【解答・解説】2026年慶應義塾大学理工学部数学第3問

公開 2026.10.03

表の出る確率が $\dfrac12$ の硬貨が1枚ある。 $n$ を正の整数とする。

（1）硬貨を $n$ 回投げ，表が出た回数を $a$ とする。さらに続けて硬貨を $n$ 回投げたうちで，表が出た回数を $b$ とする。このとき， $a$ と $b$ の積が $0$ である確率を $n$ の式で表すと $\boxed{\text{シ}}$ である。「 $a$ と $b$ の和が $n$ である」という事象の起こる場合の数を $M_n$ とおく。 $n=5$ のとき， $M_5=\boxed{\text{ス}}$ である。また，

\lim_{n\to\infty}\frac1n\log\frac{n!\,M_n}{n^n}=\boxed{\text{セ}}

である。ただし， $\log x$ は $x$ の自然対数とする。

（2）硬貨を $n$ 回投げ，表が出た回数を $c$ とする。さらに続けて硬貨を $c+1$ 回投げたうちで，表が出た回数を $d$ とする。このとき，「 $c=0$ である」という事象を $C$ とし，「 $d=0$ である」という事象を $D$ とする。 $n=4$ のとき，事象 $D$ の起こる確率は $\boxed{\text{ソ}}$ である。また，一般の $n$ に対して，事象 $D$ が起こったときに事象 $C$ の起こる条件付き確率は $\boxed{\text{タ}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

重要知識と着眼点

（1）シ：「積が $0$ 」は「どちらかが $0$ 」、反対の場合を考える

条件を満たさない方も考える（余事象）
条件を満たす方と満たさない方を比べ、数えやすい方を求める。
個数は「全体 − 満たさない個数」。
確率は $P(A)=1-P(\overline A)$ 。

$ab=0$ は「 $a=0$ または $b=0$ 」です。
「または」の確率を直接求めると、両方が $0$ の場合を重ねて数えないよう注意が必要です。
反対の「 $a\geqq1$ かつ $b\geqq1$ 」なら、前半と後半の $n$ 回は互いに影響しないので、確率の積で求められます。

（1）ス：「和が $n$ 」は「 $2n$ 回でちょうど $n$ 回表」

独立な試行でちょうど $k$ 回成功する確率
成功する確率が毎回 $p$ の試行を独立に $n$ 回行うとき、ちょうど $k$ 回成功する確率は、 ${}_nC_kp^k(1-p)^{n-k}$ 。
$n$ 回中 $k$ 回成功する場合の数が ${}_nC_k$ 通り、各々の起こる確率が $p^k(1-p)^{n-k}$ と考える。

$a+b$ は、続けて投げた $2n$ 回全体で表が出た回数です。
したがって「 $a+b=n$ 」は「 $2n$ 回のうちちょうど $n$ 回表が出る」と同じ事象です。
$2n$ 回の表裏の出方のうち、表が出る $n$ 回の位置を選ぶと考えれば、 $M_n={}_{2n}C_n$ です。
$a$ の値で場合分けして ${}_nC_k\cdot{}_nC_{n-k}$ を足しても求められますが、まとめて見る方が速く確実です。

（1）セ：積を和に直し、区分求積法の形を作る

logの基本事項
底は $a>0,\ a\ne1$ 、真数は正。 $M,N>0$ のとき、
$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$ 。
$\log_a\dfrac MN=\log_a M-\log_a N$ 。
$\log_a M^r=r\log_a M$ 。

和の極限を積分で求める方法（区分求積法）
$f$ が $[0,1]$ で連続なら、
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac kn\right)=\int_0^1 f(x)\,dx$ 。
和の部分は $\dfrac1n\left\{f\left(\dfrac1n\right)+f\left(\dfrac2n\right)+\cdots+f(1)\right\}$ 。
和の極限を、この形に直せないか考える。

部分積分の使い方
$\displaystyle\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx$ 。
微分すると簡単になる方を $f$ に選ぶ。
多項式と三角関数・指数関数の積や、 $\log x$ を含む積分で考える。

$M_n=\dfrac{(2n)!}{n!\,n!}$ を代入すると、 $n!$ が1つ約分されて $\dfrac{(2n)!}{n!\,n^n}$ になります。
$\dfrac{(2n)!}{n!}=(n+1)(n+2)\cdots(2n)$ は $n$ 個の数の積なので、分母の $n^n$ の $n$ を1つずつ割り当てると、 $\left(1+\dfrac1n\right)\left(1+\dfrac2n\right)\cdots\left(1+\dfrac nn\right)$ となります。
$\log$ をとれば積が和になり、前に $\dfrac1n$ が付いているので、区分求積法の形がそのまま現れます。
問題文の $\dfrac1n\log$ と $\dfrac{n!}{n^n}$ は、この形を作るための誘導だと読み取れます。

