【解答・解説】2024年 麻布大学 獣医学科 第Ⅰ期B日程 数学 第1問

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ である二等辺三角形 $\mathrm{ABC}$ において，頂点 $\mathrm A$ から辺 $\mathrm{BC}$ へ下ろした垂線と $\mathrm{BC}$ との交点を $\mathrm H$ とする。$\mathrm{AH}$ の長さを $2$，$\angle\mathrm{ACH}=\theta$ とするとき以下の問いに答えよ。

（1）二等辺三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積は，$\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ である。空欄 $\boxed{\text{ニ}}$ については，最も適切な式を以下の解答群から1つ選択せよ。

• ⓪ $\cos\theta$
• ① $\sin\theta$
• ② $\tan\theta$
• ③ $\cos^2\theta$
• ④ $\sin^2\theta$
• ⑤ $\tan^2\theta$

（2）二等辺三角形 $\mathrm{ABC}$ の内接円の半径を $r$，外接円の半径を $R$ とすると，

である。空欄 $\boxed{\text{ノ}},\ \boxed{\text{ヒ}}$ については，最も適切な式を以下の解答群から1つずつ選択せよ。

• ⓪ $\cos\theta$
• ① $\sin\theta$
• ② $\tan\theta$
• ③ $\cos^2\theta$
• ④ $\sin^2\theta$
• ⑤ $\tan^2\theta$

（3）$\theta$ の関数 $\dfrac rR$ は，$\theta=\dfrac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}\pi$ のとき最大値 $\dfrac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}$ をとる。

条件

で定められる数列 $\{a_n\}$ について以下の問いに答えよ。

（1）$b_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\ (n\geqq1)$ とおくと，$b_{n+1}+b_n=\boxed{\text{ミ}}$ である。このことから数列 $\{b_n\}$ の一般項は，

となる。したがって，$b_{n+1}b_n=\boxed{\text{ユ}}$ である。

（2）$n\geqq2$ のとき $a_n=a_1\cdot\dfrac{a_2}{a_1}\cdot\dfrac{a_3}{a_2}\cdots\dfrac{a_n}{a_{n-1}}$ であることに注意すると，（1）の結果から

である。

（3）$\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とおくとき，

である。

2つの関数

について以下の問いに答えよ。

（1）曲線 $y=f(x)$ と曲線 $y=g(x)$ の共有点のうち $x$ 座標が正であるものは，$\left(\boxed{\text{お}},\ \boxed{\text{か}}\right)$ である。また，この点における接線の方程式は $y=\boxed{\text{きく}}x+\boxed{\text{け}}$ である。

（2）$f(x)\leqq g(x)$ を満たす $x$ の範囲は $x\geqq\boxed{\text{こさ}}$ である。また，$t$ を $t>1$ を満たす実数としたとき，$\boxed{\text{こさ}}\leqq x\leqq t$ の範囲で2曲線 $y=f(x),\ y=g(x)$ が囲む部分の面積と，$y=f(x),\ y=g(x)$ および直線 $x=t$ が囲む部分の面積の和が $\dfrac{75}4$ となる $t$ の値は，$\boxed{\text{し}}$ である。

1から10までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ合計10枚ある。1枚のコインを投げ，コインの表が出た場合はカードを2枚，裏が出た場合は3枚引くとする。次の問いに答えよ。

（1）引いたカードに書かれている数字がすべて偶数である確率は，$\dfrac{\boxed{\text{ワン}}}{\boxed{\text{あい}}}$ である。

（2）引いたカードに書かれている数字が連続している確率は，$\dfrac{\boxed{\text{う}}}{\boxed{\text{えお}}}$ である。

（3）引いたカードに書かれている数字の合計が11となる確率は，$\dfrac{\boxed{\text{かき}}}{\boxed{\text{くけこ}}}$ である。

有理数からなる数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$ を

によって定める。次の問いに答えよ。

（1）$a_{n+1},\ b_{n+1}$ を $a_n,\ b_n$ を用いて表すと，

である。また，$a_n^2-5b_n^2=\left(\boxed{\text{ヘホ}}\right)^n$ である。

（2）$c_n=a_n-b_n\sqrt5$ とするとき，数列 $\{c_n\}$ の一般項は

である。

（3）数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$ の一般項は

である。

（1）$x=\dfrac{8-3\sqrt6}{4+\sqrt6}$ とする。分母を有理化して表すと $x=\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$ であり，$x^2+\dfrac1{x^2}=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$f(x)=x^2-7x+18$ の最小値は $\dfrac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ である。 また，$f(x)>36$ を満たす $x$ の範囲は $x<\boxed{\text{ケコ}},\ \boxed{\text{サ}}<x$ である。

（3）$x$ の2次方程式

について，①，②がともに実数解をもつような $a$ の値の範囲は $\boxed{\text{シ}}\leqq a\leqq\boxed{\text{ス}}$ であり，①，②の少なくとも一方が実数解をもつような $a$ の値の範囲は $a\leqq\boxed{\text{セソ}},\ \boxed{\text{タ}}\leqq a$ である。

