慶應義塾大学の数学過去問

座標平面上において，原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $1$ の円を $C$ とし，点 $\mathrm{A}(3,0)$ を通り傾きが $t$ の直線を $l$ とする。

（1）円 $C$ と直線 $l$ がただ1つの共有点をもつとき，その点の $x$ 座標は $\boxed{\text{ア}}$ である。

（2）円 $C$ と直線 $l$ が異なる2点で交わるような $t$ の値の範囲は $\boxed{\text{イ}}<t<\boxed{\text{ウ}}$ である。

以下，$t$ が $\boxed{\text{イ}}<t<\boxed{\text{ウ}}$ を満たすように動くとする。このとき，円 $C$ と直線 $l$ の2つの交点を結ぶ線分の中点を $\mathrm{M}$ とする。

（3）線分 $\mathrm{OM}$ の長さを $t$ の式で表すと，$\boxed{\text{エ}}$ である。

（4）点 $\mathrm{M}$ の軌跡の方程式は $\boxed{\text{オ}}=0$ である。ただし，$x$ の範囲は $0\leqq x<\boxed{\text{ア}}$ である。

（5）円 $C$ と直線 $l$ の2つの交点と原点 $\mathrm{O}$ を頂点とする三角形を，直線 $l$ のまわりに1回転してできる立体の体積を $V$ とする。$V$ が最大となる $t$ の値は $\boxed{\text{カ}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

空間内に点 $\mathrm{P}$ と平面 $\alpha$ をとる。点 $\mathrm{P}$ と平面 $\alpha$ 上の3点 $\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ に対して，

が成り立つとする。線分 $\mathrm{AB}$ 上の点 $\mathrm{Q}$ を，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ が垂直であるようにとる。

（1）$\cos \angle \mathrm{POB}=\boxed{\text{キ}}$ である。

（2）$t=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AB}}$ とおく。このとき，$t$ の値およびそれを求める過程を解答欄（2）に記述しなさい。

（3）$\mathrm{OQ}=\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）点 $\mathrm{P}$ を通り平面 $\alpha$ に垂直な直線と $\alpha$ の交点を $\mathrm{H}$ とする。このとき，実数 $k$ と $l$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+l\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と表すと，$l=\boxed{\text{ケ}}$ となる。

（5）点 $\mathrm{P}$ が平面 $\alpha$ 上にあるのは，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$ の値が $\boxed{\text{コ}}$ または $\boxed{\text{サ}}$ のときである。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

表の出る確率が $\frac{1}{2}$ の硬貨が1枚ある。$n$ を正の整数とする。

（1）硬貨を $n$ 回投げ，表が出た回数を $a$ とする。さらに続けて硬貨を $n$ 回投げたうちで，表が出た回数を $b$ とする。このとき，$a$ と $b$ の積が $0$ である確率を $n$ の式で表すと $\boxed{\text{シ}}$ である。「$a$ と $b$ の和が $n$ である」という事象の起こる場合の数を $M_n$ とおく。$n=5$ のとき，$M_5=\boxed{\text{ス}}$ である。また，

である。ただし，$\log x$ は $x$ の自然対数とする。

（2）硬貨を $n$ 回投げ，表が出た回数を $c$ とする。さらに続けて硬貨を $c+1$ 回投げたうちで，表が出た回数を $d$ とする。このとき，「$c=0$ である」という事象を $C$ とし，「$d=0$ である」という事象を $D$ とする。$n=4$ のとき，事象 $D$ の起こる確率は $\boxed{\text{ソ}}$ である。また，一般の $n$ に対して，事象 $D$ が起こったときに事象 $C$ の起こる条件付き確率は $\boxed{\text{タ}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

複素数平面上の異なる3点 $\mathrm{A}(\alpha )$，$\mathrm{B}(\beta )$，$\mathrm{C}(\gamma )$ に対して，等式

が成り立つとする。ただし，$i$ は虚数単位であり，$p$ は正の数である。

（1）線分 $\mathrm{AC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする。$\mathrm{M}$ を表す複素数を解答欄（1）に印刷されている文の下線部に記入しなさい。さらに，$\mathrm{M}$ を表す複素数を用いて，線分 $\mathrm{AC}$ と直線 $\mathrm{BM}$ が垂直に交わることの証明を記述しなさい。

以下，複素数 $z_n(n=1,2,3,\cdots \cdots )$ は，$z_1=\beta$，$z_2=\gamma$ であり，等式

を満たすとする。このとき，3点 $\alpha$，$z_n$，$z_{n+1}$ を頂点とする三角形の面積を $S_n$ とする。

（2）$|\alpha -\gamma |=p$ のとき，$S_1$ と $S_2$ をそれぞれ $p$ の式で表すと，$S_1=\boxed{\text{チ}}$，$S_2=\boxed{\text{ツ}}$ となる。

さらに，$p=\sqrt{3}$，$|\alpha -\gamma |=\sqrt{3}$ とする。

（3）$\frac{S_n}{S_1}$ を $n$ のみを用いた式で表すと，$\frac{S_n}{S_1}=\boxed{\text{テ}}$ となる。

（4）$\alpha$ と $\beta$ が，$\alpha <\beta$ を満たす実数である場合を考える。また，$N$ を $z_{N+1}$ が実数となるような最小の正の整数とする。このとき，$z_1$，$z_2$，$\cdots \cdots$，$z_N$，$z_{N+1}$ を頂点とする多角形の面積は $\boxed{\text{ト}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

（1）$i$ を虚数単位とし，実数 $\theta$ に対して $f(\theta )=\cos \theta +i\sin \theta$ とおく。実数 $a$ に対して，$f({\theta }_1)=\{f(a){\}}^3$ を満たす ${\theta }_1$ の1つを $a$ を用いて表すと ${\theta }_1=\boxed{\text{ナ}}$ であり，

を満たす ${\theta }_2$ の1つを $a$ を用いて表すと ${\theta }_2=\boxed{\text{ニ}}$ である。

（2）$\theta$ の関数 ${\cos }^4\theta$ を適切な有理数 $b$，$c$，$d$ を用いて $b+c\cos 2\theta +d\cos 4\theta$ の形で表すと，${\cos }^4\theta =\boxed{\text{ヌ}}$ となる。

（3）座標平面上で不等式 $0\leqq y\leqq x$ の表す領域において方程式 $(x^2+y^2{)}^3=(x^2-y^2{)}^2$ が定める曲線を $C$ とする。座標平面において，原点を極，$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r,\theta )$ を考えると，$C$ の極方程式は $\boxed{\text{ネ}}$ となる。ただし，$\theta$ の動く範囲は $\boxed{\text{ノ}}$ である。また，曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は $\boxed{\text{ハ}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。