（2） $c$ の値で場合分けし、条件付き確率の定義に当てはめる

条件付き確率の意味と求め方
$P(A)>0$ のとき、事象 $A$ が起きたという条件のもとで、事象 $B$ が起きる確率。 $P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ 。

$(a+b)^n$ の扱い方（二項定理）
$n$ が $0$ 以上の整数のとき、展開した式の $a^{n-k}b^k$ の係数は ${}_nC_k$ （ $0\leqq k\leqq n$ ）。
$\begin{aligned} (a+b)^n&=\sum_{k=0}^{n}{}_nC_k a^{n-k}b^k\\ &=a^n+{}_nC_1a^{n-1}b+{}_nC_2a^{n-2}b^2+\cdots\\ &\quad+{}_nC_{n-2}a^2b^{n-2}+{}_nC_{n-1}ab^{n-1}+b^n. \end{aligned}$

後半で投げる回数は $c+1$ 回で、前半の結果によって変わります。
そこで $c=k$ の場合に分け、「 $c=k$ になる確率」と「その後 $k+1$ 回すべて裏になる確率」を掛けて足します。
現れる和 $\displaystyle\sum_{k=0}^n{}_nC_k\left(\dfrac12\right)^k$ は、二項定理で $\left(1+\dfrac12\right)^n$ とまとめられます。

条件付き確率 $P(C\mid D)$ は、「 $D$ が起こった」ことが分かったときに「 $C$ だった」確率です。
時間の順序とは逆向きですが、定義の式に当てはめれば計算できます。
$C\cap D$ は「前半がすべて裏、後半の1回も裏」なので、すぐに求められます。

解答

（1）シ

$ab=0$ の余事象は「 $a\geqq1$ かつ $b\geqq1$ 」である。
前半の $n$ 回と後半の $n$ 回は独立で、 $a\geqq1$ となる確率は $1-\left(\dfrac12\right)^n$ 、 $b\geqq1$ となる確率も同じだから、

\begin{aligned} P(ab=0)&=1-\left(1-\frac{1}{2^n}\right)^2=\frac{2}{2^n}-\frac{1}{4^n}\\ &=\boxed{\frac{2^{n+1}-1}{4^n}}. \end{aligned}

（1）ス

$a+b$ は $2n$ 回全体で表が出た回数である。
よって、「 $a+b=n$ 」となる表裏の出方は、 $2n$ 回のうち表が出る $n$ 回を選ぶ方法の数に等しく、

M_n={}_{2n}C_n.

$n=5$ のとき、 $M_5={}_{10}C_5=\boxed{252}$ 。

（1）セ

$M_n=\dfrac{(2n)!}{n!\,n!}$ より、

\begin{aligned} \frac{n!\,M_n}{n^n}&=\frac{(2n)!}{n!\,n^n}=\frac{(n+1)(n+2)\cdots(2n)}{n^n}\\ &=\left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac2n\right)\cdots\left(1+\frac nn\right). \end{aligned}

両辺の自然対数をとると、

\frac1n\log\frac{n!\,M_n}{n^n}=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\log\left(1+\frac kn\right).

$\log(1+x)$ は $0\leqq x\leqq1$ で連続だから、区分求積法により

\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}\log\left(1+\frac kn\right)=\int_0^1\log(1+x)\,dx.

部分積分により、

\begin{aligned} &\int_0^1\log(1+x)\,dx\\ &=\Bigl[(1+x)\log(1+x)\Bigr]_0^1\\ &\qquad-\int_0^1(1+x)\cdot\frac{1}{1+x}\,dx\\ &=2\log2-1. \end{aligned}

よって、求める極限は $\boxed{2\log2-1}$ 。

補足数値で確かめる

$2\log2-1$ はおよそ $0.386$ です。
実際に $\dfrac1n\log\dfrac{n!\,M_n}{n^n}$ を計算すると、 $n=10$ でおよそ $0.421$ 、 $n=1000$ でおよそ $0.387$ となり、この値に近づいていきます。

（2）

$c=k$ （ $k=0,1,\ldots,n$ ）となる確率は ${}_nC_k\left(\dfrac12\right)^n$ である。
このとき後半は $k+1$ 回投げるので、 $d=0$ となる確率は $\left(\dfrac12\right)^{k+1}$ である。
よって、

\begin{aligned} P(D)&=\sum_{k=0}^{n}{}_nC_k\left(\frac12\right)^n\left(\frac12\right)^{k+1}\\ &=\frac{1}{2^{n+1}}\sum_{k=0}^{n}{}_nC_k\left(\frac12\right)^k\\ &=\frac{1}{2^{n+1}}\left(1+\frac12\right)^n=\frac12\left(\frac34\right)^n. \end{aligned}

$n=4$ のとき、 $P(D)=\dfrac12\cdot\dfrac{81}{256}=\boxed{\dfrac{81}{512}}$ 。

また、 $C\cap D$ は「 $c=0$ で、続く1回が裏」という事象だから、

P(C\cap D)=\left(\frac12\right)^n\cdot\frac12=\frac{1}{2^{n+1}}.