（4）さいころ1個を3回投げる。出た目の積が3の倍数となる確率は $\dfrac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}$ である。 また，出た目の積が4で割り切れない確率は $\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）（i）$2^{-\frac57}\times6^{\frac{13}{7}}\times14^{\frac67}\times21^{\frac17}=\boxed{\text{アイウ}}$。

（ii）対数方程式 $\log_4(x-2)+\log_4(x-17)=2$ の解は，$x=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$k$ を定数とする。$x$ の方程式 $x(1-x)^2=k$ が相異なる3つの実数解をもつような $k$ の値の範囲は，$\boxed{\text{カ}}<k<\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}$ である。

（3）当たりくじが何本か入った20本のくじがある。この中からくじを2本引くとき，少なくとも1本が当たりくじである確率は $\dfrac7{19}$ であった。この20本のくじの中に当たりくじは $\boxed{\text{コ}}$ 本ある。

（4）初項が $a$，公差が $d$ の等差数列がある。この数列の初項から第9項までの和が0で，初項から第15項までの和が90であるとき $a=\boxed{\text{サシ}},\ d=\boxed{\text{ス}}$ である。

半径1の球に内接する直円柱がある。直円柱の高さを $h$，底面の円の半径を $r$ とする。

（1）直円柱の体積 $V$ は，$h$ を用いて

と表せる。$V$ は $h=\dfrac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}},\ r=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}$ のとき最大値 $\dfrac{\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}\pi$ をとる。

（2）直円柱の側面積は，$h=\sqrt{\boxed{\text{ネ}}},\ r=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{ヒ}}\pi$ をとる。

$a,\ b$ を実数の定数とし，$x$ の関数 $f(x)=x^3-3x^2-9x-3,\ g(x)=ax^2+bx$ を考える。 座標平面において $y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフは $x$ 座標が1である点を共有し，この点で共通の接線をもつ。

（1）$f(x)$ は $x=\boxed{\text{うえ}}$ で極大値 $\boxed{\text{お}}$，$x=\boxed{\text{か}}$ で極小値 $\boxed{\text{きくけ}}$ をとる。 また，$a=\boxed{\text{こ}},\ b=\boxed{\text{さしす}}$ であり，不等式 $f(x)\leqq g(x)$ を満たす $x$ の範囲は $x\leqq\boxed{\text{せ}}$ である。 また，$y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフによって囲まれる図形の面積は $\dfrac{\boxed{\text{そ}}}{\boxed{\text{た}}}$ である。

（2）$h(x)=\displaystyle\int_0^x\{f(t)-g(t)\}\,dt$ とおくと，$h(x)$ は $x=\boxed{\text{ち}}$ のとき最小値 $\dfrac{\boxed{\text{つて}}}{\boxed{\text{と}}}$ をとる。

以下の問いに答えよ。

（1）$\,{}_{2025}C_1+{}_{2025}C_2+\cdots+{}_{2025}C_{2025}$ を $8$ で割った余りは $\boxed{\text{ア}}$ である。

（2）$0\leqq\theta\leqq\pi$ とする。$\tan\theta=-3$ のとき $2\cos\theta+\sin\theta=\dfrac{\boxed{\text{イ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}}$ である。

（3）$i$ を虚数単位とする。$x$ の2次方程式 $x^2+(i-a)x-5+(a-3)i=0$ が実数解をもつような実数 $a$ の値は，$a=\dfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}},\ \boxed{\text{キ}}$ であり，実数解はそれぞれ $x=\dfrac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}},\ \boxed{\text{コサ}}$ である。

（4）$\vec a=(3,\ 7),\ \vec b=(1,\ -3)$ のとき $|\vec a+t\vec b|$ を最小にする $t$ の値は $\dfrac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}$ であり，最小値は $\dfrac{\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソタ}}}}{\boxed{\text{チ}}}$ である。

（1）$x,\ y$ が $x+y=5,\ x^2+y^2=7$ をみたすとき，$xy=\boxed{\text{ア}},\ x^5+y^5=\boxed{\text{イウエオ}}$ である。

（2）2次方程式 $x^2-kx+6-k=0$ が実数解をもつとき，$k$ のとり得る範囲は

である。 また，2解がともに正の実数となるとき，$k$ の値で整数となるものは $\boxed{\text{コ}}$ 個ある。

（3）$y=-\cos2\theta-3\sin\theta-1\ \left(-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}\right)$ について，$y=0$ のとき $\theta=\dfrac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}\pi$ である。 また，$y$ の最大値は $\boxed{\text{セ}}$ である。

（4）方程式 $xy-2x-4y+2=0$ をみたす整数 $x,\ y$ の組は $\boxed{\text{ソ}}$ 個ある。 また，方程式 $xy-2x-4y=n-8$ をみたす整数 $x,\ y$ の組が16個となる正の整数 $n$ で最も小さいものは $n=\boxed{\text{タチ}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$x,y>0$ とする。関数 $\left(x+\dfrac3y\right)\left(y+\dfrac3x\right)$ の最小値は $\boxed{\text{アイ}}$ である。

