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$k$ を自然数とする。方程式

$$\sqrt{m-\sqrt{n}}+\sqrt{m+\sqrt{n}}-\frac{1}{k}\sqrt{mn}=0$$

を満たす自然数の組 $(m,n)$ を自然数解と呼ぶ。以下の問に答えよ。

(1)　自然数解 $(m,n)$ が存在するならば，$2k^2\leqq n<4k^2$ であることを示せ。

(2)　それぞれの $k$ に対して，自然数解が少なくとも1つ存在し，その個数は $\sqrt{2}k$ より小さいことを示せ。

(3)　$k=3$ のとき，自然数解をすべて求めよ。

座標空間内に点 $A(0,0,1)$，点 $B(1,1,0)$，および実数 $a$ を用いて表される点 $P(a,0,0)$ をとる。さらに，2点 $(0,2,0)，(0,0,2)$ を通る直線を $\ell$ として，3点 $A，B，P$ が定める平面と直線 $\ell$ との交点を $Q$ とする。

(1)　点 $Q$ の座標を $a$ を用いて表せ。

(2)　4点 $A，B，P，Q$ が四角形 $APBQ$ を成し，線分 $AB$ と線分 $PQ$ が交わるための $a$ の条件を求めよ。

(3)　$a$ が (2) の条件を満たすとき，四角形 $APBQ$ の面積を $a$ を用いて表せ。

$a(1)=2$ とし，$a(2),a(3),a(4),\cdots$ を次の関係で定める。

$$a(2n)=3a(n)+1,\quad a(2n+1)=3a(n)+2\quad(n=1,2,\cdots)$$

以下の問に答えよ。

(1)　$a(7),a(9)$ を求めよ。

(2)　自然数 $n$ に対して，$a(2^n+1)$ は，1または2のいずれかの値をとるような $b_0,b_1,\cdots,b_n$ を用いて，

$$a(2^n+1)=\sum_{k=0}^{n}b_k\cdot3^k$$

と表せる。$b_0,b_1,\cdots,b_n$ をそれぞれ求めよ。

(3)　自然数 $n$ に対して，$\displaystyle\sum_{k=1}^{2^n-1}a(k)$ を求めよ。

関数 $f(x)=x\log x$ について，以下の問に答えよ。ただし，$\log$ は自然対数，$e$ は自然対数の底を表す。必要ならば，$\displaystyle\lim_{x\to+0}x\log x=0$ を用いてよい。

(1)　$y=f(x)$ の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ。

(2)　実数 $a$ に対して，$g(x)=ax-1$ とする。曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ の共有点の個数は，$a$ の値によってどのように変わるか調べよ。

(3)　曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ の共有点の個数が1個のとき，曲線 $y=f(x)$，直線 $y=g(x)$ および直線 $x=\frac1e$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

次の関数 $f(x)$ について，以下の問に答えよ。

$$f(x) = 8^x - \frac{15}{2}\cdot 4^x + \frac{63}{4}\cdot 2^x - \frac{57}{8}$$

(1)　$f(x)$ の極大値 $M$ と極小値 $m$ を求めよ。

(2)　(1) で求めた $M,\ m$ に対して，$a \leqq x \leqq b$ における $f(x)$ の最大値が $M$，最小値が $m$ となるような実数の組 $(a,\ b)$ のうち，$b-a$ が最小となる組を求めよ。