したがって、求める条件付き確率は

\begin{aligned} P(C\mid D)&=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}=\frac{1}{2^{n+1}}\cdot2\left(\frac43\right)^n\\ &=\frac{4^n}{2^n\cdot3^n}=\boxed{\left(\frac23\right)^n}. \end{aligned}

補足

n=1

で確かめる

$n=1$ のとき、 $c=0$ で続く1回が裏になる確率は $\dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac14$ です。
$c=1$ で続く2回がともに裏になる確率は $\dfrac12\cdot\dfrac14=\dfrac18$ です。
よって $P(D)=\dfrac14+\dfrac18=\dfrac38$ で、式 $\dfrac12\cdot\dfrac34$ と一致します。
条件付き確率は $\dfrac{1/4}{3/8}=\dfrac23$ で、 $\left(\dfrac23\right)^1$ と一致します。

問題データ

主分野: 場合の数・確率
関連分野: 微分・積分
難易度の目安: B（標準）
目標時間: 20分

講評

硬貨を投げる確率の問題に、区分求積法による極限を組み合わせた問題です。
小問ごとに必要な道具ははっきりしているので、どの知識を使うかをすばやく判断できるかが勝負になります。

シ・ス・ソは確実に取りたいところです。
シは余事象を使えば1行で終わります。
「または」をそのまま足して $\dfrac{2}{2^n}$ としてしまうと、 $a=b=0$ の場合を2回数えた誤りになります。
スは、 $a$ と $b$ を別々に考えず、 $2n$ 回全体で表が $n$ 回と見れば ${}_{10}C_5$ です。
ソは、後半に投げる回数が $c$ によって変わることを場合分けで処理し、二項定理で和をまとめます。

差がつくのはセです。
$\dfrac{n!\,M_n}{n^n}$ を約分して $n$ 個の積 $\left(1+\dfrac1n\right)\cdots\left(1+\dfrac nn\right)$ に直せるかが鍵です。
「 $\dfrac1n\log(\text{積})$ の極限」は、 $\log$ で和に直して区分求積法を使う典型的な形なので、見た瞬間に方針が立つようにしておきましょう。
最後の $\displaystyle\int_0^1\log(1+x)\,dx$ も、部分積分の基本問題として確実に計算したいところです。

タは、条件付き確率の定義に当てはめるだけですが、「時間的に後の $D$ から前の $C$ を推測する」形に戸惑うかもしれません。
定義の式は時間の順序に関係なく使えることを押さえておきましょう。

難易度はB、目標時間は20分としました。
各小問は典型的な処理で解けますが、セで区分求積法の形を作る変形に慣れが必要なためです。

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座標平面上において，原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円を $C$ とし，点 $A (3, 0)$ を通り傾きが $t$ の直線を $l$ とする。

（1）円 $C$ と直線 $l$ がただ1つの共有点をもつとき，その点の $x$ 座標は $ア$ である。

（2）円 $C$ と直線 $l$ が異なる2点で交わるような $t$ の値の範囲は $イ < t < ウ$ である。

以下， $t$ が $イ < t < ウ$ を満たすように動くとする。このとき，円 $C$ と直線 $l$ の2つの交点を結ぶ線分の中点を $M$ とする。

（3）線分 $OM$ の長さを $t$ の式で表すと， $エ$ である。

（4）点 $M$ の軌跡の方程式は $オ = 0$ である。ただし， $x$ の範囲は $0 ≦ x < ア$ である。

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（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

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OP = 2, OA = 2, OB = 3, OP \cdot OB = OA \cdot OB = - 2

が成り立つとする。線分 $AB$ 上の点 $Q$ を， $OQ$ と $OB$ が垂直であるようにとる。

（1） $cos ∠ POB = キ$ である。

（2） $t = \frac{AQ}{AB}$ とおく。このとき， $t$ の値およびそれを求める過程を解答欄（2）に記述しなさい。

（3） $OQ = ク$ である。

（4）点 $P$ を通り平面 $α$ に垂直な直線と $α$ の交点を $H$ とする。このとき，実数 $k$ と $l$ を用いて $OH = k OQ + l OB$ と表すと， $l = ケ$ となる。

（5）点 $P$ が平面 $α$ 上にあるのは， $OP \cdot OA$ の値が $コ$ または $サ$ のときである。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

