【解答・解説】2026年 慶應義塾大学 理工学部 数学 第2問

（1）長さと内積が分かれば、角の余弦が決まる

ベクトルの内積

内積は、二つのベクトルから定まる数。
零ベクトルでない $\vec a,\ \vec b$ のなす角を $\theta$ とすると、
$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$。
成分で計算するときは、対応する成分どうしを掛けて足す。
平面では、$\vec a=(a_1,a_2),\ \vec b=(b_1,b_2)$ に対して、
$\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2$。
空間では、$\vec a=(a_1,a_2,a_3),\ \vec b=(b_1,b_2,b_3)$ に対して、
$\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$。

$\angle\mathrm{POB}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ のなす角です。
長さ $\mathrm{OP},\ \mathrm{OB}$ と内積 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ がすべて与えられているので、内積の定義の式に代入するだけです。

（2）（3）$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ で表し、垂直を内積で書く

内分点・外分点の位置ベクトル

$m,n>0$ とする。

1. 線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$：$\overrightarrow{OP}=\dfrac{n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m+n}$。
   
2. 線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $Q$：$\overrightarrow{OQ}=\dfrac{-n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m-n}$（$m\ne n$）。

ベクトルの垂直条件

零ベクトルでない二つのベクトルが垂直であることと、内積が $0$ であることは同値。
$\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0$。
垂直という条件を式にするときは、二つのベクトルの内積を計算し、$0$ とおく。

ベクトルの長さの扱い方

図形として長さを考える。計算するときは2乗して内積を使う。
$|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2$。

$t=\dfrac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AB}}$ なので、$\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{AB}$ を $t:(1-t)$ に内分する点です。
したがって $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と表せます。

この問題では $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ がすべて分かっています。
そのため、$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ で表したベクトルどうしの内積や長さは、すべて計算できます。
垂直条件 $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$ から $t$ の1次方程式が得られ、（3）の長さも2乗して内積で計算できます。
（2）は記述問題なので、$\mathrm{Q}$ が線分上にあること、つまり $0\leqq t\leqq1$ も確認しておきましょう。

（4）（5）$\overrightarrow{\mathrm{HP}}$ は平面 $\alpha$ 上のどのベクトルとも垂直

平面ベクトルを求める基本的な方法

同一平面上のベクトルについて、平行でない $\vec a,\vec b$ を使い、求めるベクトルを $s\vec a+t\vec b$ とおく。

1. 同じベクトルを2通りに表せるときは、$\vec a,\vec b$ の係数をそれぞれ比較する。
   
2. 長さや垂直の条件があるときは、内積の式にして $s,t$ の方程式を作る。

$\mathrm{H}$ は $\mathrm{P}$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足です。
$\overrightarrow{\mathrm{HP}}$ は $\alpha$ に垂直なので、$\alpha$ 上の $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とも $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ とも垂直です。
このため、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}+\overrightarrow{\mathrm{HP}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の内積を考えると、$\overrightarrow{\mathrm{HP}}$ の部分が消えます。
つまり、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ が成り立ちます。

問題文が $\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ で表すように指定しているのは、この2つが垂直だからです。
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$ なので、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の内積をとると $l$ だけが残ります。

（5）では、「$\mathrm{P}$ が $\alpha$ 上にある」を式にします。
$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HP}}=0$ なので、$\mathrm{P}=\mathrm{H}$ の場合も含めて $\mathrm{OP}^2=\mathrm{OH}^2+\mathrm{HP}^2$ です。
$\mathrm{P}$ が $\alpha$ 上にあることは $\mathrm{HP}=0$、すなわち $\mathrm{OH}=\mathrm{OP}=2$ と言いかえられます。
未知の値 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ を文字でおき、$k$ をその文字で表せば、長さの条件から方程式が作れます。