で割った余りが $14$ であるとき，$(6x-3)f(x)$ を $7x-4$ で割ったときの余りは $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$x,y$ に関する連立方程式

$(0\leqq x<2\pi,\ 0\leqq y<2\pi)$ の解は，$x=\dfrac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\pi,\ y=\dfrac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\pi$ である。

（5）$x$ の方程式 $(\log_2x)^{\log_2x}=x^3\ (x\ne1)$ の解は，$x=\boxed{\text{スセソ}}$ である。

（6）4個のサイコロを同時に投げたとき，出た目が1と6の2種類のみになる確率は $\dfrac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツテ}}}$ である。

（7）$x,y$ は実数とする。$x+y>1$ かつ $x^2+y^2\leqq1$ は $x>0$ かつ $y>0$ であるための $\boxed{\text{ト}}$。

• ⓪ 必要条件であるが十分条件ではない
• ① 十分条件であるが必要条件ではない
• ② 必要十分条件である
• ③ 必要条件でも十分条件でもない

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ である二等辺三角形 $\mathrm{ABC}$ において，頂点 $\mathrm A$ から辺 $\mathrm{BC}$ へ下ろした垂線と $\mathrm{BC}$ との交点を $\mathrm H$ とする。$\mathrm{AH}$ の長さを $2$，$\angle\mathrm{ACH}=\theta$ とするとき以下の問いに答えよ。

（1）二等辺三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積は，$\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ である。空欄 $\boxed{\text{ニ}}$ については，最も適切な式を以下の解答群から1つ選択せよ。

• ⓪ $\cos\theta$
• ① $\sin\theta$
• ② $\tan\theta$
• ③ $\cos^2\theta$
• ④ $\sin^2\theta$
• ⑤ $\tan^2\theta$

（2）二等辺三角形 $\mathrm{ABC}$ の内接円の半径を $r$，外接円の半径を $R$ とすると，

である。空欄 $\boxed{\text{ノ}},\ \boxed{\text{ヒ}}$ については，最も適切な式を以下の解答群から1つずつ選択せよ。

• ⓪ $\cos\theta$
• ① $\sin\theta$
• ② $\tan\theta$
• ③ $\cos^2\theta$
• ④ $\sin^2\theta$
• ⑤ $\tan^2\theta$

（3）$\theta$ の関数 $\dfrac rR$ は，$\theta=\dfrac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}\pi$ のとき最大値 $\dfrac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}$ をとる。

（1）$x,\ y$ が $x+y=5,\ x^2+y^2=7$ をみたすとき，$xy=\boxed{\text{ア}},\ x^5+y^5=\boxed{\text{イウエオ}}$ である。

（2）2次方程式 $x^2-kx+6-k=0$ が実数解をもつとき，$k$ のとり得る範囲は

である。 また，2解がともに正の実数となるとき，$k$ の値で整数となるものは $\boxed{\text{コ}}$ 個ある。

（3）$y=-\cos2\theta-3\sin\theta-1\ \left(-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}\right)$ について，$y=0$ のとき $\theta=\dfrac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}\pi$ である。 また，$y$ の最大値は $\boxed{\text{セ}}$ である。

（4）方程式 $xy-2x-4y+2=0$ をみたす整数 $x,\ y$ の組は $\boxed{\text{ソ}}$ 個ある。 また，方程式 $xy-2x-4y=n-8$ をみたす整数 $x,\ y$ の組が16個となる正の整数 $n$ で最も小さいものは $n=\boxed{\text{タチ}}$ である。