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4慶應義塾大学 2026 理工学部

複素数平面上の異なる3点 $A (α)$ ， $B (β)$ ， $C (γ)$ に対して，等式

(p + i) α - 2 pβ + (p - i) γ = 0

が成り立つとする。ただし， $i$ は虚数単位であり， $p$ は正の数である。

（1）線分 $AC$ の中点を $M$ とする。 $M$ を表す複素数を解答欄（1）に印刷されている文の下線部に記入しなさい。さらに， $M$ を表す複素数を用いて，線分 $AC$ と直線 $BM$ が垂直に交わることの証明を記述しなさい。

以下，複素数 $z_{n} (n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ は， $z_{1} = β$ ， $z_{2} = γ$ であり，等式

(p + i) α - 2 p z_{n} + (p - i) z_{n + 1} = 0 (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

を満たすとする。このとき，3点 $α$ ， $z_{n}$ ， $z_{n + 1}$ を頂点とする三角形の面積を $S_{n}$ とする。

（2） $∣ α - γ ∣ = p$ のとき， $S_{1}$ と $S_{2}$ をそれぞれ $p$ の式で表すと， $S_{1} = チ$ ， $S_{2} = ツ$ となる。

さらに， $p = 3$ ， $∣ α - γ ∣ = 3$ とする。

（3） $\frac{S _{n}}{S _{1}}$ を $n$ のみを用いた式で表すと， $\frac{S _{n}}{S _{1}} = テ$ となる。

（4） $α$ と $β$ が， $α < β$ を満たす実数である場合を考える。また， $N$ を $z_{N + 1}$ が実数となるような最小の正の整数とする。このとき， $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $\dots\dots$ ， $z_{N}$ ， $z_{N + 1}$ を頂点とする多角形の面積は $ト$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

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\frac{f ( θ _{2} ) + f ( - θ _{2} )}{2} = cos^{2} a - sin^{2} a

を満たす $θ_{2}$ の1つを $a$ を用いて表すと $θ_{2} = ニ$ である。

（2） $θ$ の関数 $cos^{4} θ$ を適切な有理数 $b$ ， $c$ ， $d$ を用いて $b + c cos 2 θ + d cos 4 θ$ の形で表すと， $cos^{4} θ = ヌ$ となる。

（3）座標平面上で不等式 $0 ≦ y ≦ x$ の表す領域において方程式 $(x^{2} + y^{2})^{3} = (x^{2} - y^{2})^{2}$ が定める曲線を $C$ とする。座標平面において，原点を極， $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r, θ)$ を考えると， $C$ の極方程式は $ネ$ となる。ただし， $θ$ の動く範囲は $ノ$ である。また，曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は $ハ$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

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（2）引いたカードに書かれている数字が連続している確率は， $\frac{う}{えお}$ である。

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7個の文字 $a, a, a, b, b, c, d$ について考える。

（1）7文字をすべて並べるとき，並べ方は全部で $モヤユ$ 通りある。このうち $b$ が隣り合わない並べ方は $ヨラリ$ 通りあり，同じ文字どうしが隣り合わない並べ方は $ルレ$ 通りある。

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ある調査会社が，大学受験を終えた高校3年生にむけて受験校の調査を行い5050人から回答を得た。その結果，A大学を受験した生徒は2680人，B大学を受験した生徒は1725人，C大学を受験した生徒は820人いることがわかった。また，A，B，Cすべての大学を受験した生徒は120人，いずれも受験しなかった生徒は305人であった。

この結果から上記の3大学のうち2つ以上の大学を受験した生徒は $ヤユヨ$ 人であり，いずれか1大学のみを受験した生徒は $ラリルレ$ 人であることがわかる。

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5早稲田大学 2026 基幹・創造・先進理工学部

関数 $f (x) = x lo g x$ について，以下の問に答えよ。ただし， $lo g$ は自然対数， $e$ は自然対数の底を表す。必要ならば， $x \to + 0 lim x lo g x = 0$ を用いてよい。

（1） $y = f (x)$ の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ。

（2）実数 $a$ に対して， $g (x) = a x - 1$ とする。曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = g (x)$ の共有点の個数は， $a$ の値によってどのように変わるか調べよ。

（3）曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = g (x)$ の共有点の個数が1個のとき，曲線 $y = f (x)$ ，直線 $y = g (x)$ および直線 $x = \frac{1}{e}$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

重要知識と着眼点

（1）シ：「積が 000」は「どちらかが 000」、反対の場合を考える

条件を満たさない方も考える（余事象）

（1）ス：「和が nnn」は「2n2n2n 回でちょうど nnn 回表」

独立な試行でちょうど kkk 回成功する確率

（1）セ：積を和に直し、区分求積法の形を作る

logの基本事項

和の極限を積分で求める方法（区分求積法）

部分積分の使い方

（2）ccc の値で場合分けし、条件付き確率の定義に当てはめる

条件付き確率の意味と求め方

(a+b)n(a+b)^n(a+b)n の扱い方（二項定理）

解答

（1）シ

（1）ス

（1）セ

（2）

問題データ

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