（2）$-\dfrac\pi2<\theta<\dfrac\pi2$ である $\theta$ について $\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{\sqrt2}{3}$ が成り立つとき，$\sin\theta-\cos\theta=\dfrac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

（3）$k$ を定数とする。$x$ の整式 $x^2-2y^2+xy+kx+2y+4$ が，$x,y$ についての2つの1次式の積に因数分解されるとき，$k$ の値は $\boxed{\text{カキ}}$ または $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$\vec a=(-5,7),\ \vec b=(6,-4),\ \vec c=(21,19)$ とする。$\vec c=m\vec a+n\vec b$ を満たす実数 $m,n$ は $m=\boxed{\text{ケ}},\ n=\boxed{\text{コサ}}$ である。

（5）2直線

がある。直線 $\ell_1$ は定数 $k$ の値によらず，定点 $\left(\boxed{\text{シス}},\boxed{\text{セ}}\right)$ を通る。また，2直線 $\ell_1,\ell_2$ が平行になるときの $k$ の値は，$\boxed{\text{ソタ}}$ または $\dfrac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}$ である。

（6）6冊の同じ種類のノートをA，B，Cの3人に配布する。1冊も配布されない人がいてよいとすると，配り方は全部で $\boxed{\text{テト}}$ 通りある。

$x$ の4次方程式

の解がすべて実数となるような，定数 $a,\ b$ の範囲を知りたい。 以下の生徒と教師の会話文を読み，適切な数値を解答欄にマークせよ。 $\boxed{\text{タ}}$，$\boxed{\text{ト}}$ については，適切な選択肢を各々の解答群から1つずつ選択せよ。

生徒：2次方程式であれば実数解をもつ条件が判別式から求められましたが，4次方程式の場合は習っていません。

教師：まず，$x=0$ は解ではないから①の両辺を $x^2$ で割ってみよう。すると①は

$$4x^2+2ax+b+\frac{a}{2x}+\frac1{4x^2}=0$$

となるね。このとき $y=2x+\dfrac1{2x}$ とおくと①は，

$$\boxed{\text{タ}}=0\tag{\textcircled{2}}$$

と変形できるよ。

生徒：$y$ に関する2次方程式になりました。あとはこの2次方程式が実数解を持つ条件を求めて解決ですね。

教師：話はそう単純じゃないんだ。例えば，$y=0$ のときを考えるとわかるように，$y$ が実数であっても $x$ が実数にならない場合があるよ。だから $x$ が実数となるための $y$ の条件を考える必要があるんだ。

生徒：そのような $y$ の条件は，$y\le\boxed{\text{チツ}}$ または $y\ge\boxed{\text{テ}}$ です。

教師：そうだね。つまり，①の解が実数となるための $a$ の条件は，②がその範囲で解を持つことなんだ。

生徒：わかりました，これで $a,\ b$ の存在範囲が求められますね。

教師：では，それを $ab$-平面に図示すると，どのような図が描けるかな。

生徒：$(a,\ b)$ の存在範囲の概略は，境界を含む斜線部分 $\boxed{\text{ト}}$ になります。

タの解答群

トの解答群

$xy$ 平面内に原点を中心とする半径 $1$ の円 $C$ がある。$C$ 上の任意の点 $(x,\ y)$ に対して $t=x+y$ とおくとき，次の問いに答えよ。

（1）$xy$ を $t$ の式で表すと $xy=\dfrac{t^2-\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}$ であり，$t$ が取りうる値の範囲は $-\sqrt{\boxed{\text{ト}}}\leqq t\leqq\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$ である。

（2）$z=x+xy+y$ は，$x=\boxed{\text{ニヌ}},\ y=\boxed{\text{ネ}}$ または $x=\boxed{\text{ノ}},\ y=\boxed{\text{ハヒ}}$ のとき最小値 $\boxed{\text{フヘ}}$ をとり，$x=y=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}}{\boxed{\text{マ}}}$ のとき最大値 $\dfrac{\boxed{\text{ミ}}+\boxed{\text{ム}}\sqrt{\boxed{\text{メ}}}}{\boxed{\text{モ}}}$ をとる。

座標平面において直線 $y=\dfrac12x$ 上の点 $\left(p,\ \dfrac12p\right)$ から曲線 $y=x^2+1$ に引いた2本の接線を $\ell,\ m$ とし，接点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha,\ \beta$（ただし，$\alpha<\beta$）とする。次の問いに答えよ。

（1）$\alpha,\ \beta$ の和と積を $p$ の式で表すと，

である。したがって，$\alpha,\ \beta$ は $x$ の2次方程式 $\boxed{\text{そ}}x^2-\boxed{\text{た}}px+p-\boxed{\text{ち}}=0$ の解である。

（2）$\ell$ と $m$，および曲線で囲まれる部分の面積 $S$ は，

となる。この式から $S$ は $p=\dfrac{\boxed{\text{ね}}}{\boxed{\text{の}}}$ のとき最小値 $\dfrac{\boxed{\text{は}}\sqrt{\boxed{\text{ひふ}}}}{\boxed{\text{へほ}}}$ をとることがわかる。